Theorem xrletrd 13213

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273

This theorem is used by:  xaddge0  13310  ixxub  13419  ixxlb  13420  limsupval2  15567  0ram  17112  xpsdsval  24607  xblss2ps  24627  xblss2  24628  comet  24739  stdbdxmet  24741  nmoleub  24957  metnrmlem1  25086  nmoleub2lem  25342  ovollb2lem  25716  ovoliunlem2  25731  ovolscalem1  25741  ovolicc1  25744  ovolicc2lem4  25748  voliunlem2  25779  uniioombllem3  25813  itg2uba  25971  itg2lea  25972  itg2split  25977  itg2monolem3  25980  itg2gt0  25988  lhop1lem  26240  dvfsumlem2  26254  dvfsumlem3  26255  dvfsumlem4  26256  deg1addle2  26327  deg1sublt  26335  nmooge0  31248  ply1degltlss  34006  metideq  34403  measiun  34729  omssubadd  34811  carsgclctunlem2  34830  mblfinlem1  38406  ismblfin  38410  ftc1anclem8  38449  ftc1anc  38450  aks6d1c6lem2  43037  aks6d1c6lem3  43038  unitscyglem5  43065  hbtlem2  43965  idomodle  44032  xle2addd  46166  xralrple2  46184  infleinflem1  46199  xralrple4  46202  xralrple3  46203  suplesup2  46205  infleinf2  46242  infxrlesupxr  46264  inficc  46364  limsupequzlem  46550  limsupvaluz2  46566  supcnvlimsup  46568  liminfval2  46596  liminflelimsuplem  46603  limsupgtlem  46605  fourierdlem1  46936  sge0cl  47209  sge0lefi  47226  sge0iunmptlemre  47243  sge0isum  47255  omeunle  47344  omeiunle  47345  caratheodorylem2  47355  hoicvrrex  47384  ovnsubaddlem1  47398  ovolval5lem1  47480  pimdecfgtioo  47545  pimincfltioo  47546