Theorem xaddcld 13280

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11247   +_𝑒 cxad 13090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-xadd 13093

This theorem is referenced by:  xadd4d  13282  imasdsf1olem  23879  bldisj  23904  xblss2ps  23907  xblss2  23908  blcld  24014  comet  24022  stdbdxmet  24024  metdstri  24367  metdscnlem  24371  iscau3  24795  xlt2addrd  31971  xrge0addcld  31975  xrge0subcld  31976  xrofsup  31980  xrsmulgzz  32179  xrge0adddir  32193  xrge0adddi  32194  esumle  33056  esumlef  33060  omssubadd  33299  inelcarsg  33310  carsgclctunlem2  33318  carsgclctunlem3  33319  carsgclctun  33320  xle2addd  44046  infrpge  44061  xrlexaddrp  44062  infleinflem1  44080  infleinflem2  44081  limsupgtlem  44493  ismbl3  44702  ismbl4  44709  sge0prle  45117  sge0split  45125  sge0iunmptlemre  45131  sge0xaddlem1  45149  omeunle  45232  carageniuncl  45239  ovnsubaddlem1  45286  hspmbl  45345  ovolval5lem1  45368