Theorem xrletrd 13200

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13196	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298

This theorem is referenced by:  xaddge0  13296  ixxub  13404  ixxlb  13405  limsupval2  15512  0ram  17053  xpsdsval  24406  xblss2ps  24426  xblss2  24427  comet  24541  stdbdxmet  24543  nmoleub  24767  metnrmlem1  24894  nmoleub2lem  25160  ovollb2lem  25536  ovoliunlem2  25551  ovolscalem1  25561  ovolicc1  25564  ovolicc2lem4  25568  voliunlem2  25599  uniioombllem3  25633  itg2uba  25792  itg2lea  25793  itg2split  25798  itg2monolem3  25801  itg2gt0  25809  lhop1lem  26066  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  dvfsumlem3  26083  dvfsumlem4  26084  deg1addle2  26155  deg1sublt  26163  nmooge0  30795  ply1degltlss  33596  metideq  33853  measiun  34198  omssubadd  34281  carsgclctunlem2  34300  mblfinlem1  37643  ismblfin  37647  ftc1anclem8  37686  ftc1anc  37687  aks6d1c6lem2  42152  aks6d1c6lem3  42153  unitscyglem5  42180  hbtlem2  43112  idomodle  43179  xle2addd  45285  xralrple2  45303  infleinflem1  45319  xralrple4  45322  xralrple3  45323  suplesup2  45325  infleinf2  45363  infxrlesupxr  45385  inficc  45486  limsupequzlem  45677  limsupvaluz2  45693  supcnvlimsup  45695  liminfval2  45723  liminflelimsuplem  45730  limsupgtlem  45732  fourierdlem1  46063  sge0cl  46336  sge0lefi  46353  sge0iunmptlemre  46370  sge0isum  46382  omeunle  46471  omeiunle  46472  caratheodorylem2  46482  hoicvrrex  46511  ovnsubaddlem1  46525  ovolval5lem1  46607  pimdecfgtioo  46672  pimincfltioo  46673