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Theorem xaddass2 13303

Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 13302 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xaddass2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

**Proof of Theorem xaddass2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		xnegcl 13266	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
4		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5		pnfxr 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
6		xneg11 13268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
7	1, 5, 6	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	necon3bid 2999	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
9	4, 8	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞)
10		xnegpnf 13262	. . . . . . 7 ⊢ -_𝑒+∞ = -∞
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒+∞ = -∞)
12	9, 11	neeqtrd 3024	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
13		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
14		xnegcl 13266	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
16		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17		xneg11 13268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
18	13, 5, 17	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
19	18	necon3bid 2999	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞)
21	20, 11	neeqtrd 3024	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -∞)
22		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
23		xnegcl 13266	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
24	22, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
25		simp3r 1221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26		xneg11 13268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
27	22, 5, 26	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
28	27	necon3bid 2999	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
29	25, 28	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞)
30	29, 11	neeqtrd 3024	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -∞)
31		xaddass 13302	. . . . 5 ⊢ (((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐵 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐶 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐶 ≠ -∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
32	3, 12, 15, 21, 24, 30, 31	syl222anc 1413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
33		xnegdi 13301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
34	1, 13, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
35	34	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
36		xnegdi 13301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
37	13, 22, 36	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
38	37	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
39	32, 35, 38	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
40		xaddcl 13292	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
41	1, 13, 40	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^*)
42		xnegdi 13301	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
43	41, 22, 42	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
44		xaddcl 13292	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
45	13, 22, 44	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
46		xnegdi 13301	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
47	1, 45, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
48	39, 43, 47	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))
49		xaddcl 13292	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
50	41, 22, 49	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
51		xaddcl 13292	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^)
52	1, 45, 51	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*)
53		xneg11 13268	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
54	50, 52, 53	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
55	48, 54	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 (class class class)co 7414 +∞cpnf 11265 -∞cmnf 11266 ℝ^*cxr 11267 -_𝑒cxne 13161 +_𝑒 cxad 13162

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7737 ax-cnex 11181 ax-resscn 11182 ax-1cn 11183 ax-icn 11184 ax-addcl 11185 ax-addrcl 11186 ax-mulcl 11187 ax-mulrcl 11188 ax-mulcom 11189 ax-addass 11190 ax-mulass 11191 ax-distr 11192 ax-i2m1 11193 ax-1ne0 11194 ax-1rid 11195 ax-rnegex 11196 ax-rrecex 11197 ax-cnre 11198 ax-pre-lttri 11199 ax-pre-lttrn 11200 ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-id 5550 df-po 5563 df-so 5564 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7371 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-er 8697 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-pnf 11270 df-mnf 11271 df-xr 11272 df-ltxr 11273 df-sub 11468 df-neg 11469 df-xneg 13164 df-xadd 13165

This theorem is used by: infleinflem1 46200

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