Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0prle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0prle 46416
Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 46409. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0prle.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0prle.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0prle.d (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.e (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.cd (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
sge0prle.ce (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
sge0prle (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0prle
StepHypRef Expression
1 preq1 4733 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
2 dfsn2 4639 . . . . . . . . . 10 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
32eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
51, 4eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
65mpteq1d 5237 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))
76fveq2d 6910 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
87adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
9 sge0prle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑊)
10 sge0prle.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
11 sge0prle.ce . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
129, 10, 11sge0snmpt 46398 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
148, 13eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
15 iccssxr 13470 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
1615, 10sselid 3981 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
1716xaddlidd 45331 . . . . . 6 (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) = 𝐸)
1817eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑𝐸 = (0 +𝑒 𝐸))
19 0xr 11308 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21 sge0prle.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
2215, 21sselid 3981 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
23 pnfxr 11315 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
25 iccgelb 13443 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
2620, 24, 21, 25syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
2720, 22, 16, 26xleadd1d 45340 . . . . 5 (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
2818, 27eqbrtrd 5165 . . . 4 (𝜑𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
3014, 29eqbrtrd 5165 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
31 sge0prle.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
3231adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑉)
339adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑊)
3421adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
3510adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
36 sge0prle.cd . . . 4 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
37 neqne 2948 . . . . 5 𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
3837adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
3932, 33, 34, 35, 36, 11, 38sge0pr 46409 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
4022, 16xaddcld 13343 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
4140xrleidd 13194 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4339, 42eqbrtrd 5165 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4430, 43pm2.61dan 813 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  Σ^csumge0 46377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378
This theorem is referenced by:  omeunle  46531
  Copyright terms: Public domain W3C validator