Theorem xaddcld 13353

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13291	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℝ^*cxr 11266   +_𝑒 cxad 13161

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-1cn 11182  ax-addrcl 11185  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-xadd 13164

This theorem is used by:  xadd4d  13355  imasdsf1olem  24599  bldisj  24624  xblss2ps  24627  xblss2  24628  blcld  24731  comet  24739  stdbdxmet  24741  metdstri  25078  metdscnlem  25082  iscau3  25506  xlt2addrd  33230  xrge0addcld  33233  xrge0subcld  33234  xrofsup  33238  xrsmulgzz  33449  xrge0adddir  33458  xrge0adddi  33459  esumle  34568  esumlef  34572  omssubadd  34811  inelcarsg  34822  carsgclctunlem2  34830  carsgclctunlem3  34831  carsgclctun  34832  xle2addd  46166  infrpge  46181  xrlexaddrp  46182  infleinflem1  46199  infleinflem2  46200  limsupgtlem  46605  ismbl3  46814  ismbl4  46821  sge0prle  47229  sge0split  47237  sge0iunmptlemre  47243  sge0xaddlem1  47261  omeunle  47344  carageniuncl  47351  ovnsubaddlem1  47398  hspmbl  47457  ovolval5lem1  47480