Theorem xrletrd 13295

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13291	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝ^*cxr 11346   ≤ cle 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353

This theorem is used by:  xaddge0  13392  ixxub  13501  ixxlb  13502  limsupval2  15653  0ram  17204  xpsdsval  24706  xblss2ps  24726  xblss2  24727  comet  24838  stdbdxmet  24840  nmoleub  25056  metnrmlem1  25185  nmoleub2lem  25441  ovollb2lem  25815  ovoliunlem2  25830  ovolscalem1  25840  ovolicc1  25843  ovolicc2lem4  25847  voliunlem2  25878  uniioombllem3  25912  itg2uba  26070  itg2lea  26071  itg2split  26076  itg2monolem3  26079  itg2gt0  26087  lhop1lem  26339  dvfsumlem2  26353  dvfsumlem3  26354  dvfsumlem4  26355  deg1addle2  26426  deg1sublt  26434  nmooge0  31375  ply1degltlss  34175  metideq  34572  measiun  34898  omssubadd  34979  carsgclctunlem2  34998  mblfinlem1  38669  ismblfin  38673  ftc1anclem8  38712  ftc1anc  38713  aks6d1c6lem2  43315  aks6d1c6lem3  43316  unitscyglem5  43343  hbtlem2  44220  idomodle  44287  xle2addd  46442  xralrple2  46460  infleinflem1  46475  xralrple4  46478  xralrple3  46479  suplesup2  46481  infleinf2  46518  infxrlesupxr  46540  inficc  46640  limsupequzlem  46826  limsupvaluz2  46842  supcnvlimsup  46844  liminfval2  46872  liminflelimsuplem  46879  limsupgtlem  46881  fourierdlem1  47212  sge0cl  47485  sge0lefi  47502  sge0iunmptlemre  47519  sge0isum  47531  omeunle  47620  omeiunle  47621  caratheodorylem2  47631  hoicvrrex  47660  ovnsubaddlem1  47674  ovolval5lem1  47756  pimdecfgtioo  47821  pimincfltioo  47822