Theorem xaddcld 13431

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11342   +_e cxad 13239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-xadd 13242

This theorem is used by:  xadd4d  13433  imasdsf1olem  24692  bldisj  24717  xblss2ps  24720  xblss2  24721  blcld  24824  comet  24832  stdbdxmet  24834  metdstri  25171  metdscnlem  25175  iscau3  25599  xlt2addrd  33351  xrge0addcld  33354  xrge0subcld  33355  xrofsup  33359  xrsmulgzz  33570  xrge0adddir  33579  xrge0adddi  33580  esumle  34690  esumlef  34694  omssubadd  34932  inelcarsg  34943  carsgclctunlem2  34951  carsgclctunlem3  34952  carsgclctun  34953  xle2addd  46348  infrpge  46363  xrlexaddrp  46364  infleinflem1  46381  infleinflem2  46382  limsupgtlem  46787  ismbl3  46996  ismbl4  47003  sge0prle  47411  sge0split  47419  sge0iunmptlemre  47425  sge0xaddlem1  47443  omeunle  47526  carageniuncl  47533  ovnsubaddlem1  47580  hspmbl  47639  ovolval5lem1  47662