Theorem xaddcld 13455

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13393	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℝ^*cxr 11366   +_e cxad 13263

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-1cn 11282  ax-addrcl 11285  ax-rnegex 11295  ax-cnre 11297

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-xadd 13266

This theorem is used by:  xadd4d  13457  imasdsf1olem  24719  bldisj  24744  xblss2ps  24747  xblss2  24748  blcld  24851  comet  24859  stdbdxmet  24861  metdstri  25198  metdscnlem  25202  iscau3  25626  xlt2addrd  33418  xrge0addcld  33421  xrge0subcld  33422  xrofsup  33426  xrsmulgzz  33637  xrge0adddir  33646  xrge0adddi  33647  esumle  34757  esumlef  34761  omssubadd  34999  inelcarsg  35010  carsgclctunlem2  35018  carsgclctunlem3  35019  carsgclctun  35020  xle2addd  46551  infrpge  46566  xrlexaddrp  46567  infleinflem1  46584  infleinflem2  46585  limsupgtlem  46990  ismbl3  47199  ismbl4  47206  sge0prle  47614  sge0split  47622  sge0iunmptlemre  47628  sge0xaddlem1  47646  omeunle  47729  carageniuncl  47736  ovnsubaddlem1  47783  hspmbl  47842  ovolval5lem1  47865