Theorem xrletrd 13113

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  xaddge0  13210  ixxub  13319  ixxlb  13320  limsupval2  15442  0ram  16991  xpsdsval  24346  xblss2ps  24366  xblss2  24367  comet  24478  stdbdxmet  24480  nmoleub  24696  metnrmlem1  24825  nmoleub2lem  25081  ovollb2lem  25455  ovoliunlem2  25470  ovolscalem1  25480  ovolicc1  25483  ovolicc2lem4  25487  voliunlem2  25518  uniioombllem3  25552  itg2uba  25710  itg2lea  25711  itg2split  25716  itg2monolem3  25719  itg2gt0  25727  lhop1lem  25980  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem3  25995  dvfsumlem4  25996  deg1addle2  26067  deg1sublt  26075  nmooge0  30838  ply1degltlss  33656  metideq  34037  measiun  34362  omssubadd  34444  carsgclctunlem2  34463  mblfinlem1  37978  ismblfin  37982  ftc1anclem8  38021  ftc1anc  38022  aks6d1c6lem2  42610  aks6d1c6lem3  42611  unitscyglem5  42638  hbtlem2  43552  idomodle  43619  xle2addd  45766  xralrple2  45784  infleinflem1  45799  xralrple4  45802  xralrple3  45803  suplesup2  45805  infleinf2  45842  infxrlesupxr  45864  inficc  45964  limsupequzlem  46150  limsupvaluz2  46166  supcnvlimsup  46168  liminfval2  46196  liminflelimsuplem  46203  limsupgtlem  46205  fourierdlem1  46536  sge0cl  46809  sge0lefi  46826  sge0iunmptlemre  46843  sge0isum  46855  omeunle  46944  omeiunle  46945  caratheodorylem2  46955  hoicvrrex  46984  ovnsubaddlem1  46998  ovolval5lem1  47080  pimdecfgtioo  47145  pimincfltioo  47146