MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xle2add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xle2add 12466
Description: Extended real version of le2add 10921. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xle2add (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xle2add
StepHypRef Expression
1 simpll 755 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simprl 759 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3 simplr 757 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xleadd1a 12460 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))
54ex 405 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐶 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
61, 2, 3, 5syl3anc 1352 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴𝐶 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
7 simprr 761 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
8 xleadd2a 12461 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐷) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷))
98ex 405 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐷 → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
103, 7, 2, 9syl3anc 1352 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐵𝐷 → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
11 xaddcl 12447 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
1211adantr 473 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
13 xaddcl 12447 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
142, 3, 13syl2anc 576 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
15 xaddcl 12447 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1615adantl 474 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
17 xrletr 12366 . . 3 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) → (((𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1352 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (((𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
196, 10, 18syl2and 599 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1069  wcel 2051   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  *cxr 10471  cle 10473   +𝑒 cxad 12320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-xadd 12323
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  23187  xraddge02  30256  xrofsup  30268  esumpmono  31014  xadd0ge  41049  sge0split  42154
  Copyright terms: Public domain W3C validator