Theorem xlesubadd 13176

Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 11607 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlesubadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xlesubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xnegcl 13126	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
5		xaddcl 13152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8		simpll3 1215	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		xleadd1 13168	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
12		xnpcan 13165	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
13	1, 12	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
14	13	breq1d 5106	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
15	11, 14	bitrd 279	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
16		simpr3 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐶)
17		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
18		pnfaddmnf 13143	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ +𝑒 -∞) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = 0)
20	19	breq1d 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 0 ≤ 𝐶))
21	16, 20	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶))
22		xaddmnf1 13141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
23	22	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞))
24	1, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞))
25		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26		mnfle 13047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐶)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → -∞ ≤ 𝐶)
28		breq1 5099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ -∞ ≤ 𝐶))
29	27, 28	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶))
30	24, 29	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶))
31	21, 30	pm2.61dne 3016	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶)
32		pnfge 13042	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
33	1, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ +∞)
34		ge0nemnf 13086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → 𝐶 ≠ -∞)
35	25, 16, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ≠ -∞)
36		xaddpnf1 13139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
37	25, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
38	33, 37	breqtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 +∞))
39	31, 38	2thd 265	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 +∞)))
40		xnegeq 13120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
41		xnegpnf 13122	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
42	40, 41	eqtrdi 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
43	42	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
44	43	breq1d 5106	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶))
45		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐶 +𝑒 +∞))
46	45	breq2d 5108	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 +∞)))
47	44, 46	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝐵 = +∞ → (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)) ↔ ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 +∞))))
48	39, 47	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))))
49	48	imp 406	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
50		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≠ -∞)
51	2, 50	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
52		xrnemnf 13029	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
53	51, 52	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
54	15, 49, 53	mpjaodan 960	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  +∞cpnf 11161  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165  -_𝑒cxne 13021   +_𝑒 cxad 13022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-xneg 13024  df-xadd 13025

This theorem is referenced by:  xmetrtri  24297  metdstri  24794  metdscnlem  24798