Theorem xaddcl 13409

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddf 13394	. 2 ⊢ +e :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
2	1	fovcl 7579	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381   +_e cxad 13279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-xadd 13282

This theorem is used by:  xaddass  13419  xaddass2  13420  xleadd1a  13423  xleadd1  13425  xltadd1  13426  xaddge0  13428  xle2add  13429  xlt2add  13430  xsubge0  13431  xposdif  13432  xlesubadd  13433  xadddi  13465  xadddir  13466  xadddi2  13467  xadddi2r  13468  xaddcld  13471  ge0xaddcl  13633  xrsmgm  21765  xrsds  21768  xrs1mnd  21800  xrsxmet  25184  xrofsup  33455  supxrgelem  46622  caragenel2d  47815