Theorem xmulpnf2 13177

Description: Multiplication by plus infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulpnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ ·e 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xmulpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11169	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xmulcom 13168	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ ·e 𝐴) = (𝐴 ·e +∞))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ·e 𝐴) = (𝐴 ·e +∞))
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ ·e 𝐴) = (𝐴 ·e +∞))
5		xmulpnf1 13176	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
6	4, 5	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (+∞ ·e 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  0cc0 11009  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ·_e cxmu 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulcom 11073  ax-i2m1 11077  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-xmul 13016

This theorem is referenced by:  xmulrid  13181  xmulgt0  13185  xmulasslem3  13188  xlemul1a  13190  xadddi2  13199  nmoix  24615  rexmul2  32697  nn0xmulclb  32714  hashxpe  32752  fldextrspundgdvdslem  33647  esumpinfsum  34044