Theorem sge0prle 46847

Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 46840. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0prle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0prle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0prle.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.cd	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
sge0prle.ce	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sge0prle	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0prle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 4678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
2		dfsn2 4581	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
3	2	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
5	1, 4	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
6	5	mpteq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))
7	6	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
9		sge0prle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		sge0prle.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
11		sge0prle.ce	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)
12	9, 10, 11	sge0snmpt 46829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
14	8, 13	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
15		iccssxr 13374	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	15, 10	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
17	16	xaddlidd 45769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) = 𝐸)
18	17	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (0 +𝑒 𝐸))
19		0xr 11183	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21		sge0prle.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
22	15, 21	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
23		pnfxr 11190	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
25		iccgelb 13346	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
26	20, 24, 21, 25	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
27	20, 22, 16, 26	xleadd1d 45777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
28	18, 27	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
30	14, 29	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
31		sge0prle.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
33	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
34	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
35	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
36		sge0prle.cd	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
37		neqne 2941	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
39	32, 33, 34, 35, 36, 11, 38	sge0pr 46840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
40	22, 16	xaddcld 13244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41	40	xrleidd 13094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
43	39, 42	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
44	30, 43	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171   +_𝑒 cxad 13052  [,]cicc 13292  Σ^{^}csumge0 46808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-sumge0 46809

This theorem is referenced by:  omeunle  46962