Theorem xaddcld 13315

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℝ^*cxr 11266   +_𝑒 cxad 13124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-xadd 13127

This theorem is referenced by:  xadd4d  13317  imasdsf1olem  24310  bldisj  24335  xblss2ps  24338  xblss2  24339  blcld  24442  comet  24450  stdbdxmet  24452  metdstri  24789  metdscnlem  24793  iscau3  25228  xlt2addrd  32682  xrge0addcld  32685  xrge0subcld  32686  xrofsup  32690  xrsmulgzz  32947  xrge0adddir  32959  xrge0adddi  32960  esumle  34035  esumlef  34039  omssubadd  34278  inelcarsg  34289  carsgclctunlem2  34297  carsgclctunlem3  34298  carsgclctun  34299  xle2addd  45311  infrpge  45326  xrlexaddrp  45327  infleinflem1  45345  infleinflem2  45346  limsupgtlem  45754  ismbl3  45963  ismbl4  45970  sge0prle  46378  sge0split  46386  sge0iunmptlemre  46392  sge0xaddlem1  46410  omeunle  46493  carageniuncl  46500  ovnsubaddlem1  46547  hspmbl  46606  ovolval5lem1  46629