MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xle2add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xle2add 13241
Description: Extended real version of le2add 11697. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xle2add (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xle2add
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simprl 768 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3 simplr 766 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xleadd1a 13235 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))
54ex 412 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐶 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
61, 2, 3, 5syl3anc 1368 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴𝐶 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
7 simprr 770 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
8 xleadd2a 13236 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵𝐷) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷))
98ex 412 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐷 → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
103, 7, 2, 9syl3anc 1368 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐵𝐷 → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
11 xaddcl 13221 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
13 xaddcl 13221 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
142, 3, 13syl2anc 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
15 xaddcl 13221 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1615adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
17 xrletr 13140 . . 3 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) → (((𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1368 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → (((𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
196, 10, 18syl2and 607 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  *cxr 11248  cle 11250   +𝑒 cxad 13093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-xadd 13096
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  24727  xraddge02  32473  xrofsup  32484  esumpmono  33606  xadd0ge  44584  sge0split  45679
  Copyright terms: Public domain W3C validator