Theorem xaddcld 12964

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 12902	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝ^*cxr 10939   +_𝑒 cxad 12775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-xadd 12778

This theorem is referenced by:  xadd4d  12966  imasdsf1olem  23434  bldisj  23459  xblss2ps  23462  xblss2  23463  blcld  23567  comet  23575  stdbdxmet  23577  metdstri  23920  metdscnlem  23924  iscau3  24347  xlt2addrd  30983  xrge0addcld  30987  xrge0subcld  30988  xrofsup  30992  xrsmulgzz  31189  xrge0adddir  31203  xrge0adddi  31204  esumle  31926  esumlef  31930  omssubadd  32167  inelcarsg  32178  carsgclctunlem2  32186  carsgclctunlem3  32187  carsgclctun  32188  xle2addd  42765  infrpge  42780  xrlexaddrp  42781  infleinflem1  42799  infleinflem2  42800  limsupgtlem  43208  ismbl3  43417  ismbl4  43424  sge0prle  43829  sge0split  43837  sge0iunmptlemre  43843  sge0xaddlem1  43861  omeunle  43944  carageniuncl  43951  ovnsubaddlem1  43998  hspmbl  44057  ovolval5lem1  44080