MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xposdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xposdif 13301
Description: Extended real version of posdif 11754. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xposdif ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))

Proof of Theorem xposdif
StepHypRef Expression
1 xnegcl 13252 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
2 xaddcl 13278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
31, 2sylan2 593 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
4 xlt0neg1 13258 . . 3 ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) < 0 ↔ 0 < -𝑒(𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) < 0 ↔ 0 < -𝑒(𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
6 xsubge0 13300 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
76notbid 318 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ ¬ 𝐵𝐴))
8 0xr 11306 . . . 4 0 ∈ ℝ*
9 xrltnle 11326 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
103, 8, 9sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
11 xrltnle 11326 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
127, 10, 113bitr4d 311 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
13 xnegdi 13287 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵))
141, 13sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵))
15 xnegneg 13253 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
1615oveq2d 7447 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 𝐵))
1716adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 𝐵))
18 xnegcl 13252 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
19 xaddcom 13279 . . . . 5 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
2018, 19sylan 580 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
2114, 17, 203eqtrd 2779 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
2221breq2d 5160 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 < -𝑒(𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
235, 12, 223bitr3d 309 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  -𝑒cxne 13149   +𝑒 cxad 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-xneg 13152  df-xadd 13153
This theorem is referenced by:  blcld  24534  metdstri  24887
  Copyright terms: Public domain W3C validator