Theorem sge0prle 47237

Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 47230. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0prle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0prle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0prle.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.cd	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
sge0prle.ce	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sge0prle	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0prle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 4697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
2		dfsn2 4600	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
3	2	eqcomi 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
5	1, 4	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
6	5	mpteq1d 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))
7	6	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
9		sge0prle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		sge0prle.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
11		sge0prle.ce	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)
12	9, 10, 11	sge0snmpt 47219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
14	8, 13	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
15		iccssxr 13487	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	15, 10	sselid 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
17	16	xaddlidd 46159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) = 𝐸)
18	17	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (0 +𝑒 𝐸))
19		0xr 11284	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21		sge0prle.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
22	15, 21	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
23		pnfxr 11291	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
25		iccgelb 13459	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
26	20, 24, 21, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
27	20, 22, 16, 26	xleadd1d 46167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
28	18, 27	eqbrtrd 5131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
29	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
30	14, 29	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
31		sge0prle.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
32	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
33	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
34	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
35	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
36		sge0prle.cd	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
37		neqne 2965	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
38	37	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
39	32, 33, 34, 35, 36, 11, 38	sge0pr 47230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
40	22, 16	xaddcld 13357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41	40	xrleidd 13207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
42	41	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
43	39, 42	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
44	30, 43	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  +∞cpnf 11268  ℝ^*cxr 11270   ≤ cle 11272   +_𝑒 cxad 13165  [,]cicc 13405  Σ^{^}csumge0 47198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-xadd 13168  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-sumge0 47199

This theorem is used by:  omeunle  47352