Theorem xaddcld 12380

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 12319	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 580	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6878  ℝ^*cxr 10362   +_𝑒 cxad 12191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-1cn 10282  ax-addrcl 10285  ax-rnegex 10295  ax-cnre 10297

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-xadd 12194

This theorem is referenced by:  xadd4d  12382  imasdsf1olem  22506  bldisj  22531  xblss2ps  22534  xblss2  22535  blcld  22638  comet  22646  stdbdxmet  22648  metdstri  22982  metdscnlem  22986  iscau3  23404  xlt2addrd  30041  xrge0addcld  30045  xrge0subcld  30046  xrofsup  30051  xrsmulgzz  30194  xrge0adddir  30208  xrge0adddi  30209  esumle  30636  esumlef  30640  omssubadd  30878  inelcarsg  30889  carsgclctunlem2  30897  carsgclctunlem3  30898  carsgclctun  30899  xle2addd  40296  infrpge  40311  xrlexaddrp  40312  infleinflem1  40330  infleinflem2  40331  limsupgtlem  40753  ismbl3  40946  ismbl4  40953  sge0prle  41361  sge0split  41369  sge0iunmptlemre  41375  sge0xaddlem1  41393  omeunle  41476  carageniuncl  41483  ovnsubaddlem1  41530  hspmbl  41589  ovolval5lem1  41612