Theorem xrletrd 13331

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem xrletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrletr 13327	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388

This theorem is used by:  xaddge0  13428  ixxub  13537  ixxlb  13538  limsupval2  15691  0ram  17242  xpsdsval  24755  xblss2ps  24775  xblss2  24776  comet  24887  stdbdxmet  24889  nmoleub  25105  metnrmlem1  25234  nmoleub2lem  25490  ovollb2lem  25864  ovoliunlem2  25879  ovolscalem1  25889  ovolicc1  25892  ovolicc2lem4  25896  voliunlem2  25927  uniioombllem3  25961  itg2uba  26119  itg2lea  26120  itg2split  26125  itg2monolem3  26128  itg2gt0  26136  lhop1lem  26388  dvfsumlem2  26402  dvfsumlem3  26403  dvfsumlem4  26404  deg1addle2  26475  deg1sublt  26483  nmooge0  31426  ply1degltlss  34231  metideq  34636  measiun  34962  omssubadd  35043  carsgclctunlem2  35062  mblfinlem1  38843  ismblfin  38847  ftc1anclem8  38886  ftc1anc  38887  aks6d1c6lem2  43487  aks6d1c6lem3  43488  unitscyglem5  43515  hbtlem2  44391  idomodle  44454  xle2addd  46621  xralrple2  46639  infleinflem1  46654  xralrple4  46657  xralrple3  46658  suplesup2  46660  infleinf2  46697  infxrlesupxr  46719  inficc  46819  limsupequzlem  47005  limsupvaluz2  47021  supcnvlimsup  47023  liminfval2  47051  liminflelimsuplem  47058  limsupgtlem  47060  fourierdlem1  47391  sge0cl  47664  sge0lefi  47681  sge0iunmptlemre  47698  sge0isum  47710  omeunle  47799  omeiunle  47800  caratheodorylem2  47810  hoicvrrex  47839  ovnsubaddlem1  47853  ovolval5lem1  47935  pimdecfgtioo  48000  pimincfltioo  48001