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Theorem xaddass2 12631

Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 12630 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xaddass2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

**Proof of Theorem xaddass2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		xnegcl 12594	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
4		simp1r 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5		pnfxr 10684	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
6		xneg11 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
7	1, 5, 6	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	necon3bid 3031	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
9	4, 8	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞)
10		xnegpnf 12590	. . . . . . 7 ⊢ -_𝑒+∞ = -∞
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒+∞ = -∞)
12	9, 11	neeqtrd 3056	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
13		simp2l 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
14		xnegcl 12594	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
16		simp2r 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17		xneg11 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
18	13, 5, 17	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
19	18	necon3bid 3031	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞)
21	20, 11	neeqtrd 3056	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -∞)
22		simp3l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
23		xnegcl 12594	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
25		simp3r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26		xneg11 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
27	22, 5, 26	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
28	27	necon3bid 3031	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
29	25, 28	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞)
30	29, 11	neeqtrd 3056	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -∞)
31		xaddass 12630	. . . . 5 ⊢ (((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐵 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐶 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐶 ≠ -∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
32	3, 12, 15, 21, 24, 30, 31	syl222anc 1383	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
33		xnegdi 12629	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
34	1, 13, 33	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
35	34	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
36		xnegdi 12629	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
37	13, 22, 36	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
38	37	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
39	32, 35, 38	3eqtr4d 2843	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
40		xaddcl 12620	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
41	1, 13, 40	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^*)
42		xnegdi 12629	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
43	41, 22, 42	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
44		xaddcl 12620	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
45	13, 22, 44	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
46		xnegdi 12629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
47	1, 45, 46	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
48	39, 43, 47	3eqtr4d 2843	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))
49		xaddcl 12620	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
50	41, 22, 49	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
51		xaddcl 12620	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^)
52	1, 45, 51	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*)
53		xneg11 12596	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
54	50, 52, 53	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
55	48, 54	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 (class class class)co 7135 +∞cpnf 10661 -∞cmnf 10662 ℝ^*cxr 10663 -_𝑒cxne 12492 +_𝑒 cxad 12493

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-op 4532 df-uni 4801 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-id 5425 df-po 5438 df-so 5439 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-sub 10861 df-neg 10862 df-xneg 12495 df-xadd 12496

This theorem is referenced by: infleinflem1 42002

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