Theorem xaddcld 13220

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13158	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝ^*cxr 11169   +_𝑒 cxad 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-1cn 11088  ax-addrcl 11091  ax-rnegex 11101  ax-cnre 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-xadd 13031

This theorem is referenced by:  xadd4d  13222  imasdsf1olem  24321  bldisj  24346  xblss2ps  24349  xblss2  24350  blcld  24453  comet  24461  stdbdxmet  24463  metdstri  24800  metdscnlem  24804  iscau3  25238  xlt2addrd  32841  xrge0addcld  32844  xrge0subcld  32845  xrofsup  32849  xrsmulgzz  33093  xrge0adddir  33102  xrge0adddi  33103  esumle  34217  esumlef  34221  omssubadd  34459  inelcarsg  34470  carsgclctunlem2  34478  carsgclctunlem3  34479  carsgclctun  34480  xle2addd  45648  infrpge  45663  xrlexaddrp  45664  infleinflem1  45681  infleinflem2  45682  limsupgtlem  46088  ismbl3  46297  ismbl4  46304  sge0prle  46712  sge0split  46720  sge0iunmptlemre  46726  sge0xaddlem1  46744  omeunle  46827  carageniuncl  46834  ovnsubaddlem1  46881  hspmbl  46940  ovolval5lem1  46963