Theorem xle2add 13396

Description: Extended real version of le2add 11805. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xle2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐷)))

Proof of Theorem xle2add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xleadd1a 13390	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐴 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐵))
5	4	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐶 → (𝐴 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐵)))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴 ≤ 𝐶 → (𝐴 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐵)))
7		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
8		xleadd2a 13391	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐶 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐷))
9	8	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐷 → (𝐶 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐷)))
10	3, 7, 2, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐵 ≤ 𝐷 → (𝐶 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐷)))
11		xaddcl 13376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
13		xaddcl 13376	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
14	2, 3, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
15		xaddcl 13376	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
16	15	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
17		xrletr 13294	. . 3 ⊢ (((𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ*) → (((𝐴 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐵) ∧ (𝐶 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐷)) → (𝐴 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐷)))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (((𝐴 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐵) ∧ (𝐶 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐷)) → (𝐴 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐷)))
19	6, 10, 18	syl2and 620	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 +e 𝐵) ≤ (𝐶 +e 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝ^*cxr 11349   ≤ cle 11351   +_e cxad 13246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-xadd 13249

This theorem is used by:  metnrmlem3  25190  xraddge02  33399  xrofsup  33409  esumpmono  34761  xadd0ge  46442  sge0split  47527