Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprltrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprltrp 43716
Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals can be approximated from below by elements of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
suprltrp.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suprltrp.n0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprltrp.bnd (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
suprltrp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
suprltrp (𝜑 → ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprltrp
StepHypRef Expression
1 suprltrp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 suprltrp.n0 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
3 suprltrp.bnd . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4 suprcl 12139 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
51, 2, 3, 4syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6 suprltrp.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
75, 6ltsubrpd 13013 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ))
86rpred 12981 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
95, 8resubcld 11607 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ)
10 suprlub 12143 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
111, 2, 3, 9, 10syl31anc 1373 . 2 (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
127, 11mpbid 231 1 (𝜑 → ∃𝑧𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  wss 3928  c0 4302   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  supcsup 9400  cr 11074   < clt 11213  cle 11214  cmin 11409  +crp 12939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-rp 12940
This theorem is referenced by:  sge0ltfirp  44794
  Copyright terms: Public domain W3C validator