Theorem xrletrd 12825

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 12821	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 695	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946

This theorem is referenced by:  xaddge0  12921  ixxub  13029  ixxlb  13030  limsupval2  15117  0ram  16649  xpsdsval  23442  xblss2ps  23462  xblss2  23463  comet  23575  stdbdxmet  23577  nmoleub  23801  metnrmlem1  23928  nmoleub2lem  24183  ovollb2lem  24557  ovoliunlem2  24572  ovolscalem1  24582  ovolicc1  24585  ovolicc2lem4  24589  voliunlem2  24620  uniioombllem3  24654  itg2uba  24813  itg2lea  24814  itg2split  24819  itg2monolem3  24822  itg2gt0  24830  lhop1lem  25082  dvfsumlem2  25096  dvfsumlem3  25097  dvfsumlem4  25098  deg1addle2  25172  deg1sublt  25180  nmooge0  29030  metideq  31745  measiun  32086  omssubadd  32167  carsgclctunlem2  32186  mblfinlem1  35741  ismblfin  35745  ftc1anclem8  35784  ftc1anc  35785  hbtlem2  40865  idomodle  40937  xle2addd  42765  xralrple2  42783  infleinflem1  42799  xralrple4  42802  xralrple3  42803  suplesup2  42805  infleinf2  42844  infxrlesupxr  42866  inficc  42962  limsupequzlem  43153  limsupvaluz2  43169  supcnvlimsup  43171  liminfval2  43199  liminflelimsuplem  43206  limsupgtlem  43208  fourierdlem1  43539  sge0cl  43809  sge0lefi  43826  sge0iunmptlemre  43843  sge0isum  43855  omeunle  43944  omeiunle  43945  caratheodorylem2  43955  hoicvrrex  43984  ovnsubaddlem1  43998  ovolval5lem1  44080  pimdecfgtioo  44141  pimincfltioo  44142