Theorem xaddcld 13044

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 12982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℝ^*cxr 11017   +_𝑒 cxad 12855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-1cn 10938  ax-addrcl 10941  ax-rnegex 10951  ax-cnre 10953

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-xadd 12858

This theorem is referenced by:  xadd4d  13046  imasdsf1olem  23535  bldisj  23560  xblss2ps  23563  xblss2  23564  blcld  23670  comet  23678  stdbdxmet  23680  metdstri  24023  metdscnlem  24027  iscau3  24451  xlt2addrd  31090  xrge0addcld  31094  xrge0subcld  31095  xrofsup  31099  xrsmulgzz  31296  xrge0adddir  31310  xrge0adddi  31311  esumle  32035  esumlef  32039  omssubadd  32276  inelcarsg  32287  carsgclctunlem2  32295  carsgclctunlem3  32296  carsgclctun  32297  xle2addd  42882  infrpge  42897  xrlexaddrp  42898  infleinflem1  42916  infleinflem2  42917  limsupgtlem  43325  ismbl3  43534  ismbl4  43541  sge0prle  43946  sge0split  43954  sge0iunmptlemre  43960  sge0xaddlem1  43978  omeunle  44061  carageniuncl  44068  ovnsubaddlem1  44115  hspmbl  44174  ovolval5lem1  44197