Theorem xposdif 13419

Description: Extended real version of posdif 11836. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xposdif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +e -e𝐴)))

Proof of Theorem xposdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcl 13370	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e𝐵 ∈ ℝ*)
2		xaddcl 13396	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ*)
4		xlt0neg1 13376	. . 3 ⊢ ((𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ 0 < -e(𝐴 +e -e𝐵)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ 0 < -e(𝐴 +e -e𝐵)))
6		xsubge0 13418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +e -e𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
7	6	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 0 ≤ (𝐴 +e -e𝐵) ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
8		0xr 11383	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
9		xrltnle 11403	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +e -e𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 +e -e𝐵)))
10	3, 8, 9	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 +e -e𝐵)))
11		xrltnle 11403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
12	7, 10, 11	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e -e𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
13		xnegdi 13405	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e -e -e𝐵))
14	1, 13	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e -e -e𝐵))
15		xnegneg 13371	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e -e𝐵 = 𝐵)
16	15	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ( -e𝐴 +e -e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e 𝐵))
17	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 +e -e -e𝐵) = ( -e𝐴 +e 𝐵))
18		xnegcl 13370	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)
19		xaddcom 13397	. . . . 5 ⊢ (( -e𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e -e𝐴))
20	18, 19	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 +e 𝐵) = (𝐵 +e -e𝐴))
21	14, 17, 20	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e -e𝐵) = (𝐵 +e -e𝐴))
22	21	breq2d 5118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 < -e(𝐴 +e -e𝐵) ↔ 0 < (𝐵 +e -e𝐴)))
23	5, 12, 22	3bitr3d 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +e -e𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  0cc0 11227  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371   -_ecxne 13265   +_e cxad 13266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-xneg 13268  df-xadd 13269

This theorem is used by:  blcld  24854  metdstri  25201