Theorem xrletrd 13111

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 705	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183

This theorem is referenced by:  xaddge0  13208  ixxub  13317  ixxlb  13318  limsupval2  15440  0ram  16989  xpsdsval  24371  xblss2ps  24391  xblss2  24392  comet  24503  stdbdxmet  24505  nmoleub  24721  metnrmlem1  24850  nmoleub2lem  25106  ovollb2lem  25480  ovoliunlem2  25495  ovolscalem1  25505  ovolicc1  25508  ovolicc2lem4  25512  voliunlem2  25543  uniioombllem3  25577  itg2uba  25735  itg2lea  25736  itg2split  25741  itg2monolem3  25744  itg2gt0  25752  lhop1lem  26005  dvfsumlem2  26019  dvfsumlem3  26020  dvfsumlem4  26021  deg1addle2  26092  deg1sublt  26100  nmooge0  30863  ply1degltlss  33686  metideq  34084  measiun  34409  omssubadd  34491  carsgclctunlem2  34510  mblfinlem1  38031  ismblfin  38035  ftc1anclem8  38074  ftc1anc  38075  aks6d1c6lem2  42663  aks6d1c6lem3  42664  unitscyglem5  42691  hbtlem2  43576  idomodle  43643  xle2addd  45788  xralrple2  45806  infleinflem1  45821  xralrple4  45824  xralrple3  45825  suplesup2  45827  infleinf2  45864  infxrlesupxr  45886  inficc  45986  limsupequzlem  46172  limsupvaluz2  46188  supcnvlimsup  46190  liminfval2  46218  liminflelimsuplem  46225  limsupgtlem  46227  fourierdlem1  46558  sge0cl  46831  sge0lefi  46848  sge0iunmptlemre  46865  sge0isum  46877  omeunle  46966  omeiunle  46967  caratheodorylem2  46977  hoicvrrex  47006  ovnsubaddlem1  47020  ovolval5lem1  47102  pimdecfgtioo  47167  pimincfltioo  47168