Theorem xaddcld 13327

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13265	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℝ^*cxr 11242   +_𝑒 cxad 13135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-1cn 11158  ax-addrcl 11161  ax-rnegex 11171  ax-cnre 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-xadd 13138

This theorem is referenced by:  xadd4d  13329  imasdsf1olem  24499  bldisj  24524  xblss2ps  24527  xblss2  24528  blcld  24631  comet  24639  stdbdxmet  24641  metdstri  24978  metdscnlem  24982  iscau3  25406  xlt2addrd  33045  xrge0addcld  33048  xrge0subcld  33049  xrofsup  33053  xrsmulgzz  33270  xrge0adddir  33279  xrge0adddi  33280  esumle  34393  esumlef  34397  omssubadd  34635  inelcarsg  34646  carsgclctunlem2  34654  carsgclctunlem3  34655  carsgclctun  34656  xle2addd  45979  infrpge  45994  xrlexaddrp  45995  infleinflem1  46012  infleinflem2  46013  limsupgtlem  46418  ismbl3  46627  ismbl4  46634  sge0prle  47042  sge0split  47050  sge0iunmptlemre  47056  sge0xaddlem1  47074  omeunle  47157  carageniuncl  47164  ovnsubaddlem1  47211  hspmbl  47270  ovolval5lem1  47293