Proof of Theorem xlesubadd
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1190 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
2 | | simpl2 1191 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
3 | | xnegcl 12958 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
→ -𝑒𝐵 ∈
ℝ*) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) →
-𝑒𝐵
∈ ℝ*) |
5 | | xaddcl 12984 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
∈ ℝ*) |
6 | 1, 4, 5 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
∈ ℝ*) |
7 | 6 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
∈ ℝ*) |
8 | | simpll3 1213 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈
ℝ*) |
9 | | simpr 485 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ) |
10 | | xleadd1 13000 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
+𝑒 𝐵)
≤ (𝐶
+𝑒 𝐵))) |
11 | 7, 8, 9, 10 | syl3anc 1370 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
+𝑒 𝐵)
≤ (𝐶
+𝑒 𝐵))) |
12 | | xnpcan 12997 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈ ℝ)
→ ((𝐴
+𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴) |
13 | 1, 12 | sylan 580 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
+𝑒 𝐵) =
𝐴) |
14 | 13 | breq1d 5089 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
+𝑒 𝐵)
≤ (𝐶
+𝑒 𝐵)
↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))) |
15 | 11, 14 | bitrd 278 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))) |
16 | | simpr3 1195 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐶) |
17 | | oveq1 7279 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞)
= (+∞ +𝑒 -∞)) |
18 | | pnfaddmnf 12975 |
. . . . . . . . 9
⊢ (+∞
+𝑒 -∞) = 0 |
19 | 17, 18 | eqtrdi 2796 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞)
= 0) |
20 | 19 | breq1d 5089 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 -∞)
≤ 𝐶 ↔ 0 ≤ 𝐶)) |
21 | 16, 20 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶)) |
22 | | xaddmnf1 12973 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ≠ +∞)
→ (𝐴
+𝑒 -∞) = -∞) |
23 | 22 | ex 413 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
→ (𝐴 ≠ +∞
→ (𝐴
+𝑒 -∞) = -∞)) |
24 | 1, 23 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) =
-∞)) |
25 | | simpl3 1192 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈
ℝ*) |
26 | | mnfle 12881 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 ∈ ℝ*
→ -∞ ≤ 𝐶) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → -∞ ≤ 𝐶) |
28 | | breq1 5082 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 +𝑒 -∞)
= -∞ → ((𝐴
+𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ -∞ ≤ 𝐶)) |
29 | 27, 28 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞
→ (𝐴
+𝑒 -∞) ≤ 𝐶)) |
30 | 24, 29 | syld 47 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶)) |
31 | 21, 30 | pm2.61dne 3033 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶) |
32 | | pnfge 12877 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
→ 𝐴 ≤
+∞) |
33 | 1, 32 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ +∞) |
34 | | ge0nemnf 12918 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ*
∧ 0 ≤ 𝐶) →
𝐶 ≠
-∞) |
35 | 25, 16, 34 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ≠ -∞) |
36 | | xaddpnf1 12971 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ≠ -∞)
→ (𝐶
+𝑒 +∞) = +∞) |
37 | 25, 35, 36 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 +𝑒 +∞) =
+∞) |
38 | 33, 37 | breqtrrd 5107 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒
+∞)) |
39 | 31, 38 | 2thd 264 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒
+∞))) |
40 | | xnegeq 12952 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 = +∞ →
-𝑒𝐵 =
-𝑒+∞) |
41 | | xnegpnf 12954 |
. . . . . . . 8
⊢
-𝑒+∞ = -∞ |
42 | 40, 41 | eqtrdi 2796 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 = +∞ →
-𝑒𝐵 =
-∞) |
43 | 42 | oveq2d 7288 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵) =
(𝐴 +𝑒
-∞)) |
44 | 43 | breq1d 5089 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 -∞)
≤ 𝐶)) |
45 | | oveq2 7280 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐶 +𝑒
+∞)) |
46 | 45 | breq2d 5091 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒
+∞))) |
47 | 44, 46 | bibi12d 346 |
. . . 4
⊢ (𝐵 = +∞ → (((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)) ↔ ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒
+∞)))) |
48 | 39, 47 | syl5ibrcom 246 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))) |
49 | 48 | imp 407 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))) |
50 | | simpr2 1194 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≠ -∞) |
51 | 2, 50 | jca 512 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠
-∞)) |
52 | | xrnemnf 12864 |
. . 3
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ≠ -∞)
↔ (𝐵 ∈ ℝ
∨ 𝐵 =
+∞)) |
53 | 51, 52 | sylib 217 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)) |
54 | 15, 49, 53 | mpjaodan 956 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒
-𝑒𝐵)
≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))) |