MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddcld 13221
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
xnegcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xaddcld (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld
StepHypRef Expression
1 xnegcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xaddcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 xaddcl 13159 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358  *cxr 11189   +𝑒 cxad 13032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-1cn 11110  ax-addrcl 11113  ax-rnegex 11123  ax-cnre 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-xadd 13035
This theorem is referenced by:  xadd4d  13223  imasdsf1olem  23729  bldisj  23754  xblss2ps  23757  xblss2  23758  blcld  23864  comet  23872  stdbdxmet  23874  metdstri  24217  metdscnlem  24221  iscau3  24645  xlt2addrd  31666  xrge0addcld  31670  xrge0subcld  31671  xrofsup  31675  xrsmulgzz  31872  xrge0adddir  31886  xrge0adddi  31887  esumle  32660  esumlef  32664  omssubadd  32903  inelcarsg  32914  carsgclctunlem2  32922  carsgclctunlem3  32923  carsgclctun  32924  xle2addd  43577  infrpge  43592  xrlexaddrp  43593  infleinflem1  43611  infleinflem2  43612  limsupgtlem  44025  ismbl3  44234  ismbl4  44241  sge0prle  44649  sge0split  44657  sge0iunmptlemre  44663  sge0xaddlem1  44681  omeunle  44764  carageniuncl  44771  ovnsubaddlem1  44818  hspmbl  44877  ovolval5lem1  44900
  Copyright terms: Public domain W3C validator