Theorem suprltrp 45324

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals can be approximated from below by elements of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprltrp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprltrp.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprltrp.bnd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprltrp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
suprltrp	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprltrp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprltrp.n0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprltrp.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprcl 12143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6		suprltrp.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
7	5, 6	ltsubrpd 13027	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ))
8	6	rpred 12995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
9	5, 8	resubcld 11606	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ)
10		suprlub 12147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
11	1, 2, 3, 9, 10	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
12	7, 11	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  supcsup 9391  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  sge0ltfirp  46398