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Theorem xaddass2 13255
Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 13254 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddass2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1195 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xnegcl 13218 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
4 simp1r 1196 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5 pnfxr 11292 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6 xneg11 13220 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
71, 5, 6sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 = -𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
87necon3bid 2981 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
94, 8mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ≠ -𝑒+∞)
10 xnegpnf 13214 . . . . . . 7 -𝑒+∞ = -∞
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒+∞ = -∞)
129, 11neeqtrd 3006 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
13 simp2l 1197 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 xnegcl 13218 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
16 simp2r 1198 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17 xneg11 13220 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 = -𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
1813, 5, 17sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐵 = -𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
1918necon3bid 2981 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐵 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
2016, 19mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ≠ -𝑒+∞)
2120, 11neeqtrd 3006 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
22 simp3l 1199 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23 xnegcl 13218 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
25 simp3r 1200 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26 xneg11 13220 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐶 = -𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
2722, 5, 26sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐶 = -𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
2827necon3bid 2981 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐶 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
2925, 28mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ≠ -𝑒+∞)
3029, 11neeqtrd 3006 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ≠ -∞)
31 xaddass 13254 . . . . 5 (((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐶 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ≠ -∞)) → ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
323, 12, 15, 21, 24, 30, 31syl222anc 1384 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
33 xnegdi 13253 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
341, 13, 33syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
3534oveq1d 7429 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
36 xnegdi 13253 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶))
3713, 22, 36syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶))
3837oveq2d 7430 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
3932, 35, 383eqtr4d 2778 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
40 xaddcl 13244 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
411, 13, 40syl2anc 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
42 xnegdi 13253 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
4341, 22, 42syl2anc 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
44 xaddcl 13244 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
4513, 22, 44syl2anc 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
46 xnegdi 13253 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
471, 45, 46syl2anc 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
4839, 43, 473eqtr4d 2778 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
49 xaddcl 13244 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
5041, 22, 49syl2anc 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
51 xaddcl 13244 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
521, 45, 51syl2anc 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
53 xneg11 13220 . . 3 ((((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*) → (-𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5450, 52, 53syl2anc 583 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5548, 54mpbid 231 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  (class class class)co 7414  +∞cpnf 11269  -∞cmnf 11270  *cxr 11271  -𝑒cxne 13115   +𝑒 cxad 13116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-sub 11470  df-neg 11471  df-xneg 13118  df-xadd 13119
This theorem is referenced by:  infleinflem1  44746
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