Theorem xaddcld 13248

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 591	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  ℝ^*cxr 11173   +_𝑒 cxad 13056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-1cn 11091  ax-addrcl 11094  ax-rnegex 11104  ax-cnre 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-xadd 13059

This theorem is referenced by:  xadd4d  13250  imasdsf1olem  24360  bldisj  24385  xblss2ps  24388  xblss2  24389  blcld  24492  comet  24500  stdbdxmet  24502  metdstri  24839  metdscnlem  24843  iscau3  25267  xlt2addrd  32855  xrge0addcld  32858  xrge0subcld  32859  xrofsup  32863  xrsmulgzz  33092  xrge0adddir  33101  xrge0adddi  33102  esumle  34254  esumlef  34258  omssubadd  34496  inelcarsg  34507  carsgclctunlem2  34515  carsgclctunlem3  34516  carsgclctun  34517  xle2addd  45795  infrpge  45810  xrlexaddrp  45811  infleinflem1  45828  infleinflem2  45829  limsupgtlem  46234  ismbl3  46443  ismbl4  46450  sge0prle  46858  sge0split  46866  sge0iunmptlemre  46872  sge0xaddlem1  46890  omeunle  46973  carageniuncl  46980  ovnsubaddlem1  47027  hspmbl  47086  ovolval5lem1  47109