Theorem xrletrd 13198

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝ^*cxr 11253   ≤ cle 11255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260

This theorem is used by:  xaddge0  13295  ixxub  13404  ixxlb  13405  limsupval2  15550  0ram  17097  xpsdsval  24567  xblss2ps  24587  xblss2  24588  comet  24699  stdbdxmet  24701  nmoleub  24917  metnrmlem1  25046  nmoleub2lem  25302  ovollb2lem  25676  ovoliunlem2  25691  ovolscalem1  25701  ovolicc1  25704  ovolicc2lem4  25708  voliunlem2  25739  uniioombllem3  25773  itg2uba  25931  itg2lea  25932  itg2split  25937  itg2monolem3  25940  itg2gt0  25948  lhop1lem  26201  dvfsumlem2  26215  dvfsumlem3  26216  dvfsumlem4  26217  deg1addle2  26288  deg1sublt  26296  nmooge0  31148  ply1degltlss  33909  metideq  34306  measiun  34632  omssubadd  34714  carsgclctunlem2  34733  mblfinlem1  38341  ismblfin  38345  ftc1anclem8  38384  ftc1anc  38385  aks6d1c6lem2  42971  aks6d1c6lem3  42972  unitscyglem5  42999  hbtlem2  43884  idomodle  43951  xle2addd  46085  xralrple2  46103  infleinflem1  46118  xralrple4  46121  xralrple3  46122  suplesup2  46124  infleinf2  46161  infxrlesupxr  46183  inficc  46283  limsupequzlem  46469  limsupvaluz2  46485  supcnvlimsup  46487  liminfval2  46515  liminflelimsuplem  46522  limsupgtlem  46524  fourierdlem1  46855  sge0cl  47128  sge0lefi  47145  sge0iunmptlemre  47162  sge0isum  47174  omeunle  47263  omeiunle  47264  caratheodorylem2  47274  hoicvrrex  47303  ovnsubaddlem1  47317  ovolval5lem1  47399  pimdecfgtioo  47464  pimincfltioo  47465