Theorem xrletrd 13056

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13052	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ℝ^*cxr 11140   ≤ cle 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147

This theorem is referenced by:  xaddge0  13152  ixxub  13261  ixxlb  13262  limsupval2  15382  0ram  16927  xpsdsval  24291  xblss2ps  24311  xblss2  24312  comet  24423  stdbdxmet  24425  nmoleub  24641  metnrmlem1  24770  nmoleub2lem  25036  ovollb2lem  25411  ovoliunlem2  25426  ovolscalem1  25436  ovolicc1  25439  ovolicc2lem4  25443  voliunlem2  25474  uniioombllem3  25508  itg2uba  25666  itg2lea  25667  itg2split  25672  itg2monolem3  25675  itg2gt0  25683  lhop1lem  25940  dvfsumlem2  25955  dvfsumlem2OLD  25956  dvfsumlem3  25957  dvfsumlem4  25958  deg1addle2  26029  deg1sublt  26037  nmooge0  30739  ply1degltlss  33549  metideq  33898  measiun  34223  omssubadd  34305  carsgclctunlem2  34324  mblfinlem1  37697  ismblfin  37701  ftc1anclem8  37740  ftc1anc  37741  aks6d1c6lem2  42204  aks6d1c6lem3  42205  unitscyglem5  42232  hbtlem2  43157  idomodle  43224  xle2addd  45375  xralrple2  45393  infleinflem1  45408  xralrple4  45411  xralrple3  45412  suplesup2  45414  infleinf2  45452  infxrlesupxr  45474  inficc  45574  limsupequzlem  45760  limsupvaluz2  45776  supcnvlimsup  45778  liminfval2  45806  liminflelimsuplem  45813  limsupgtlem  45815  fourierdlem1  46146  sge0cl  46419  sge0lefi  46436  sge0iunmptlemre  46453  sge0isum  46465  omeunle  46554  omeiunle  46555  caratheodorylem2  46565  hoicvrrex  46594  ovnsubaddlem1  46608  ovolval5lem1  46690  pimdecfgtioo  46755  pimincfltioo  46756