Theorem xrletrd 13129

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221

This theorem is referenced by:  xaddge0  13225  ixxub  13334  ixxlb  13335  limsupval2  15453  0ram  16998  xpsdsval  24276  xblss2ps  24296  xblss2  24297  comet  24408  stdbdxmet  24410  nmoleub  24626  metnrmlem1  24755  nmoleub2lem  25021  ovollb2lem  25396  ovoliunlem2  25411  ovolscalem1  25421  ovolicc1  25424  ovolicc2lem4  25428  voliunlem2  25459  uniioombllem3  25493  itg2uba  25651  itg2lea  25652  itg2split  25657  itg2monolem3  25660  itg2gt0  25668  lhop1lem  25925  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  dvfsumlem3  25942  dvfsumlem4  25943  deg1addle2  26014  deg1sublt  26022  nmooge0  30703  ply1degltlss  33569  metideq  33890  measiun  34215  omssubadd  34298  carsgclctunlem2  34317  mblfinlem1  37658  ismblfin  37662  ftc1anclem8  37701  ftc1anc  37702  aks6d1c6lem2  42166  aks6d1c6lem3  42167  unitscyglem5  42194  hbtlem2  43120  idomodle  43187  xle2addd  45339  xralrple2  45357  infleinflem1  45373  xralrple4  45376  xralrple3  45377  suplesup2  45379  infleinf2  45417  infxrlesupxr  45439  inficc  45539  limsupequzlem  45727  limsupvaluz2  45743  supcnvlimsup  45745  liminfval2  45773  liminflelimsuplem  45780  limsupgtlem  45782  fourierdlem1  46113  sge0cl  46386  sge0lefi  46403  sge0iunmptlemre  46420  sge0isum  46432  omeunle  46521  omeiunle  46522  caratheodorylem2  46532  hoicvrrex  46561  ovnsubaddlem1  46575  ovolval5lem1  46657  pimdecfgtioo  46722  pimincfltioo  46723