Theorem suprltrp 43716

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals can be approximated from below by elements of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprltrp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprltrp.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprltrp.bnd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprltrp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
suprltrp	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprltrp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprltrp.n0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprltrp.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprcl 12139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6		suprltrp.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
7	5, 6	ltsubrpd 13013	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ))
8	6	rpred 12981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
9	5, 8	resubcld 11607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ)
10		suprlub 12143	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
11	1, 2, 3, 9, 10	syl31anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
12	7, 11	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3928  ∅c0 4302   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  supcsup 9400  ℝcr 11074   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11409  ℝ⁺crp 12939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-rp 12940

This theorem is referenced by:  sge0ltfirp  44794