MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletrd 12191
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4 (𝜑𝐴𝐵)
xrletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrletrd (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem xrletrd
StepHypRef Expression
1 xrletrd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 xrletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrletr 12187 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
81, 2, 7mp2and 679 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4786  *cxr 10273  cle 10275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280
This theorem is referenced by:  xaddge0  12286  ixxub  12394  ixxlb  12395  limsupval2  14412  0ram  15924  xpsdsval  22399  xblss2ps  22419  xblss2  22420  comet  22531  stdbdxmet  22533  nmoleub  22748  metnrmlem1  22875  nmoleub2lem  23126  ovollb2lem  23469  ovoliunlem2  23484  ovolscalem1  23494  ovolicc1  23497  ovolicc2lem4  23501  voliunlem2  23532  uniioombllem3  23566  itg2uba  23723  itg2lea  23724  itg2split  23729  itg2monolem3  23732  itg2gt0  23740  lhop1lem  23989  dvfsumlem2  24003  dvfsumlem3  24004  dvfsumlem4  24005  deg1addle2  24075  deg1sublt  24083  nmooge0  27955  metideq  30269  measiun  30614  omssubadd  30695  carsgclctunlem2  30714  mblfinlem1  33772  ismblfin  33776  ftc1anclem8  33817  ftc1anc  33818  hbtlem2  38213  idomodle  38293  xle2addd  40061  xralrple2  40079  infleinflem1  40095  xralrple4  40098  xralrple3  40099  suplesup2  40101  infleinf2  40150  infxrlesupxr  40172  inficc  40272  limsupequzlem  40465  limsupvaluz2  40481  supcnvlimsup  40483  liminfval2  40511  liminflelimsuplem  40518  limsupgtlem  40520  fourierdlem1  40835  sge0cl  41108  sge0lefi  41125  sge0iunmptlemre  41142  sge0isum  41154  omeunle  41243  omeiunle  41244  caratheodorylem2  41254  hoicvrrex  41283  ovnsubaddlem1  41297  ovolval5lem1  41379  pimdecfgtioo  41440  pimincfltioo  41441
  Copyright terms: Public domain W3C validator