Theorem xaddcld 12697

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 12635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℝ^*cxr 10676   +_𝑒 cxad 12508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-1cn 10597  ax-addrcl 10600  ax-rnegex 10610  ax-cnre 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-xadd 12511

This theorem is referenced by:  xadd4d  12699  imasdsf1olem  22985  bldisj  23010  xblss2ps  23013  xblss2  23014  blcld  23117  comet  23125  stdbdxmet  23127  metdstri  23461  metdscnlem  23465  iscau3  23883  xlt2addrd  30484  xrge0addcld  30488  xrge0subcld  30489  xrofsup  30494  xrsmulgzz  30667  xrge0adddir  30681  xrge0adddi  30682  esumle  31319  esumlef  31323  omssubadd  31560  inelcarsg  31571  carsgclctunlem2  31579  carsgclctunlem3  31580  carsgclctun  31581  xle2addd  41611  infrpge  41626  xrlexaddrp  41627  infleinflem1  41645  infleinflem2  41646  limsupgtlem  42065  ismbl3  42278  ismbl4  42285  sge0prle  42690  sge0split  42698  sge0iunmptlemre  42704  sge0xaddlem1  42722  omeunle  42805  carageniuncl  42812  ovnsubaddlem1  42859  hspmbl  42918  ovolval5lem1  42941