Theorem xrletrd 13204

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  xaddge0  13300  ixxub  13408  ixxlb  13409  limsupval2  15516  0ram  17058  xpsdsval  24391  xblss2ps  24411  xblss2  24412  comet  24526  stdbdxmet  24528  nmoleub  24752  metnrmlem1  24881  nmoleub2lem  25147  ovollb2lem  25523  ovoliunlem2  25538  ovolscalem1  25548  ovolicc1  25551  ovolicc2lem4  25555  voliunlem2  25586  uniioombllem3  25620  itg2uba  25778  itg2lea  25779  itg2split  25784  itg2monolem3  25787  itg2gt0  25795  lhop1lem  26052  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  dvfsumlem3  26069  dvfsumlem4  26070  deg1addle2  26141  deg1sublt  26149  nmooge0  30786  ply1degltlss  33617  metideq  33892  measiun  34219  omssubadd  34302  carsgclctunlem2  34321  mblfinlem1  37664  ismblfin  37668  ftc1anclem8  37707  ftc1anc  37708  aks6d1c6lem2  42172  aks6d1c6lem3  42173  unitscyglem5  42200  hbtlem2  43136  idomodle  43203  xle2addd  45347  xralrple2  45365  infleinflem1  45381  xralrple4  45384  xralrple3  45385  suplesup2  45387  infleinf2  45425  infxrlesupxr  45447  inficc  45547  limsupequzlem  45737  limsupvaluz2  45753  supcnvlimsup  45755  liminfval2  45783  liminflelimsuplem  45790  limsupgtlem  45792  fourierdlem1  46123  sge0cl  46396  sge0lefi  46413  sge0iunmptlemre  46430  sge0isum  46442  omeunle  46531  omeiunle  46532  caratheodorylem2  46542  hoicvrrex  46571  ovnsubaddlem1  46585  ovolval5lem1  46667  pimdecfgtioo  46732  pimincfltioo  46733