Theorem xrletrd 13176

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273

This theorem is referenced by:  xaddge0  13272  ixxub  13381  ixxlb  13382  limsupval2  15494  0ram  17038  xpsdsval  24318  xblss2ps  24338  xblss2  24339  comet  24450  stdbdxmet  24452  nmoleub  24668  metnrmlem1  24797  nmoleub2lem  25063  ovollb2lem  25439  ovoliunlem2  25454  ovolscalem1  25464  ovolicc1  25467  ovolicc2lem4  25471  voliunlem2  25502  uniioombllem3  25536  itg2uba  25694  itg2lea  25695  itg2split  25700  itg2monolem3  25703  itg2gt0  25711  lhop1lem  25968  dvfsumlem2  25983  dvfsumlem2OLD  25984  dvfsumlem3  25985  dvfsumlem4  25986  deg1addle2  26057  deg1sublt  26065  nmooge0  30694  ply1degltlss  33552  metideq  33870  measiun  34195  omssubadd  34278  carsgclctunlem2  34297  mblfinlem1  37627  ismblfin  37631  ftc1anclem8  37670  ftc1anc  37671  aks6d1c6lem2  42130  aks6d1c6lem3  42131  unitscyglem5  42158  hbtlem2  43095  idomodle  43162  xle2addd  45311  xralrple2  45329  infleinflem1  45345  xralrple4  45348  xralrple3  45349  suplesup2  45351  infleinf2  45389  infxrlesupxr  45411  inficc  45511  limsupequzlem  45699  limsupvaluz2  45715  supcnvlimsup  45717  liminfval2  45745  liminflelimsuplem  45752  limsupgtlem  45754  fourierdlem1  46085  sge0cl  46358  sge0lefi  46375  sge0iunmptlemre  46392  sge0isum  46404  omeunle  46493  omeiunle  46494  caratheodorylem2  46504  hoicvrrex  46533  ovnsubaddlem1  46547  ovolval5lem1  46629  pimdecfgtioo  46694  pimincfltioo  46695