Theorem xrletrd 13284

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝ^*cxr 11335   ≤ cle 11337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342

This theorem is used by:  xaddge0  13381  ixxub  13490  ixxlb  13491  limsupval2  15640  0ram  17191  xpsdsval  24693  xblss2ps  24713  xblss2  24714  comet  24825  stdbdxmet  24827  nmoleub  25043  metnrmlem1  25172  nmoleub2lem  25428  ovollb2lem  25802  ovoliunlem2  25817  ovolscalem1  25827  ovolicc1  25830  ovolicc2lem4  25834  voliunlem2  25865  uniioombllem3  25899  itg2uba  26057  itg2lea  26058  itg2split  26063  itg2monolem3  26066  itg2gt0  26074  lhop1lem  26326  dvfsumlem2  26340  dvfsumlem3  26341  dvfsumlem4  26342  deg1addle2  26413  deg1sublt  26421  nmooge0  31362  ply1degltlss  34121  metideq  34518  measiun  34844  omssubadd  34925  carsgclctunlem2  34944  mblfinlem1  38555  ismblfin  38559  ftc1anclem8  38598  ftc1anc  38599  aks6d1c6lem2  43201  aks6d1c6lem3  43202  unitscyglem5  43229  hbtlem2  44110  idomodle  44177  xle2addd  46317  xralrple2  46335  infleinflem1  46350  xralrple4  46353  xralrple3  46354  suplesup2  46356  infleinf2  46393  infxrlesupxr  46415  inficc  46515  limsupequzlem  46701  limsupvaluz2  46717  supcnvlimsup  46719  liminfval2  46747  liminflelimsuplem  46754  limsupgtlem  46756  fourierdlem1  47087  sge0cl  47360  sge0lefi  47377  sge0iunmptlemre  47394  sge0isum  47406  omeunle  47495  omeiunle  47496  caratheodorylem2  47506  hoicvrrex  47535  ovnsubaddlem1  47549  ovolval5lem1  47631  pimdecfgtioo  47696  pimincfltioo  47697