MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletrd 13082
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4 (𝜑𝐴𝐵)
xrletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrletrd (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem xrletrd
StepHypRef Expression
1 xrletrd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 xrletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrletr 13078 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
81, 2, 7mp2and 698 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  *cxr 11189  cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  xaddge0  13178  ixxub  13286  ixxlb  13287  limsupval2  15363  0ram  16893  xpsdsval  23737  xblss2ps  23757  xblss2  23758  comet  23872  stdbdxmet  23874  nmoleub  24098  metnrmlem1  24225  nmoleub2lem  24480  ovollb2lem  24855  ovoliunlem2  24870  ovolscalem1  24880  ovolicc1  24883  ovolicc2lem4  24887  voliunlem2  24918  uniioombllem3  24952  itg2uba  25111  itg2lea  25112  itg2split  25117  itg2monolem3  25120  itg2gt0  25128  lhop1lem  25380  dvfsumlem2  25394  dvfsumlem3  25395  dvfsumlem4  25396  deg1addle2  25470  deg1sublt  25478  nmooge0  29712  metideq  32477  measiun  32820  omssubadd  32903  carsgclctunlem2  32922  mblfinlem1  36118  ismblfin  36122  ftc1anclem8  36161  ftc1anc  36162  hbtlem2  41454  idomodle  41526  xle2addd  43577  xralrple2  43595  infleinflem1  43611  xralrple4  43614  xralrple3  43615  suplesup2  43617  infleinf2  43656  infxrlesupxr  43678  inficc  43779  limsupequzlem  43970  limsupvaluz2  43986  supcnvlimsup  43988  liminfval2  44016  liminflelimsuplem  44023  limsupgtlem  44025  fourierdlem1  44356  sge0cl  44629  sge0lefi  44646  sge0iunmptlemre  44663  sge0isum  44675  omeunle  44764  omeiunle  44765  caratheodorylem2  44775  hoicvrrex  44804  ovnsubaddlem1  44818  ovolval5lem1  44900  pimdecfgtioo  44965  pimincfltioo  44966
  Copyright terms: Public domain W3C validator