Theorem xaddcld 13237

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝ^*cxr 11183   +_𝑒 cxad 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-xadd 13049

This theorem is referenced by:  xadd4d  13239  imasdsf1olem  24294  bldisj  24319  xblss2ps  24322  xblss2  24323  blcld  24426  comet  24434  stdbdxmet  24436  metdstri  24773  metdscnlem  24777  iscau3  25211  xlt2addrd  32732  xrge0addcld  32735  xrge0subcld  32736  xrofsup  32740  xrsmulgzz  32993  xrge0adddir  33002  xrge0adddi  33003  esumle  34041  esumlef  34045  omssubadd  34284  inelcarsg  34295  carsgclctunlem2  34303  carsgclctunlem3  34304  carsgclctun  34305  xle2addd  45325  infrpge  45340  xrlexaddrp  45341  infleinflem1  45359  infleinflem2  45360  limsupgtlem  45768  ismbl3  45977  ismbl4  45984  sge0prle  46392  sge0split  46400  sge0iunmptlemre  46406  sge0xaddlem1  46424  omeunle  46507  carageniuncl  46514  ovnsubaddlem1  46561  hspmbl  46620  ovolval5lem1  46643