Theorem xrletrd 13224

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  xaddge0  13320  ixxub  13428  ixxlb  13429  limsupval2  15526  0ram  17067  xpsdsval  24412  xblss2ps  24432  xblss2  24433  comet  24547  stdbdxmet  24549  nmoleub  24773  metnrmlem1  24900  nmoleub2lem  25166  ovollb2lem  25542  ovoliunlem2  25557  ovolscalem1  25567  ovolicc1  25570  ovolicc2lem4  25574  voliunlem2  25605  uniioombllem3  25639  itg2uba  25798  itg2lea  25799  itg2split  25804  itg2monolem3  25807  itg2gt0  25815  lhop1lem  26072  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsumlem3  26089  dvfsumlem4  26090  deg1addle2  26161  deg1sublt  26169  nmooge0  30799  ply1degltlss  33582  metideq  33839  measiun  34182  omssubadd  34265  carsgclctunlem2  34284  mblfinlem1  37617  ismblfin  37621  ftc1anclem8  37660  ftc1anc  37661  aks6d1c6lem2  42128  aks6d1c6lem3  42129  unitscyglem5  42156  hbtlem2  43081  idomodle  43152  xle2addd  45251  xralrple2  45269  infleinflem1  45285  xralrple4  45288  xralrple3  45289  suplesup2  45291  infleinf2  45329  infxrlesupxr  45351  inficc  45452  limsupequzlem  45643  limsupvaluz2  45659  supcnvlimsup  45661  liminfval2  45689  liminflelimsuplem  45696  limsupgtlem  45698  fourierdlem1  46029  sge0cl  46302  sge0lefi  46319  sge0iunmptlemre  46336  sge0isum  46348  omeunle  46437  omeiunle  46438  caratheodorylem2  46448  hoicvrrex  46477  ovnsubaddlem1  46491  ovolval5lem1  46573  pimdecfgtioo  46638  pimincfltioo  46639