Theorem xaddcld 13268

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13206	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝ^*cxr 11214   +_𝑒 cxad 13077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-xadd 13080

This theorem is referenced by:  xadd4d  13270  imasdsf1olem  24268  bldisj  24293  xblss2ps  24296  xblss2  24297  blcld  24400  comet  24408  stdbdxmet  24410  metdstri  24747  metdscnlem  24751  iscau3  25185  xlt2addrd  32689  xrge0addcld  32692  xrge0subcld  32693  xrofsup  32697  xrsmulgzz  32954  xrge0adddir  32966  xrge0adddi  32967  esumle  34055  esumlef  34059  omssubadd  34298  inelcarsg  34309  carsgclctunlem2  34317  carsgclctunlem3  34318  carsgclctun  34319  xle2addd  45339  infrpge  45354  xrlexaddrp  45355  infleinflem1  45373  infleinflem2  45374  limsupgtlem  45782  ismbl3  45991  ismbl4  45998  sge0prle  46406  sge0split  46414  sge0iunmptlemre  46420  sge0xaddlem1  46438  omeunle  46521  carageniuncl  46528  ovnsubaddlem1  46575  hspmbl  46634  ovolval5lem1  46657