Theorem xaddcld 13386

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13324	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11299   +_𝑒 cxad 13194

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-1cn 11215  ax-addrcl 11218  ax-rnegex 11228  ax-cnre 11230

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-xadd 13197

This theorem is used by:  xadd4d  13388  imasdsf1olem  24639  bldisj  24664  xblss2ps  24667  xblss2  24668  blcld  24771  comet  24779  stdbdxmet  24781  metdstri  25118  metdscnlem  25122  iscau3  25546  xlt2addrd  33270  xrge0addcld  33273  xrge0subcld  33274  xrofsup  33278  xrsmulgzz  33489  xrge0adddir  33498  xrge0adddi  33499  esumle  34609  esumlef  34613  omssubadd  34852  inelcarsg  34863  carsgclctunlem2  34871  carsgclctunlem3  34872  carsgclctun  34873  xle2addd  46264  infrpge  46279  xrlexaddrp  46280  infleinflem1  46297  infleinflem2  46298  limsupgtlem  46703  ismbl3  46912  ismbl4  46919  sge0prle  47327  sge0split  47335  sge0iunmptlemre  47341  sge0xaddlem1  47359  omeunle  47442  carageniuncl  47449  ovnsubaddlem1  47496  hspmbl  47555  ovolval5lem1  47578