Theorem xadddir 13433

Description: Commuted version of xadddi 13432. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddir	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +e (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadddi 13432	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ·e (𝐴 +e 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +e (𝐶 ·e 𝐵)))
2	1	3coml 1145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (𝐴 +e 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +e (𝐶 ·e 𝐵)))
3		xaddcl 13376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
4	3	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
5		rexr 11362	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		xmulcom 13403	. . 3 ⊢ (((𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +e 𝐵)))
8	4, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +e 𝐵)))
9		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		xmulcom 13403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
11	9, 6, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
12		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xmulcom 13403	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
14	12, 6, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
15	11, 14	oveq12d 7442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐶) +e (𝐵 ·e 𝐶)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +e (𝐶 ·e 𝐵)))
16	2, 8, 15	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +e 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +e (𝐵 ·e 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  ℝ^*cxr 11349   +_e cxad 13246   ·_e cxmu 13247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250

This theorem is used by:  xrge0adddir  33629