Theorem xrletrd 13141

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  xaddge0  13237  ixxub  13345  ixxlb  13346  limsupval2  15424  0ram  16953  xpsdsval  23887  xblss2ps  23907  xblss2  23908  comet  24022  stdbdxmet  24024  nmoleub  24248  metnrmlem1  24375  nmoleub2lem  24630  ovollb2lem  25005  ovoliunlem2  25020  ovolscalem1  25030  ovolicc1  25033  ovolicc2lem4  25037  voliunlem2  25068  uniioombllem3  25102  itg2uba  25261  itg2lea  25262  itg2split  25267  itg2monolem3  25270  itg2gt0  25278  lhop1lem  25530  dvfsumlem2  25544  dvfsumlem3  25545  dvfsumlem4  25546  deg1addle2  25620  deg1sublt  25628  nmooge0  30051  ply1degltlss  32698  metideq  32904  measiun  33247  omssubadd  33330  carsgclctunlem2  33349  gg-dvfsumlem2  35214  mblfinlem1  36573  ismblfin  36577  ftc1anclem8  36616  ftc1anc  36617  hbtlem2  41914  idomodle  41986  xle2addd  44094  xralrple2  44112  infleinflem1  44128  xralrple4  44131  xralrple3  44132  suplesup2  44134  infleinf2  44172  infxrlesupxr  44194  inficc  44295  limsupequzlem  44486  limsupvaluz2  44502  supcnvlimsup  44504  liminfval2  44532  liminflelimsuplem  44539  limsupgtlem  44541  fourierdlem1  44872  sge0cl  45145  sge0lefi  45162  sge0iunmptlemre  45179  sge0isum  45191  omeunle  45280  omeiunle  45281  caratheodorylem2  45291  hoicvrrex  45320  ovnsubaddlem1  45334  ovolval5lem1  45416  pimdecfgtioo  45481  pimincfltioo  45482