Theorem xaddass2 13420

Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 13419 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddass2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xnegcl 13383	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e𝐴 ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐴 ∈ ℝ*)
4		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5		pnfxr 11402	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
6		xneg11 13385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ( -e𝐴 = -e+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
7	1, 5, 6	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e𝐴 = -e+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	necon3bid 3003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e𝐴 ≠ -e+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
9	4, 8	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐴 ≠ -e+∞)
10		xnegpnf 13379	. . . . . . 7 ⊢ -e+∞ = -∞
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e+∞ = -∞)
12	9, 11	neeqtrd 3028	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐴 ≠ -∞)
13		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		xnegcl 13383	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -e𝐵 ∈ ℝ*)
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐵 ∈ ℝ*)
16		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17		xneg11 13385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ( -e𝐵 = -e+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
18	13, 5, 17	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e𝐵 = -e+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
19	18	necon3bid 3003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e𝐵 ≠ -e+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐵 ≠ -e+∞)
21	20, 11	neeqtrd 3028	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐵 ≠ -∞)
22		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23		xnegcl 13383	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → -e𝐶 ∈ ℝ*)
24	22, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐶 ∈ ℝ*)
25		simp3r 1221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26		xneg11 13385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ( -e𝐶 = -e+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
27	22, 5, 26	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e𝐶 = -e+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
28	27	necon3bid 3003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e𝐶 ≠ -e+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
29	25, 28	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐶 ≠ -e+∞)
30	29, 11	neeqtrd 3028	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e𝐶 ≠ -∞)
31		xaddass 13419	. . . . 5 ⊢ ((( -e𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐴 ≠ -∞) ∧ ( -e𝐵 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ≠ -∞) ∧ ( -e𝐶 ∈ ℝ* ∧ -e𝐶 ≠ -∞)) → (( -e𝐴 +e -e𝐵) +e -e𝐶) = ( -e𝐴 +e ( -e𝐵 +e -e𝐶)))
32	3, 12, 15, 21, 24, 30, 31	syl222anc 1414	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (( -e𝐴 +e -e𝐵) +e -e𝐶) = ( -e𝐴 +e ( -e𝐵 +e -e𝐶)))
33		xnegdi 13418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
34	1, 13, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e(𝐴 +e 𝐵) = ( -e𝐴 +e -e𝐵))
35	34	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e(𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐶) = (( -e𝐴 +e -e𝐵) +e -e𝐶))
36		xnegdi 13418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e(𝐵 +e 𝐶) = ( -e𝐵 +e -e𝐶))
37	13, 22, 36	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e(𝐵 +e 𝐶) = ( -e𝐵 +e -e𝐶))
38	37	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e𝐴 +e -e(𝐵 +e 𝐶)) = ( -e𝐴 +e ( -e𝐵 +e -e𝐶)))
39	32, 35, 38	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e(𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐶) = ( -e𝐴 +e -e(𝐵 +e 𝐶)))
40		xaddcl 13409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
41	1, 13, 40	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
42		xnegdi 13418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = ( -e(𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐶))
43	41, 22, 42	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = ( -e(𝐴 +e 𝐵) +e -e𝐶))
44		xaddcl 13409	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
45	13, 22, 44	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
46		xnegdi 13418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) = ( -e𝐴 +e -e(𝐵 +e 𝐶)))
47	1, 45, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) = ( -e𝐴 +e -e(𝐵 +e 𝐶)))
48	39, 43, 47	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)))
49		xaddcl 13409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) ∈ ℝ*)
50	41, 22, 49	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) ∈ ℝ*)
51		xaddcl 13409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ∈ ℝ*)
52	1, 45, 51	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ∈ ℝ*)
53		xneg11 13385	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ∈ ℝ*) → ( -e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ↔ ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶))))
54	50, 52, 53	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ( -e((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = -e(𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)) ↔ ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶))))
55	48, 54	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e 𝐶) = (𝐴 +e (𝐵 +e 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   -_ecxne 13278   +_e cxad 13279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-xneg 13281  df-xadd 13282

This theorem is used by:  infleinflem1  46654