Theorem xaddcld 13230

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xaddcl 13168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  ℝ^*cxr 11179   +_𝑒 cxad 13038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-1cn 11098  ax-addrcl 11101  ax-rnegex 11111  ax-cnre 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-xadd 13041

This theorem is referenced by:  xadd4d  13232  imasdsf1olem  24334  bldisj  24359  xblss2ps  24362  xblss2  24363  blcld  24466  comet  24474  stdbdxmet  24476  metdstri  24813  metdscnlem  24817  iscau3  25251  xlt2addrd  32856  xrge0addcld  32859  xrge0subcld  32860  xrofsup  32864  xrsmulgzz  33108  xrge0adddir  33117  xrge0adddi  33118  esumle  34242  esumlef  34246  omssubadd  34484  inelcarsg  34495  carsgclctunlem2  34503  carsgclctunlem3  34504  carsgclctun  34505  xle2addd  45724  infrpge  45739  xrlexaddrp  45740  infleinflem1  45757  infleinflem2  45758  limsupgtlem  46164  ismbl3  46373  ismbl4  46380  sge0prle  46788  sge0split  46796  sge0iunmptlemre  46802  sge0xaddlem1  46820  omeunle  46903  carageniuncl  46910  ovnsubaddlem1  46957  hspmbl  47016  ovolval5lem1  47039