Theorem xaddcld 13306

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398  ℝ^*cxr 11217   +_𝑒 cxad 13114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-xadd 13117

This theorem is referenced by:  xadd4d  13308  imasdsf1olem  24435  bldisj  24460  xblss2ps  24463  xblss2  24464  blcld  24567  comet  24575  stdbdxmet  24577  metdstri  24914  metdscnlem  24918  iscau3  25342  xlt2addrd  32963  xrge0addcld  32966  xrge0subcld  32967  xrofsup  32971  xrsmulgzz  33189  xrge0adddir  33198  xrge0adddi  33199  esumle  34357  esumlef  34361  omssubadd  34599  inelcarsg  34610  carsgclctunlem2  34618  carsgclctunlem3  34619  carsgclctun  34620  xle2addd  45917  infrpge  45932  xrlexaddrp  45933  infleinflem1  45950  infleinflem2  45951  limsupgtlem  46356  ismbl3  46565  ismbl4  46572  sge0prle  46980  sge0split  46988  sge0iunmptlemre  46994  sge0xaddlem1  47012  omeunle  47095  carageniuncl  47102  ovnsubaddlem1  47149  hspmbl  47208  ovolval5lem1  47231