Theorem xrletrd 13138

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 696	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  ℝ^*cxr 11244   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251

This theorem is referenced by:  xaddge0  13234  ixxub  13342  ixxlb  13343  limsupval2  15421  0ram  16952  xpsdsval  24209  xblss2ps  24229  xblss2  24230  comet  24344  stdbdxmet  24346  nmoleub  24570  metnrmlem1  24697  nmoleub2lem  24963  ovollb2lem  25339  ovoliunlem2  25354  ovolscalem1  25364  ovolicc1  25367  ovolicc2lem4  25371  voliunlem2  25402  uniioombllem3  25436  itg2uba  25595  itg2lea  25596  itg2split  25601  itg2monolem3  25604  itg2gt0  25612  lhop1lem  25868  dvfsumlem2  25883  dvfsumlem2OLD  25884  dvfsumlem3  25885  dvfsumlem4  25886  deg1addle2  25960  deg1sublt  25968  nmooge0  30489  ply1degltlss  33133  metideq  33362  measiun  33705  omssubadd  33788  carsgclctunlem2  33807  mblfinlem1  37015  ismblfin  37019  ftc1anclem8  37058  ftc1anc  37059  hbtlem2  42355  idomodle  42427  xle2addd  44531  xralrple2  44549  infleinflem1  44565  xralrple4  44568  xralrple3  44569  suplesup2  44571  infleinf2  44609  infxrlesupxr  44631  inficc  44732  limsupequzlem  44923  limsupvaluz2  44939  supcnvlimsup  44941  liminfval2  44969  liminflelimsuplem  44976  limsupgtlem  44978  fourierdlem1  45309  sge0cl  45582  sge0lefi  45599  sge0iunmptlemre  45616  sge0isum  45628  omeunle  45717  omeiunle  45718  caratheodorylem2  45728  hoicvrrex  45757  ovnsubaddlem1  45771  ovolval5lem1  45853  pimdecfgtioo  45918  pimincfltioo  45919