Theorem xrsds 21444

Description: The metric of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsds	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xrsds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsds.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ∈ ℝ*)
3		xnegcl 13251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
4		xaddcl 13277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
5	2, 3, 4	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
6		xnegcl 13251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
7		xaddcl 13277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ∈ ℝ*)
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ∈ ℝ*)
9	5, 8	ifcld 4576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*)
10	9	rgen2 3196	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*
11		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
12	11	fmpo 8091	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))):(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
13	10, 12	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))):(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
14		xrex 13026	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
15	14, 14	xpex 7771	. . . 4 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
16		fex2 7956	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))):(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* ∧ (ℝ* × ℝ*) ∈ V ∧ ℝ* ∈ V) → (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))) ∈ V)
17	13, 15, 14, 16	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))) ∈ V
18		df-xrs 17548	. . . 4 ⊢ ℝ*𝑠 = ({⟨(Base‘ndx), ℝ*⟩, ⟨(+g‘ndx), +𝑒 ⟩, ⟨(.r‘ndx), ·e ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘ ≤ )⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))⟩})
19	18	odrngds 17454	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))) ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))) = (dist‘ℝ*𝑠))
20	17, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))) = (dist‘ℝ*𝑠)
21	1, 20	eqtr4i 2765	1 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477  ifcif 4530   class class class wbr 5147   × cxp 5686  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293  -_𝑒cxne 13148   +_𝑒 cxad 13149   ·_e cxmu 13150  distcds 17306  ordTopcordt 17545  ℝ^*_𝑠cxrs 17546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-xrs 17548

This theorem is referenced by:  xrsdsval  21445  xrsxmet  24844