Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xadddir | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Commuted version of xadddi 13130. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
xadddir | โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด +๐ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐ (๐ต ยทe ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xadddi 13130 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ*) โ (๐ถ ยทe (๐ด +๐ ๐ต)) = ((๐ถ ยทe ๐ด) +๐ (๐ถ ยทe ๐ต))) | |
2 | 1 | 3coml 1126 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยทe (๐ด +๐ ๐ต)) = ((๐ถ ยทe ๐ด) +๐ (๐ถ ยทe ๐ต))) |
3 | xaddcl 13074 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ*) โ (๐ด +๐ ๐ต) โ โ*) | |
4 | 3 | 3adant3 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด +๐ ๐ต) โ โ*) |
5 | rexr 11122 | . . . 4 โข (๐ถ โ โ โ ๐ถ โ โ*) | |
6 | 5 | 3ad2ant3 1134 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ๐ถ โ โ*) |
7 | xmulcom 13101 | . . 3 โข (((๐ด +๐ ๐ต) โ โ* โง ๐ถ โ โ*) โ ((๐ด +๐ ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe (๐ด +๐ ๐ต))) | |
8 | 4, 6, 7 | syl2anc 584 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด +๐ ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe (๐ด +๐ ๐ต))) |
9 | simp1 1135 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ๐ด โ โ*) | |
10 | xmulcom 13101 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ถ โ โ*) โ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ด)) | |
11 | 9, 6, 10 | syl2anc 584 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ด)) |
12 | simp2 1136 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ๐ต โ โ*) | |
13 | xmulcom 13101 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ*) โ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ต)) | |
14 | 12, 6, 13 | syl2anc 584 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ต)) |
15 | 11, 14 | oveq12d 7355 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐ (๐ต ยทe ๐ถ)) = ((๐ถ ยทe ๐ด) +๐ (๐ถ ยทe ๐ต))) |
16 | 2, 8, 15 | 3eqtr4d 2786 | 1 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด +๐ ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ถ) +๐ (๐ต ยทe ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 (class class class)co 7337 โcr 10971 โ*cxr 11109 +๐ cxad 12947 ยทe cxmu 12948 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pow 5308 ax-pr 5372 ax-un 7650 ax-cnex 11028 ax-resscn 11029 ax-1cn 11030 ax-icn 11031 ax-addcl 11032 ax-addrcl 11033 ax-mulcl 11034 ax-mulrcl 11035 ax-mulcom 11036 ax-addass 11037 ax-mulass 11038 ax-distr 11039 ax-i2m1 11040 ax-1ne0 11041 ax-1rid 11042 ax-rnegex 11043 ax-rrecex 11044 ax-cnre 11045 ax-pre-lttri 11046 ax-pre-lttrn 11047 ax-pre-ltadd 11048 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3350 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-nul 4270 df-if 4474 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4853 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-id 5518 df-po 5532 df-so 5533 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-f1 6484 df-fo 6485 df-f1o 6486 df-fv 6487 df-riota 7293 df-ov 7340 df-oprab 7341 df-mpo 7342 df-1st 7899 df-2nd 7900 df-er 8569 df-en 8805 df-dom 8806 df-sdom 8807 df-pnf 11112 df-mnf 11113 df-xr 11114 df-ltxr 11115 df-le 11116 df-sub 11308 df-neg 11309 df-xneg 12949 df-xadd 12950 df-xmul 12951 |
This theorem is referenced by: xrge0adddir 31588 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |