Proof of Theorem xlesubadd
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | simpl1 1192 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 2 | | simpl2 1193 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 3 | | xnegcl 13255 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
→ -𝑒𝐵 ∈
ℝ*) |
| 4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) →
-𝑒𝐵
∈ ℝ*) |
| 5 | | xaddcl 13281 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
∈ ℝ*) |
| 6 | 1, 4, 5 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
∈ ℝ*) |
| 7 | 6 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
∈ ℝ*) |
| 8 | | simpll3 1215 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈
ℝ*) |
| 9 | | simpr 484 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 10 | | xleadd1 13297 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
+𝑒 𝐵)
≤ (𝐶
+𝑒 𝐵))) |
| 11 | 7, 8, 9, 10 | syl3anc 1373 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
+𝑒 𝐵)
≤ (𝐶
+𝑒 𝐵))) |
| 12 | | xnpcan 13294 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈ ℝ)
→ ((𝐴
+𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴) |
| 13 | 1, 12 | sylan 580 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
+𝑒 𝐵) =
𝐴) |
| 14 | 13 | breq1d 5153 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
+𝑒 𝐵)
≤ (𝐶
+𝑒 𝐵)
↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))) |
| 15 | 11, 14 | bitrd 279 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))) |
| 16 | | simpr3 1197 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐶) |
| 17 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞)
= (+∞ +𝑒 -∞)) |
| 18 | | pnfaddmnf 13272 |
. . . . . . . . 9
⊢ (+∞
+𝑒 -∞) = 0 |
| 19 | 17, 18 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞)
= 0) |
| 20 | 19 | breq1d 5153 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 -∞)
≤ 𝐶 ↔ 0 ≤ 𝐶)) |
| 21 | 16, 20 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶)) |
| 22 | | xaddmnf1 13270 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ≠ +∞)
→ (𝐴
+𝑒 -∞) = -∞) |
| 23 | 22 | ex 412 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
→ (𝐴 ≠ +∞
→ (𝐴
+𝑒 -∞) = -∞)) |
| 24 | 1, 23 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) =
-∞)) |
| 25 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈
ℝ*) |
| 26 | | mnfle 13177 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 ∈ ℝ*
→ -∞ ≤ 𝐶) |
| 27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → -∞ ≤ 𝐶) |
| 28 | | breq1 5146 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 +𝑒 -∞)
= -∞ → ((𝐴
+𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ -∞ ≤ 𝐶)) |
| 29 | 27, 28 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞
→ (𝐴
+𝑒 -∞) ≤ 𝐶)) |
| 30 | 24, 29 | syld 47 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶)) |
| 31 | 21, 30 | pm2.61dne 3028 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶) |
| 32 | | pnfge 13172 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
→ 𝐴 ≤
+∞) |
| 33 | 1, 32 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ +∞) |
| 34 | | ge0nemnf 13215 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ*
∧ 0 ≤ 𝐶) →
𝐶 ≠
-∞) |
| 35 | 25, 16, 34 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ≠ -∞) |
| 36 | | xaddpnf1 13268 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ≠ -∞)
→ (𝐶
+𝑒 +∞) = +∞) |
| 37 | 25, 35, 36 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 +𝑒 +∞) =
+∞) |
| 38 | 33, 37 | breqtrrd 5171 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒
+∞)) |
| 39 | 31, 38 | 2thd 265 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒
+∞))) |
| 40 | | xnegeq 13249 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 = +∞ →
-𝑒𝐵 =
-𝑒+∞) |
| 41 | | xnegpnf 13251 |
. . . . . . . 8
⊢
-𝑒+∞ = -∞ |
| 42 | 40, 41 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 = +∞ →
-𝑒𝐵 =
-∞) |
| 43 | 42 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵) =
(𝐴 +𝑒
-∞)) |
| 44 | 43 | breq1d 5153 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 -∞)
≤ 𝐶)) |
| 45 | | oveq2 7439 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐶 +𝑒
+∞)) |
| 46 | 45 | breq2d 5155 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒
+∞))) |
| 47 | 44, 46 | bibi12d 345 |
. . . 4
⊢ (𝐵 = +∞ → (((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)) ↔ ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒
+∞)))) |
| 48 | 39, 47 | syl5ibrcom 247 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))) |
| 49 | 48 | imp 406 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))) |
| 50 | | simpr2 1196 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≠ -∞) |
| 51 | 2, 50 | jca 511 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠
-∞)) |
| 52 | | xrnemnf 13159 |
. . 3
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ≠ -∞)
↔ (𝐵 ∈ ℝ
∨ 𝐵 =
+∞)) |
| 53 | 51, 52 | sylib 218 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)) |
| 54 | 15, 49, 53 | mpjaodan 961 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))) |