Theorem xrletrd 13183

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11238   ≤ cle 11240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245

This theorem is referenced by:  xaddge0  13280  ixxub  13389  ixxlb  13390  limsupval2  15527  0ram  17076  xpsdsval  24503  xblss2ps  24523  xblss2  24524  comet  24635  stdbdxmet  24637  nmoleub  24853  metnrmlem1  24982  nmoleub2lem  25238  ovollb2lem  25612  ovoliunlem2  25627  ovolscalem1  25637  ovolicc1  25640  ovolicc2lem4  25644  voliunlem2  25675  uniioombllem3  25709  itg2uba  25867  itg2lea  25868  itg2split  25873  itg2monolem3  25876  itg2gt0  25884  lhop1lem  26137  dvfsumlem2  26151  dvfsumlem3  26152  dvfsumlem4  26153  deg1addle2  26224  deg1sublt  26232  nmooge0  31056  ply1degltlss  33827  metideq  34224  measiun  34549  omssubadd  34631  carsgclctunlem2  34650  mblfinlem1  38191  ismblfin  38195  ftc1anclem8  38234  ftc1anc  38235  aks6d1c6lem2  42823  aks6d1c6lem3  42824  unitscyglem5  42851  hbtlem2  43736  idomodle  43803  xle2addd  45937  xralrple2  45955  infleinflem1  45970  xralrple4  45973  xralrple3  45974  suplesup2  45976  infleinf2  46013  infxrlesupxr  46035  inficc  46135  limsupequzlem  46321  limsupvaluz2  46337  supcnvlimsup  46339  liminfval2  46367  liminflelimsuplem  46374  limsupgtlem  46376  fourierdlem1  46707  sge0cl  46980  sge0lefi  46997  sge0iunmptlemre  47014  sge0isum  47026  omeunle  47115  omeiunle  47116  caratheodorylem2  47126  hoicvrrex  47155  ovnsubaddlem1  47169  ovolval5lem1  47251  pimdecfgtioo  47316  pimincfltioo  47317