Theorem xmulpnf2 13008

Description: Multiplication by plus infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ ·e 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xmulpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11030	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xmulcom 12999	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ ·e 𝐴) = (𝐴 ·e +∞))
3	1, 2	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ·e 𝐴) = (𝐴 ·e +∞))
4	3	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ ·e 𝐴) = (𝐴 ·e +∞))
5		xmulpnf1 13007	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
6	4, 5	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ ·e 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  0cc0 10872  +∞cpnf 11007  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010   ·_e cxmu 12846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulcom 10936  ax-i2m1 10940  ax-rnegex 10943  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-xmul 12849

This theorem is referenced by:  xmulid1  13012  xmulgt0  13016  xmulasslem3  13019  xlemul1a  13021  xadddi2  13030  nmoix  23891  nn0xmulclb  31090  hashxpe  31123  esumpinfsum  32041