Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0prle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0prle 42251
Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 42244. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0prle.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0prle.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0prle.d (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.e (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.cd (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
sge0prle.ce (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
sge0prle (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0prle
StepHypRef Expression
1 preq1 4580 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
2 dfsn2 4489 . . . . . . . . . 10 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
32eqcomi 2804 . . . . . . . . 9 {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
51, 4eqtrd 2831 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
65mpteq1d 5054 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))
76fveq2d 6547 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
87adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
9 sge0prle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑊)
10 sge0prle.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
11 sge0prle.ce . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
129, 10, 11sge0snmpt 42233 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
148, 13eqtrd 2831 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
15 iccssxr 12674 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
1615, 10sseldi 3891 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
1716xaddid2d 41153 . . . . . 6 (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) = 𝐸)
1817eqcomd 2801 . . . . 5 (𝜑𝐸 = (0 +𝑒 𝐸))
19 0xr 10539 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21 sge0prle.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
2215, 21sseldi 3891 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
23 pnfxr 10546 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
25 iccgelb 12648 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
2620, 24, 21, 25syl3anc 1364 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
2720, 22, 16, 26xleadd1d 41163 . . . . 5 (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
2818, 27eqbrtrd 4988 . . . 4 (𝜑𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
2928adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
3014, 29eqbrtrd 4988 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
31 sge0prle.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
3231adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑉)
339adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑊)
3421adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
3510adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
36 sge0prle.cd . . . 4 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
37 neqne 2992 . . . . 5 𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
3837adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
3932, 33, 34, 35, 36, 11, 38sge0pr 42244 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
4022, 16xaddcld 12549 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
4140xrleidd 12400 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4241adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4339, 42eqbrtrd 4988 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4430, 43pm2.61dan 809 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  {csn 4476  {cpr 4478   class class class wbr 4966  cmpt 5045  cfv 6230  (class class class)co 7021  0cc0 10388  +∞cpnf 10523  *cxr 10525  cle 10527   +𝑒 cxad 12360  [,]cicc 12596  Σ^csumge0 42212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-xadd 12363  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-sum 14882  df-sumge0 42213
This theorem is referenced by:  omeunle  42366
  Copyright terms: Public domain W3C validator