Theorem xrletrd 13098

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190

This theorem is referenced by:  xaddge0  13194  ixxub  13303  ixxlb  13304  limsupval2  15422  0ram  16967  xpsdsval  24245  xblss2ps  24265  xblss2  24266  comet  24377  stdbdxmet  24379  nmoleub  24595  metnrmlem1  24724  nmoleub2lem  24990  ovollb2lem  25365  ovoliunlem2  25380  ovolscalem1  25390  ovolicc1  25393  ovolicc2lem4  25397  voliunlem2  25428  uniioombllem3  25462  itg2uba  25620  itg2lea  25621  itg2split  25626  itg2monolem3  25629  itg2gt0  25637  lhop1lem  25894  dvfsumlem2  25909  dvfsumlem2OLD  25910  dvfsumlem3  25911  dvfsumlem4  25912  deg1addle2  25983  deg1sublt  25991  nmooge0  30669  ply1degltlss  33535  metideq  33856  measiun  34181  omssubadd  34264  carsgclctunlem2  34283  mblfinlem1  37624  ismblfin  37628  ftc1anclem8  37667  ftc1anc  37668  aks6d1c6lem2  42132  aks6d1c6lem3  42133  unitscyglem5  42160  hbtlem2  43086  idomodle  43153  xle2addd  45305  xralrple2  45323  infleinflem1  45339  xralrple4  45342  xralrple3  45343  suplesup2  45345  infleinf2  45383  infxrlesupxr  45405  inficc  45505  limsupequzlem  45693  limsupvaluz2  45709  supcnvlimsup  45711  liminfval2  45739  liminflelimsuplem  45746  limsupgtlem  45748  fourierdlem1  46079  sge0cl  46352  sge0lefi  46369  sge0iunmptlemre  46386  sge0isum  46398  omeunle  46487  omeiunle  46488  caratheodorylem2  46498  hoicvrrex  46527  ovnsubaddlem1  46541  ovolval5lem1  46623  pimdecfgtioo  46688  pimincfltioo  46689