Theorem ge0xaddcl 13502

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem ge0xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxrge0 13497	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
2		elxrge0 13497	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3		xaddcl 13281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4	3	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
5		xaddge0 13300	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
6	5	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
7		elxrge0 13497	. . 3 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 2, 8	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296   +_𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-xadd 13155  df-icc 13394

This theorem is referenced by:  xrge0subm  21425  comet  24526  stdbdxmet  24528  xrge0pluscn  33939  esumadd  34058  esumaddf  34062  esummulc1  34082  sge0xaddlem2  46449  sge0xadd  46450