Theorem xaddcld 13333

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11248   +_𝑒 cxad 13141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-xadd 13144

This theorem is used by:  xadd4d  13335  imasdsf1olem  24541  bldisj  24566  xblss2ps  24569  xblss2  24570  blcld  24673  comet  24681  stdbdxmet  24683  metdstri  25020  metdscnlem  25024  iscau3  25448  xlt2addrd  33115  xrge0addcld  33118  xrge0subcld  33119  xrofsup  33123  xrsmulgzz  33338  xrge0adddir  33347  xrge0adddi  33348  esumle  34457  esumlef  34461  omssubadd  34699  inelcarsg  34710  carsgclctunlem2  34718  carsgclctunlem3  34719  carsgclctun  34720  xle2addd  46080  infrpge  46095  xrlexaddrp  46096  infleinflem1  46113  infleinflem2  46114  limsupgtlem  46519  ismbl3  46728  ismbl4  46735  sge0prle  47143  sge0split  47151  sge0iunmptlemre  47157  sge0xaddlem1  47175  omeunle  47258  carageniuncl  47265  ovnsubaddlem1  47312  hspmbl  47371  ovolval5lem1  47394