Theorem xrletrd 13076

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  xaddge0  13173  ixxub  13282  ixxlb  13283  limsupval2  15403  0ram  16948  xpsdsval  24325  xblss2ps  24345  xblss2  24346  comet  24457  stdbdxmet  24459  nmoleub  24675  metnrmlem1  24804  nmoleub2lem  25070  ovollb2lem  25445  ovoliunlem2  25460  ovolscalem1  25470  ovolicc1  25473  ovolicc2lem4  25477  voliunlem2  25508  uniioombllem3  25542  itg2uba  25700  itg2lea  25701  itg2split  25706  itg2monolem3  25709  itg2gt0  25717  lhop1lem  25974  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  dvfsumlem3  25991  dvfsumlem4  25992  deg1addle2  26063  deg1sublt  26071  nmooge0  30842  ply1degltlss  33677  metideq  34050  measiun  34375  omssubadd  34457  carsgclctunlem2  34476  mblfinlem1  37858  ismblfin  37862  ftc1anclem8  37901  ftc1anc  37902  aks6d1c6lem2  42425  aks6d1c6lem3  42426  unitscyglem5  42453  hbtlem2  43366  idomodle  43433  xle2addd  45581  xralrple2  45599  infleinflem1  45614  xralrple4  45617  xralrple3  45618  suplesup2  45620  infleinf2  45658  infxrlesupxr  45680  inficc  45780  limsupequzlem  45966  limsupvaluz2  45982  supcnvlimsup  45984  liminfval2  46012  liminflelimsuplem  46019  limsupgtlem  46021  fourierdlem1  46352  sge0cl  46625  sge0lefi  46642  sge0iunmptlemre  46659  sge0isum  46671  omeunle  46760  omeiunle  46761  caratheodorylem2  46771  hoicvrrex  46800  ovnsubaddlem1  46814  ovolval5lem1  46896  pimdecfgtioo  46961  pimincfltioo  46962