Theorem xposdif 13395

Description: Extended real version of posdif 11812. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xposdif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +e -e𝐴)))

Proof of Theorem xposdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcl 13346	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e𝐵 ∈ ℝ*)
2		xaddcl 13372	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
4		xlt0neg1 13352	. . 3 ⊢ ((𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ 0 < -e(𝐴 +e -e𝐵)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ 0 < -e(𝐴 +e -e𝐵)))
6		xsubge0 13394	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +e -e𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
7	6	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 0 ≤ (𝐴 +e -e𝐵) ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
8		0xr 11359	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xrltnle 11379	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 +e -e𝐵)))
10	3, 8, 9	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 +e -e𝐵)))
11		xrltnle 11379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
12	7, 10, 11	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
13		xnegdi 13381	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e -e -e𝐵))
14	1, 13	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e -e -e𝐵))
15		xnegneg 13347	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e -e𝐵 = 𝐵)
16	15	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ( -e𝐴 +e -e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e 𝐵))
17	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 +e -e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e 𝐵))
18		xnegcl 13346	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)
19		xaddcom 13373	. . . . 5 ⊢ (( -e𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e -e𝐴))
20	18, 19	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e -e𝐴))
21	14, 17, 20	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e -e𝐵) = (𝐵 +e -e𝐴))
22	21	breq2d 5114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 < -e(𝐴 +e -e𝐵) ↔ 0 < (𝐵 +e -e𝐴)))
23	5, 12, 22	3bitr3d 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +e -e𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  0cc0 11203  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347   -_ecxne 13241   +_e cxad 13242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-xneg 13244  df-xadd 13245

This theorem is used by:  blcld  24829  metdstri  25176