Theorem xaddcl 13155

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddf 13140	. 2 ⊢ +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
2	1	fovcl 7486	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11166   +_𝑒 cxad 13025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-1cn 11085  ax-addrcl 11088  ax-rnegex 11098  ax-cnre 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-xadd 13028

This theorem is referenced by:  xaddass  13165  xaddass2  13166  xleadd1a  13169  xleadd1  13171  xltadd1  13172  xaddge0  13174  xle2add  13175  xlt2add  13176  xsubge0  13177  xposdif  13178  xlesubadd  13179  xadddi  13211  xadddir  13212  xadddi2  13213  xadddi2r  13214  xaddcld  13217  ge0xaddcl  13379  xrsmgm  21363  xrsds  21366  xrs1mnd  21397  xrsxmet  24753  xrofsup  32830  supxrgelem  45770  caragenel2d  46964