Theorem xaddcld 13239

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13177	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝ^*cxr 11185   +_𝑒 cxad 13048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-1cn 11104  ax-addrcl 11107  ax-rnegex 11117  ax-cnre 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-xadd 13051

This theorem is referenced by:  xadd4d  13241  imasdsf1olem  24295  bldisj  24320  xblss2ps  24323  xblss2  24324  blcld  24427  comet  24435  stdbdxmet  24437  metdstri  24774  metdscnlem  24778  iscau3  25212  xlt2addrd  32733  xrge0addcld  32736  xrge0subcld  32737  xrofsup  32741  xrsmulgzz  32994  xrge0adddir  33003  xrge0adddi  33004  esumle  34042  esumlef  34046  omssubadd  34285  inelcarsg  34296  carsgclctunlem2  34304  carsgclctunlem3  34305  carsgclctun  34306  xle2addd  45326  infrpge  45341  xrlexaddrp  45342  infleinflem1  45360  infleinflem2  45361  limsupgtlem  45769  ismbl3  45978  ismbl4  45985  sge0prle  46393  sge0split  46401  sge0iunmptlemre  46407  sge0xaddlem1  46425  omeunle  46508  carageniuncl  46515  ovnsubaddlem1  46562  hspmbl  46621  ovolval5lem1  46644