Theorem xaddcld 13253

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℝ^*cxr 11178   +_𝑒 cxad 13061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-xadd 13064

This theorem is referenced by:  xadd4d  13255  imasdsf1olem  24338  bldisj  24363  xblss2ps  24366  xblss2  24367  blcld  24470  comet  24478  stdbdxmet  24480  metdstri  24817  metdscnlem  24821  iscau3  25245  xlt2addrd  32832  xrge0addcld  32835  xrge0subcld  32836  xrofsup  32840  xrsmulgzz  33069  xrge0adddir  33078  xrge0adddi  33079  esumle  34202  esumlef  34206  omssubadd  34444  inelcarsg  34455  carsgclctunlem2  34463  carsgclctunlem3  34464  carsgclctun  34465  xle2addd  45766  infrpge  45781  xrlexaddrp  45782  infleinflem1  45799  infleinflem2  45800  limsupgtlem  46205  ismbl3  46414  ismbl4  46421  sge0prle  46829  sge0split  46837  sge0iunmptlemre  46843  sge0xaddlem1  46861  omeunle  46944  carageniuncl  46951  ovnsubaddlem1  46998  hspmbl  47057  ovolval5lem1  47080