Theorem xrletrd 13082

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13078	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  xaddge0  13178  ixxub  13287  ixxlb  13288  limsupval2  15405  0ram  16950  xpsdsval  24285  xblss2ps  24305  xblss2  24306  comet  24417  stdbdxmet  24419  nmoleub  24635  metnrmlem1  24764  nmoleub2lem  25030  ovollb2lem  25405  ovoliunlem2  25420  ovolscalem1  25430  ovolicc1  25433  ovolicc2lem4  25437  voliunlem2  25468  uniioombllem3  25502  itg2uba  25660  itg2lea  25661  itg2split  25666  itg2monolem3  25669  itg2gt0  25677  lhop1lem  25934  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  dvfsumlem3  25951  dvfsumlem4  25952  deg1addle2  26023  deg1sublt  26031  nmooge0  30729  ply1degltlss  33541  metideq  33862  measiun  34187  omssubadd  34270  carsgclctunlem2  34289  mblfinlem1  37639  ismblfin  37643  ftc1anclem8  37682  ftc1anc  37683  aks6d1c6lem2  42147  aks6d1c6lem3  42148  unitscyglem5  42175  hbtlem2  43100  idomodle  43167  xle2addd  45319  xralrple2  45337  infleinflem1  45353  xralrple4  45356  xralrple3  45357  suplesup2  45359  infleinf2  45397  infxrlesupxr  45419  inficc  45519  limsupequzlem  45707  limsupvaluz2  45723  supcnvlimsup  45725  liminfval2  45753  liminflelimsuplem  45760  limsupgtlem  45762  fourierdlem1  46093  sge0cl  46366  sge0lefi  46383  sge0iunmptlemre  46400  sge0isum  46412  omeunle  46501  omeiunle  46502  caratheodorylem2  46512  hoicvrrex  46541  ovnsubaddlem1  46555  ovolval5lem1  46637  pimdecfgtioo  46702  pimincfltioo  46703