Theorem xrletrd 12549

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 12545	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675

This theorem is referenced by:  xaddge0  12645  ixxub  12753  ixxlb  12754  limsupval2  14831  0ram  16350  xpsdsval  22985  xblss2ps  23005  xblss2  23006  comet  23117  stdbdxmet  23119  nmoleub  23334  metnrmlem1  23461  nmoleub2lem  23712  ovollb2lem  24083  ovoliunlem2  24098  ovolscalem1  24108  ovolicc1  24111  ovolicc2lem4  24115  voliunlem2  24146  uniioombllem3  24180  itg2uba  24338  itg2lea  24339  itg2split  24344  itg2monolem3  24347  itg2gt0  24355  lhop1lem  24604  dvfsumlem2  24618  dvfsumlem3  24619  dvfsumlem4  24620  deg1addle2  24690  deg1sublt  24698  nmooge0  28538  metideq  31128  measiun  31472  omssubadd  31553  carsgclctunlem2  31572  mblfinlem1  34923  ismblfin  34927  ftc1anclem8  34968  ftc1anc  34969  hbtlem2  39717  idomodle  39789  xle2addd  41596  xralrple2  41614  infleinflem1  41630  xralrple4  41633  xralrple3  41634  suplesup2  41636  infleinf2  41680  infxrlesupxr  41702  inficc  41802  limsupequzlem  41995  limsupvaluz2  42011  supcnvlimsup  42013  liminfval2  42041  liminflelimsuplem  42048  limsupgtlem  42050  fourierdlem1  42386  sge0cl  42656  sge0lefi  42673  sge0iunmptlemre  42690  sge0isum  42702  omeunle  42791  omeiunle  42792  caratheodorylem2  42802  hoicvrrex  42831  ovnsubaddlem1  42845  ovolval5lem1  42927  pimdecfgtioo  42988  pimincfltioo  42989