Theorem xaddcl 13294

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddf 13279	. 2 ⊢ +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
2	1	fovcl 7542	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11269   +_𝑒 cxad 13164

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-xadd 13167

This theorem is used by:  xaddass  13304  xaddass2  13305  xleadd1a  13308  xleadd1  13310  xltadd1  13311  xaddge0  13313  xle2add  13314  xlt2add  13315  xsubge0  13316  xposdif  13317  xlesubadd  13318  xadddi  13350  xadddir  13351  xadddi2  13352  xadddi2r  13353  xaddcld  13356  ge0xaddcl  13518  xrsmgm  21623  xrsds  21626  xrs1mnd  21656  xrsxmet  25039  xrofsup  33241  supxrgelem  46170  caragenel2d  47363