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Theorem xaddass2 12396

Description: Associativity of extended real addition. See xaddass 12395 for notes on the hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xaddass2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

**Proof of Theorem xaddass2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		xnegcl 12360	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
4		simp1r 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
5		pnfxr 10432	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
6		xneg11 12362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
7	1, 5, 6	sylancl 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 = +∞))
8	7	necon3bid 3013	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
9	4, 8	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -_𝑒+∞)
10		xnegpnf 12356	. . . . . . 7 ⊢ -_𝑒+∞ = -∞
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒+∞ = -∞)
12	9, 11	neeqtrd 3038	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐴 ≠ -∞)
13		simp2l 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
14		xnegcl 12360	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
16		simp2r 1214	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐵 ≠ +∞)
17		xneg11 12362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
18	13, 5, 17	sylancl 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 = +∞))
19	18	necon3bid 3013	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
20	16, 19	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -_𝑒+∞)
21	20, 11	neeqtrd 3038	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐵 ≠ -∞)
22		simp3l 1215	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
23		xnegcl 12360	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ∈ ℝ^*)
25		simp3r 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → 𝐶 ≠ +∞)
26		xneg11 12362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
27	22, 5, 26	sylancl 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 = -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 = +∞))
28	27	necon3bid 3013	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞ ↔ 𝐶 ≠ +∞))
29	25, 28	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -_𝑒+∞)
30	29, 11	neeqtrd 3038	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒𝐶 ≠ -∞)
31		xaddass 12395	. . . . 5 ⊢ (((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐴 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐵 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (-_𝑒𝐶 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐶 ≠ -∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
32	3, 12, 15, 21, 24, 30, 31	syl222anc 1454	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
33		xnegdi 12394	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
34	1, 13, 33	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵))
35	34	oveq1d 6939	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = ((-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
36		xnegdi 12394	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
37	13, 22, 36	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶))
38	37	oveq2d 6940	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 (-_𝑒𝐵 +_𝑒 -_𝑒𝐶)))
39	32, 35, 38	3eqtr4d 2824	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
40		xaddcl 12386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
41	1, 13, 40	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^*)
42		xnegdi 12394	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
43	41, 22, 42	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (-_𝑒(𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 -_𝑒𝐶))
44		xaddcl 12386	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
45	13, 22, 44	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
46		xnegdi 12394	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
47	1, 45, 46	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) = (-_𝑒𝐴 +_𝑒 -_𝑒(𝐵 +_𝑒 𝐶)))
48	39, 43, 47	3eqtr4d 2824	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → -_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))
49		xaddcl 12386	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^)
50	41, 22, 49	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^*)
51		xaddcl 12386	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^)
52	1, 45, 51	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*)
53		xneg11 12362	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ∈ ℝ^*) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
54	50, 52, 53	syl2anc 579	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → (-_𝑒((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = -_𝑒(𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)) ↔ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶))))
55	48, 54	mpbid 224	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ +∞)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) +_𝑒 𝐶) = (𝐴 +_𝑒 (𝐵 +_𝑒 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 386 ∧ w3a 1071 = wceq 1601 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2969 (class class class)co 6924 +∞cpnf 10410 -∞cmnf 10411 ℝ^*cxr 10412 -_𝑒cxne 12258 +_𝑒 cxad 12259

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1839 ax-4 1853 ax-5 1953 ax-6 2021 ax-7 2055 ax-8 2109 ax-9 2116 ax-10 2135 ax-11 2150 ax-12 2163 ax-13 2334 ax-ext 2754 ax-sep 5019 ax-nul 5027 ax-pow 5079 ax-pr 5140 ax-un 7228 ax-cnex 10330 ax-resscn 10331 ax-1cn 10332 ax-icn 10333 ax-addcl 10334 ax-addrcl 10335 ax-mulcl 10336 ax-mulrcl 10337 ax-mulcom 10338 ax-addass 10339 ax-mulass 10340 ax-distr 10341 ax-i2m1 10342 ax-1ne0 10343 ax-1rid 10344 ax-rnegex 10345 ax-rrecex 10346 ax-cnre 10347 ax-pre-lttri 10348 ax-pre-lttrn 10349 ax-pre-ltadd 10350

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 837 df-3or 1072 df-3an 1073 df-tru 1605 df-ex 1824 df-nf 1828 df-sb 2012 df-mo 2551 df-eu 2587 df-clab 2764 df-cleq 2770 df-clel 2774 df-nfc 2921 df-ne 2970 df-nel 3076 df-ral 3095 df-rex 3096 df-reu 3097 df-rab 3099 df-v 3400 df-sbc 3653 df-csb 3752 df-dif 3795 df-un 3797 df-in 3799 df-ss 3806 df-nul 4142 df-if 4308 df-pw 4381 df-sn 4399 df-pr 4401 df-op 4405 df-uni 4674 df-iun 4757 df-br 4889 df-opab 4951 df-mpt 4968 df-id 5263 df-po 5276 df-so 5277 df-xp 5363 df-rel 5364 df-cnv 5365 df-co 5366 df-dm 5367 df-rn 5368 df-res 5369 df-ima 5370 df-iota 6101 df-fun 6139 df-fn 6140 df-f 6141 df-f1 6142 df-fo 6143 df-f1o 6144 df-fv 6145 df-riota 6885 df-ov 6927 df-oprab 6928 df-mpt2 6929 df-1st 7447 df-2nd 7448 df-er 8028 df-en 8244 df-dom 8245 df-sdom 8246 df-pnf 10415 df-mnf 10416 df-xr 10417 df-ltxr 10418 df-sub 10610 df-neg 10611 df-xneg 12261 df-xadd 12262

This theorem is referenced by: infleinflem1 40504

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