Theorem xrletrd 13104

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  xaddge0  13201  ixxub  13310  ixxlb  13311  limsupval2  15433  0ram  16982  xpsdsval  24356  xblss2ps  24376  xblss2  24377  comet  24488  stdbdxmet  24490  nmoleub  24706  metnrmlem1  24835  nmoleub2lem  25091  ovollb2lem  25465  ovoliunlem2  25480  ovolscalem1  25490  ovolicc1  25493  ovolicc2lem4  25497  voliunlem2  25528  uniioombllem3  25562  itg2uba  25720  itg2lea  25721  itg2split  25726  itg2monolem3  25729  itg2gt0  25737  lhop1lem  25990  dvfsumlem2  26004  dvfsumlem3  26005  dvfsumlem4  26006  deg1addle2  26077  deg1sublt  26085  nmooge0  30853  ply1degltlss  33671  metideq  34053  measiun  34378  omssubadd  34460  carsgclctunlem2  34479  mblfinlem1  37992  ismblfin  37996  ftc1anclem8  38035  ftc1anc  38036  aks6d1c6lem2  42624  aks6d1c6lem3  42625  unitscyglem5  42652  hbtlem2  43570  idomodle  43637  xle2addd  45784  xralrple2  45802  infleinflem1  45817  xralrple4  45820  xralrple3  45821  suplesup2  45823  infleinf2  45860  infxrlesupxr  45882  inficc  45982  limsupequzlem  46168  limsupvaluz2  46184  supcnvlimsup  46186  liminfval2  46214  liminflelimsuplem  46221  limsupgtlem  46223  fourierdlem1  46554  sge0cl  46827  sge0lefi  46844  sge0iunmptlemre  46861  sge0isum  46873  omeunle  46962  omeiunle  46963  caratheodorylem2  46973  hoicvrrex  47002  ovnsubaddlem1  47016  ovolval5lem1  47098  pimdecfgtioo  47163  pimincfltioo  47164