Theorem xrletrd 12638

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 12634	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ℝ^*cxr 10752   ≤ cle 10754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759

This theorem is referenced by:  xaddge0  12734  ixxub  12842  ixxlb  12843  limsupval2  14927  0ram  16456  xpsdsval  23134  xblss2ps  23154  xblss2  23155  comet  23266  stdbdxmet  23268  nmoleub  23484  metnrmlem1  23611  nmoleub2lem  23866  ovollb2lem  24240  ovoliunlem2  24255  ovolscalem1  24265  ovolicc1  24268  ovolicc2lem4  24272  voliunlem2  24303  uniioombllem3  24337  itg2uba  24496  itg2lea  24497  itg2split  24502  itg2monolem3  24505  itg2gt0  24513  lhop1lem  24765  dvfsumlem2  24779  dvfsumlem3  24780  dvfsumlem4  24781  deg1addle2  24855  deg1sublt  24863  nmooge0  28702  metideq  31415  measiun  31756  omssubadd  31837  carsgclctunlem2  31856  mblfinlem1  35437  ismblfin  35441  ftc1anclem8  35480  ftc1anc  35481  hbtlem2  40521  idomodle  40593  xle2addd  42413  xralrple2  42431  infleinflem1  42447  xralrple4  42450  xralrple3  42451  suplesup2  42453  infleinf2  42492  infxrlesupxr  42514  inficc  42612  limsupequzlem  42805  limsupvaluz2  42821  supcnvlimsup  42823  liminfval2  42851  liminflelimsuplem  42858  limsupgtlem  42860  fourierdlem1  43191  sge0cl  43461  sge0lefi  43478  sge0iunmptlemre  43495  sge0isum  43507  omeunle  43596  omeiunle  43597  caratheodorylem2  43607  hoicvrrex  43636  ovnsubaddlem1  43650  ovolval5lem1  43732  pimdecfgtioo  43793  pimincfltioo  43794