Theorem sge0prle 46974

Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 46967. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0prle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0prle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0prle.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.cd	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
sge0prle.ce	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sge0prle	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0prle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 4695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
2		dfsn2 4598	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
3	2	eqcomi 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
5	1, 4	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
6	5	mpteq1d 5194	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))
7	6	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
8	7	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
9		sge0prle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		sge0prle.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
11		sge0prle.ce	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)
12	9, 10, 11	sge0snmpt 46956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
14	8, 13	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
15		iccssxr 13445	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	15, 10	sselid 3937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
17	16	xaddlidd 45896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) = 𝐸)
18	17	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (0 +𝑒 𝐸))
19		0xr 11244	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21		sge0prle.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
22	15, 21	sselid 3937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
23		pnfxr 11251	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
25		iccgelb 13417	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
26	20, 24, 21, 25	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
27	20, 22, 16, 26	xleadd1d 45904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
28	18, 27	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
29	28	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
30	14, 29	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
31		sge0prle.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
32	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
33	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
34	21	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
35	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
36		sge0prle.cd	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
37		neqne 2968	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
38	37	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
39	32, 33, 34, 35, 36, 11, 38	sge0pr 46967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
40	22, 16	xaddcld 13315	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41	40	xrleidd 13165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
42	41	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
43	39, 42	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
44	30, 43	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232   +_𝑒 cxad 13123  [,]cicc 13363  Σ^{^}csumge0 46935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-xadd 13126  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-sumge0 46936

This theorem is referenced by:  omeunle  47089