MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xleadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xleadd1 12643
Description: Weakened version of xleadd1a 12641 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xleadd1
StepHypRef Expression
1 rexr 10681 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
2 xleadd1a 12641 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
32ex 416 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
41, 3syl3an3 1162 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
5 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
613ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 xaddcl 12627 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
85, 6, 7syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
9 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 xaddcl 12627 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
119, 6, 10syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
12 xnegcl 12601 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
136, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
14 xleadd1a 12641 . . . . 5 ((((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶))
1514ex 416 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶)))
168, 11, 13, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶)))
17 xpncan 12639 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐴)
18173adant2 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐴)
19 xpncan 12639 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐵)
20193adant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) = 𝐵)
2118, 20breq12d 5066 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ≤ ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 -𝑒𝐶) ↔ 𝐴𝐵))
2216, 21sylibd 242 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶) → 𝐴𝐵))
234, 22impbid 215 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  (class class class)co 7146  cr 10530  *cxr 10668  cle 10670  -𝑒cxne 12499   +𝑒 cxad 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-xneg 12502  df-xadd 12503
This theorem is referenced by:  xltadd1  12644  xsubge0  12649  xlesubadd  12651
  Copyright terms: Public domain W3C validator