Theorem xrletrd 13088

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13084	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  xaddge0  13185  ixxub  13294  ixxlb  13295  limsupval2  15415  0ram  16960  xpsdsval  24337  xblss2ps  24357  xblss2  24358  comet  24469  stdbdxmet  24471  nmoleub  24687  metnrmlem1  24816  nmoleub2lem  25082  ovollb2lem  25457  ovoliunlem2  25472  ovolscalem1  25482  ovolicc1  25485  ovolicc2lem4  25489  voliunlem2  25520  uniioombllem3  25554  itg2uba  25712  itg2lea  25713  itg2split  25718  itg2monolem3  25721  itg2gt0  25729  lhop1lem  25986  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  dvfsumlem3  26003  dvfsumlem4  26004  deg1addle2  26075  deg1sublt  26083  nmooge0  30854  ply1degltlss  33688  metideq  34070  measiun  34395  omssubadd  34477  carsgclctunlem2  34496  mblfinlem1  37905  ismblfin  37909  ftc1anclem8  37948  ftc1anc  37949  aks6d1c6lem2  42538  aks6d1c6lem3  42539  unitscyglem5  42566  hbtlem2  43478  idomodle  43545  xle2addd  45692  xralrple2  45710  infleinflem1  45725  xralrple4  45728  xralrple3  45729  suplesup2  45731  infleinf2  45769  infxrlesupxr  45791  inficc  45891  limsupequzlem  46077  limsupvaluz2  46093  supcnvlimsup  46095  liminfval2  46123  liminflelimsuplem  46130  limsupgtlem  46132  fourierdlem1  46463  sge0cl  46736  sge0lefi  46753  sge0iunmptlemre  46770  sge0isum  46782  omeunle  46871  omeiunle  46872  caratheodorylem2  46882  hoicvrrex  46911  ovnsubaddlem1  46925  ovolval5lem1  47007  pimdecfgtioo  47072  pimincfltioo  47073