Theorem xrletrd 12543

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 12539	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝ^*cxr 10663   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670

This theorem is referenced by:  xaddge0  12639  ixxub  12747  ixxlb  12748  limsupval2  14829  0ram  16346  xpsdsval  22988  xblss2ps  23008  xblss2  23009  comet  23120  stdbdxmet  23122  nmoleub  23337  metnrmlem1  23464  nmoleub2lem  23719  ovollb2lem  24092  ovoliunlem2  24107  ovolscalem1  24117  ovolicc1  24120  ovolicc2lem4  24124  voliunlem2  24155  uniioombllem3  24189  itg2uba  24347  itg2lea  24348  itg2split  24353  itg2monolem3  24356  itg2gt0  24364  lhop1lem  24616  dvfsumlem2  24630  dvfsumlem3  24631  dvfsumlem4  24632  deg1addle2  24703  deg1sublt  24711  nmooge0  28550  metideq  31246  measiun  31587  omssubadd  31668  carsgclctunlem2  31687  mblfinlem1  35094  ismblfin  35098  ftc1anclem8  35137  ftc1anc  35138  hbtlem2  40068  idomodle  40140  xle2addd  41968  xralrple2  41986  infleinflem1  42002  xralrple4  42005  xralrple3  42006  suplesup2  42008  infleinf2  42051  infxrlesupxr  42073  inficc  42171  limsupequzlem  42364  limsupvaluz2  42380  supcnvlimsup  42382  liminfval2  42410  liminflelimsuplem  42417  limsupgtlem  42419  fourierdlem1  42750  sge0cl  43020  sge0lefi  43037  sge0iunmptlemre  43054  sge0isum  43066  omeunle  43155  omeiunle  43156  caratheodorylem2  43166  hoicvrrex  43195  ovnsubaddlem1  43209  ovolval5lem1  43291  pimdecfgtioo  43352  pimincfltioo  43353