Theorem xaddcl 13282

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddf 13267	. 2 ⊢ +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
2	1	fovcl 7562	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℝ^*cxr 11295   +_𝑒 cxad 13153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addrcl 11217  ax-rnegex 11227  ax-cnre 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-xadd 13156

This theorem is referenced by:  xaddass  13292  xaddass2  13293  xleadd1a  13296  xleadd1  13298  xltadd1  13299  xaddge0  13301  xle2add  13302  xlt2add  13303  xsubge0  13304  xposdif  13305  xlesubadd  13306  xadddi  13338  xadddir  13339  xadddi2  13340  xadddi2r  13341  xaddcld  13344  ge0xaddcl  13503  xrsmgm  21420  xrs1mnd  21423  xrsds  21428  xrsxmet  24832  xrofsup  32772  supxrgelem  45353  caragenel2d  46552