Theorem xrletrd 12896

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 12892	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 696	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by:  xaddge0  12992  ixxub  13100  ixxlb  13101  limsupval2  15189  0ram  16721  xpsdsval  23534  xblss2ps  23554  xblss2  23555  comet  23669  stdbdxmet  23671  nmoleub  23895  metnrmlem1  24022  nmoleub2lem  24277  ovollb2lem  24652  ovoliunlem2  24667  ovolscalem1  24677  ovolicc1  24680  ovolicc2lem4  24684  voliunlem2  24715  uniioombllem3  24749  itg2uba  24908  itg2lea  24909  itg2split  24914  itg2monolem3  24917  itg2gt0  24925  lhop1lem  25177  dvfsumlem2  25191  dvfsumlem3  25192  dvfsumlem4  25193  deg1addle2  25267  deg1sublt  25275  nmooge0  29129  metideq  31843  measiun  32186  omssubadd  32267  carsgclctunlem2  32286  mblfinlem1  35814  ismblfin  35818  ftc1anclem8  35857  ftc1anc  35858  hbtlem2  40949  idomodle  41021  xle2addd  42875  xralrple2  42893  infleinflem1  42909  xralrple4  42912  xralrple3  42913  suplesup2  42915  infleinf2  42954  infxrlesupxr  42976  inficc  43072  limsupequzlem  43263  limsupvaluz2  43279  supcnvlimsup  43281  liminfval2  43309  liminflelimsuplem  43316  limsupgtlem  43318  fourierdlem1  43649  sge0cl  43919  sge0lefi  43936  sge0iunmptlemre  43953  sge0isum  43965  omeunle  44054  omeiunle  44055  caratheodorylem2  44065  hoicvrrex  44094  ovnsubaddlem1  44108  ovolval5lem1  44190  pimdecfgtioo  44254  pimincfltioo  44255