Theorem xaddcld 13248

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362  ℝ^*cxr 11173   +_𝑒 cxad 13056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-1cn 11091  ax-addrcl 11094  ax-rnegex 11104  ax-cnre 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-xadd 13059

This theorem is referenced by:  xadd4d  13250  imasdsf1olem  24352  bldisj  24377  xblss2ps  24380  xblss2  24381  blcld  24484  comet  24492  stdbdxmet  24494  metdstri  24831  metdscnlem  24835  iscau3  25259  xlt2addrd  32851  xrge0addcld  32854  xrge0subcld  32855  xrofsup  32859  xrsmulgzz  33088  xrge0adddir  33097  xrge0adddi  33098  esumle  34222  esumlef  34226  omssubadd  34464  inelcarsg  34475  carsgclctunlem2  34483  carsgclctunlem3  34484  carsgclctun  34485  xle2addd  45790  infrpge  45805  xrlexaddrp  45806  infleinflem1  45823  infleinflem2  45824  limsupgtlem  46229  ismbl3  46438  ismbl4  46445  sge0prle  46853  sge0split  46861  sge0iunmptlemre  46867  sge0xaddlem1  46885  omeunle  46968  carageniuncl  46975  ovnsubaddlem1  47022  hspmbl  47081  ovolval5lem1  47104