Theorem xadddir 13199

Description: Commuted version of xadddi 13198. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddir	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadddi 13198	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
2	1	3coml 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
3		xaddcl 13142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
5		rexr 11167	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		xmulcom 13169	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
9		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		xmulcom 13169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
11	9, 6, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
12		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xmulcom 13169	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
14	12, 6, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
15	11, 14	oveq12d 7372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
16	2, 8, 15	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  ℝ^*cxr 11154   +_𝑒 cxad 13013   ·_e cxmu 13014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017

This theorem is referenced by:  xrge0adddir  33008