Theorem suprltrp 45868

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals can be approximated from below by elements of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprltrp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprltrp.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprltrp.bnd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprltrp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
suprltrp	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprltrp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprltrp.n0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprltrp.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprcl 12149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6		suprltrp.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
7	5, 6	ltsubrpd 13066	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ))
8	6	rpred 13034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
9	5, 8	resubcld 11612	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ)
10		suprlub 12153	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
11	1, 2, 3, 9, 10	syl31anc 1391	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
12	7, 11	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  supcsup 9383  ℝcr 11069   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℝ⁺crp 12990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-rp 12991

This theorem is referenced by:  sge0ltfirp  46938