Theorem xaddcl 13182

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddf 13167	. 2 ⊢ +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
2	1	fovcl 7484	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11169   +_𝑒 cxad 13052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-xadd 13055

This theorem is referenced by:  xaddass  13192  xaddass2  13193  xleadd1a  13196  xleadd1  13198  xltadd1  13199  xaddge0  13201  xle2add  13202  xlt2add  13203  xsubge0  13204  xposdif  13205  xlesubadd  13206  xadddi  13238  xadddir  13239  xadddi2  13240  xadddi2r  13241  xaddcld  13244  ge0xaddcl  13406  xrsmgm  21382  xrsds  21385  xrs1mnd  21415  xrsxmet  24793  xrofsup  32859  supxrgelem  45782  caragenel2d  46975