MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulpnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulpnf2 12654
Description: Multiplication by plus infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulpnf2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ ·e 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xmulpnf2
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10680 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 xmulcom 12645 . . . 4 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ ·e 𝐴) = (𝐴 ·e +∞))
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ·e 𝐴) = (𝐴 ·e +∞))
43adantr 484 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ ·e 𝐴) = (𝐴 ·e +∞))
5 xmulpnf1 12653 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
64, 5eqtrd 2859 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ ·e 𝐴) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  0cc0 10522  +∞cpnf 10657  *cxr 10659   < clt 10660   ·e cxmu 12492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulcom 10586  ax-i2m1 10590  ax-rnegex 10593  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-xmul 12495
This theorem is referenced by:  xmulid1  12658  xmulgt0  12662  xmulasslem3  12665  xlemul1a  12667  xadddi2  12676  nmoix  23324  nn0xmulclb  30493  hashxpe  30526  esumpinfsum  31354
  Copyright terms: Public domain W3C validator