MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddcld 12688
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
xnegcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xaddcld (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld
StepHypRef Expression
1 xnegcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xaddcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 xaddcl 12626 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
41, 2, 3syl2anc 586 1 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  (class class class)co 7150  *cxr 10668   +𝑒 cxad 12499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-xadd 12502
This theorem is referenced by:  xadd4d  12690  imasdsf1olem  22977  bldisj  23002  xblss2ps  23005  xblss2  23006  blcld  23109  comet  23117  stdbdxmet  23119  metdstri  23453  metdscnlem  23457  iscau3  23875  xlt2addrd  30476  xrge0addcld  30480  xrge0subcld  30481  xrofsup  30486  xrsmulgzz  30660  xrge0adddir  30674  xrge0adddi  30675  esumle  31312  esumlef  31316  omssubadd  31553  inelcarsg  31564  carsgclctunlem2  31572  carsgclctunlem3  31573  carsgclctun  31574  xle2addd  41596  infrpge  41611  xrlexaddrp  41612  infleinflem1  41630  infleinflem2  41631  limsupgtlem  42050  ismbl3  42264  ismbl4  42271  sge0prle  42676  sge0split  42684  sge0iunmptlemre  42690  sge0xaddlem1  42708  omeunle  42791  carageniuncl  42798  ovnsubaddlem1  42845  hspmbl  42904  ovolval5lem1  42927
  Copyright terms: Public domain W3C validator