MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddcl 12635
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddcl ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcl
StepHypRef Expression
1 xaddf 12620 . 2 +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
21fovcl 7281 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114  (class class class)co 7158  *cxr 10676   +𝑒 cxad 12508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-1cn 10597  ax-addrcl 10600  ax-rnegex 10610  ax-cnre 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-xadd 12511
This theorem is referenced by:  xaddass  12645  xaddass2  12646  xleadd1a  12649  xleadd1  12651  xltadd1  12652  xaddge0  12654  xle2add  12655  xlt2add  12656  xsubge0  12657  xposdif  12658  xlesubadd  12659  xadddi  12691  xadddir  12692  xadddi2  12693  xadddi2r  12694  xaddcld  12697  ge0xaddcl  12853  xrsmgm  20582  xrs1mnd  20585  xrsds  20590  xrsxmet  23419  xrofsup  30494  supxrgelem  41612  caragenel2d  42821
  Copyright terms: Public domain W3C validator