Theorem xle2addd 45325

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xle2addd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xle2addd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xle2addd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xle2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
xle2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
xrle2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
xle2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷))

Proof of Theorem xle2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xle2addd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xle2addd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3	1, 2	xaddcld 13267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4		xle2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
5	1, 4	xaddcld 13267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
6		xle2addd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	6, 4	xaddcld 13267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
8		xrle2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
9	2, 4, 1, 8	xleadd2d 45316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐷))
10		xle2addd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
11	1, 6, 4, 10	xleadd1d 45318	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐷) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷))
12	3, 5, 7, 9, 11	xrletrd 13128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℝ^*cxr 11213   ≤ cle 11215   +_𝑒 cxad 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-xadd 13079

This theorem is referenced by: (None)