Theorem xaddcl 13199

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddf 13184	. 2 ⊢ +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
2	1	fovcl 7517	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝ^*cxr 11207   +_𝑒 cxad 13070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-xadd 13073

This theorem is referenced by:  xaddass  13209  xaddass2  13210  xleadd1a  13213  xleadd1  13215  xltadd1  13216  xaddge0  13218  xle2add  13219  xlt2add  13220  xsubge0  13221  xposdif  13222  xlesubadd  13223  xadddi  13255  xadddir  13256  xadddi2  13257  xadddi2r  13258  xaddcld  13261  ge0xaddcl  13423  xrsmgm  21318  xrs1mnd  21321  xrsds  21326  xrsxmet  24698  xrofsup  32690  supxrgelem  45333  caragenel2d  46530