Theorem xaddcld 13355

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13293	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℝ^*cxr 11269   +_𝑒 cxad 13163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-xadd 13166

This theorem is used by:  xadd4d  13357  imasdsf1olem  24600  bldisj  24625  xblss2ps  24628  xblss2  24629  blcld  24732  comet  24740  stdbdxmet  24742  metdstri  25079  metdscnlem  25083  iscau3  25507  xlt2addrd  33217  xrge0addcld  33220  xrge0subcld  33221  xrofsup  33225  xrsmulgzz  33436  xrge0adddir  33445  xrge0adddi  33446  esumle  34555  esumlef  34559  omssubadd  34798  inelcarsg  34809  carsgclctunlem2  34817  carsgclctunlem3  34818  carsgclctun  34819  xle2addd  46153  infrpge  46168  xrlexaddrp  46169  infleinflem1  46186  infleinflem2  46187  limsupgtlem  46592  ismbl3  46801  ismbl4  46808  sge0prle  47216  sge0split  47224  sge0iunmptlemre  47230  sge0xaddlem1  47248  omeunle  47331  carageniuncl  47338  ovnsubaddlem1  47385  hspmbl  47444  ovolval5lem1  47467