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Theorem xaddass2 12392
Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 12391 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddass2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1211 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xnegcl 12356 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
4 simp1r 1212 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5 pnfxr 10430 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
6 xneg11 12358 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
71, 5, 6sylancl 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 = -𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
87necon3bid 3012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
94, 8mpbird 249 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ≠ -𝑒+∞)
10 xnegpnf 12352 . . . . . . 7 -𝑒+∞ = -∞
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒+∞ = -∞)
129, 11neeqtrd 3037 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
13 simp2l 1213 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 xnegcl 12356 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
16 simp2r 1214 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17 xneg11 12358 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 = -𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
1813, 5, 17sylancl 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐵 = -𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
1918necon3bid 3012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐵 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
2016, 19mpbird 249 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ≠ -𝑒+∞)
2120, 11neeqtrd 3037 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
22 simp3l 1215 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23 xnegcl 12356 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
25 simp3r 1216 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26 xneg11 12358 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐶 = -𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
2722, 5, 26sylancl 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐶 = -𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
2827necon3bid 3012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐶 ≠ -𝑒+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
2925, 28mpbird 249 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ≠ -𝑒+∞)
3029, 11neeqtrd 3037 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒𝐶 ≠ -∞)
31 xaddass 12391 . . . . 5 (((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐶 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ≠ -∞)) → ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
323, 12, 15, 21, 24, 30, 31syl222anc 1454 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
33 xnegdi 12390 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
341, 13, 33syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
3534oveq1d 6937 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = ((-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
36 xnegdi 12390 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶))
3713, 22, 36syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶))
3837oveq2d 6938 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 -𝑒𝐶)))
3932, 35, 383eqtr4d 2823 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
40 xaddcl 12382 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
411, 13, 40syl2anc 579 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
42 xnegdi 12390 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
4341, 22, 42syl2anc 579 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐶))
44 xaddcl 12382 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
4513, 22, 44syl2anc 579 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
46 xnegdi 12390 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
471, 45, 46syl2anc 579 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 𝐶)))
4839, 43, 473eqtr4d 2823 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → -𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
49 xaddcl 12382 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
5041, 22, 49syl2anc 579 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
51 xaddcl 12382 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
521, 45, 51syl2anc 579 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
53 xneg11 12358 . . 3 ((((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*) → (-𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5450, 52, 53syl2anc 579 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → (-𝑒((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = -𝑒(𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5548, 54mpbid 224 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  (class class class)co 6922  +∞cpnf 10408  -∞cmnf 10409  *cxr 10410  -𝑒cxne 12254   +𝑒 cxad 12255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609  df-xneg 12257  df-xadd 12258
This theorem is referenced by:  infleinflem1  40476
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