MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadddir 12681
Description: Commuted version of xadddi 12680. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddir ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddir
StepHypRef Expression
1 xadddi 12680 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
213coml 1124 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
3 xaddcl 12624 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
433adant3 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
5 rexr 10680 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
653ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 xmulcom 12651 . . 3 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
84, 6, 7syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
9 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10 xmulcom 12651 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
119, 6, 10syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
12 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 xmulcom 12651 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
1412, 6, 13syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
1511, 14oveq12d 7157 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
162, 8, 153eqtr4d 2846 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  cr 10529  *cxr 10667   +𝑒 cxad 12497   ·e cxmu 12498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501
This theorem is referenced by:  xrge0adddir  30730
  Copyright terms: Public domain W3C validator