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Theorem xaddass2 13217

Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 13216 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xaddass2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

**Proof of Theorem xaddass2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		xnegcl 13180	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
4		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5		pnfxr 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
6		xneg11 13182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
7	1, 5, 6	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	necon3bid 2970	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
9	4, 8	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞)
10		xnegpnf 13176	. . . . . . 7 ⊢ -_𝑒+∞ = -∞
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒+∞ = -∞)
12	9, 11	neeqtrd 2995	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
13		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
14		xnegcl 13180	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
16		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17		xneg11 13182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
18	13, 5, 17	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
19	18	necon3bid 2970	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
20	16, 19	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞)
21	20, 11	neeqtrd 2995	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -∞)
22		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
23		xnegcl 13180	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
25		simp3r 1203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26		xneg11 13182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
27	22, 5, 26	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
28	27	necon3bid 2970	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
29	25, 28	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞)
30	29, 11	neeqtrd 2995	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -∞)
31		xaddass 13216	. . . . 5 ⊢ (((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐵 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐶 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐶 ≠ -∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
32	3, 12, 15, 21, 24, 30, 31	syl222anc 1388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
33		xnegdi 13215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
34	1, 13, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
35	34	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
36		xnegdi 13215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
37	13, 22, 36	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
38	37	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
39	32, 35, 38	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
40		xaddcl 13206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
41	1, 13, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^*)
42		xnegdi 13215	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
43	41, 22, 42	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
44		xaddcl 13206	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
45	13, 22, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
46		xnegdi 13215	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
47	1, 45, 46	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
48	39, 43, 47	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))
49		xaddcl 13206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
50	41, 22, 49	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
51		xaddcl 13206	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^)
52	1, 45, 51	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*)
53		xneg11 13182	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
54	50, 52, 53	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
55	48, 54	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 (class class class)co 7390 +∞cpnf 11212 -∞cmnf 11213 ℝ^*cxr 11214 -_𝑒cxne 13076 +_𝑒 cxad 13077

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-id 5536 df-po 5549 df-so 5550 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-er 8674 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-sub 11414 df-neg 11415 df-xneg 13079 df-xadd 13080

This theorem is referenced by: infleinflem1 45373

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