MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddcl 12629
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddcl ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcl
StepHypRef Expression
1 xaddf 12614 . 2 +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
21fovcl 7272 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  (class class class)co 7149  *cxr 10672   +𝑒 cxad 12502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-1cn 10593  ax-addrcl 10596  ax-rnegex 10606  ax-cnre 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-xadd 12505
This theorem is referenced by:  xaddass  12639  xaddass2  12640  xleadd1a  12643  xleadd1  12645  xltadd1  12646  xaddge0  12648  xle2add  12649  xlt2add  12650  xsubge0  12651  xposdif  12652  xlesubadd  12653  xadddi  12685  xadddir  12686  xadddi2  12687  xadddi2r  12688  xaddcld  12691  ge0xaddcl  12849  xrsmgm  20182  xrs1mnd  20185  xrsds  20190  xrsxmet  23420  xrofsup  30506  supxrgelem  41899  caragenel2d  43101
  Copyright terms: Public domain W3C validator