Theorem ge0xaddcl 13469

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem ge0xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxrge0 13464	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
2		elxrge0 13464	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3		xaddcl 13248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	3	ad2ant2r 745	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
5		xaddge0 13267	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
6	5	an4s 658	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
7		elxrge0 13464	. . 3 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 581	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 2, 8	syl2anb 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7414  0cc0 11136  +∞cpnf 11273  ℝ^*cxr 11275   ≤ cle 11277   +_𝑒 cxad 13120  [,]cicc 13357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-xadd 13123  df-icc 13361

This theorem is referenced by:  xrge0subm  21342  comet  24438  stdbdxmet  24440  xrge0pluscn  33570  esumadd  33705  esumaddf  33709  esummulc1  33729  sge0xaddlem2  45857  sge0xadd  45858