Theorem xlesubadd 13433

Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 11828 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlesubadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +e -e𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e 𝐵)))

Proof of Theorem xlesubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xnegcl 13383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e𝐵 ∈ ℝ*)
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → -e𝐵 ∈ ℝ*)
5		xaddcl 13409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
6	1, 4, 5	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
8		simpll3 1233	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		xleadd1 13425	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e -e𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐵)))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e -e𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐵)))
12		xnpcan 13422	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐴)
13	1, 12	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) = 𝐴)
14	13	breq1d 5118	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 +e -e𝐵) +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e 𝐵)))
15	11, 14	bitrd 282	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e -e𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e 𝐵)))
16		simpr3 1215	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐶)
17		oveq1 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e -∞) = (+∞ +e -∞))
18		pnfaddmnf 13400	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ +e -∞) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e -∞) = 0)
20	19	breq1d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +e -∞) ≤ 𝐶 ↔ 0 ≤ 𝐶))
21	16, 20	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +e -∞) ≤ 𝐶))
22		xaddmnf1 13398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +e -∞) = -∞)
23	22	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +e -∞) = -∞))
24	1, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +e -∞) = -∞))
25		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26		mnfle 13304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐶)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → -∞ ≤ 𝐶)
28		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +e -∞) = -∞ → ((𝐴 +e -∞) ≤ 𝐶 ↔ -∞ ≤ 𝐶))
29	27, 28	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +e -∞) = -∞ → (𝐴 +e -∞) ≤ 𝐶))
30	24, 29	syld 48	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +e -∞) ≤ 𝐶))
31	21, 30	pm2.61dne 3045	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +e -∞) ≤ 𝐶)
32		pnfge 13299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
33	1, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ +∞)
34		ge0nemnf 13343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → 𝐶 ≠ -∞)
35	25, 16, 34	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ≠ -∞)
36		xaddpnf1 13396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +e +∞) = +∞)
37	25, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 +e +∞) = +∞)
38	33, 37	breqtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ (𝐶 +e +∞))
39	31, 38	2thd 268	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +e -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e +∞)))
40		xnegeq 13377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → -e𝐵 = -e+∞)
41		xnegpnf 13379	. . . . . . . 8 ⊢ -e+∞ = -∞
42	40, 41	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → -e𝐵 = -∞)
43	42	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +e -e𝐵) = (𝐴 +e -∞))
44	43	breq1d 5118	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +e -e𝐵) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴 +e -∞) ≤ 𝐶))
45		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐶 +e 𝐵) = (𝐶 +e +∞))
46	45	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ≤ (𝐶 +e 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e +∞)))
47	44, 46	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝐵 = +∞ → (((𝐴 +e -e𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e 𝐵)) ↔ ((𝐴 +e -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e +∞))))
48	39, 47	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +e -e𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e 𝐵))))
49	48	imp 412	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +e -e𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e 𝐵)))
50		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≠ -∞)
51	2, 50	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
52		xrnemnf 13286	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
53	51, 52	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
54	15, 49, 53	mpjaodan 973	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +e -e𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +e 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383   -_ecxne 13278   +_e cxad 13279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-xneg 13281  df-xadd 13282

This theorem is used by:  xmetrtri  24729  metdstri  25226  metdscnlem  25230