![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xadddir | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Commuted version of xadddi 13314. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
xadddir | โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด +๐ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐ (๐ต ยทe ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xadddi 13314 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ*) โ (๐ถ ยทe (๐ด +๐ ๐ต)) = ((๐ถ ยทe ๐ด) +๐ (๐ถ ยทe ๐ต))) | |
2 | 1 | 3coml 1124 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยทe (๐ด +๐ ๐ต)) = ((๐ถ ยทe ๐ด) +๐ (๐ถ ยทe ๐ต))) |
3 | xaddcl 13258 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ*) โ (๐ด +๐ ๐ต) โ โ*) | |
4 | 3 | 3adant3 1129 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด +๐ ๐ต) โ โ*) |
5 | rexr 11298 | . . . 4 โข (๐ถ โ โ โ ๐ถ โ โ*) | |
6 | 5 | 3ad2ant3 1132 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ๐ถ โ โ*) |
7 | xmulcom 13285 | . . 3 โข (((๐ด +๐ ๐ต) โ โ* โง ๐ถ โ โ*) โ ((๐ด +๐ ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe (๐ด +๐ ๐ต))) | |
8 | 4, 6, 7 | syl2anc 582 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด +๐ ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe (๐ด +๐ ๐ต))) |
9 | simp1 1133 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ๐ด โ โ*) | |
10 | xmulcom 13285 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ถ โ โ*) โ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ด)) | |
11 | 9, 6, 10 | syl2anc 582 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ด)) |
12 | simp2 1134 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ๐ต โ โ*) | |
13 | xmulcom 13285 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ*) โ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ต)) | |
14 | 12, 6, 13 | syl2anc 582 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ต)) |
15 | 11, 14 | oveq12d 7444 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐ (๐ต ยทe ๐ถ)) = ((๐ถ ยทe ๐ด) +๐ (๐ถ ยทe ๐ต))) |
16 | 2, 8, 15 | 3eqtr4d 2778 | 1 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด +๐ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐ (๐ต ยทe ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 โcr 11145 โ*cxr 11285 +๐ cxad 13130 ยทe cxmu 13131 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-id 5580 df-po 5594 df-so 5595 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-xneg 13132 df-xadd 13133 df-xmul 13134 |
This theorem is referenced by: xrge0adddir 32769 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |