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Theorem nn0xmulclb 30506
Description: Finite multiplication in the extended nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nn0xmulclb (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem nn0xmulclb
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
2 simpr 488 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
32oveq1d 7155 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
4 xnn0xr 11960 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℝ*)
54ad5antlr 734 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 simp-5r 785 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℕ0*)
7 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
87ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≠ 0)
9 xnn0gt0 30504 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ0*𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
106, 8, 9syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 0 < 𝐵)
11 xmulpnf2 12656 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
125, 10, 11syl2anc 587 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
13 pnfnre2 10672 . . . . . . . 8 ¬ +∞ ∈ ℝ
14 nn0re 11894 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
1513, 14mto 200 . . . . . . 7 ¬ +∞ ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
1712, 16eqneltrd 2933 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (+∞ ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
183, 17eqneltrd 2933 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
19 simpr 488 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
2019oveq2d 7156 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
21 xnn0xr 11960 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)
2221ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 simp-5l 784 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℕ0*)
24 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ 0)
26 xnn0gt0 30504 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
2723, 25, 26syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < 𝐴)
28 xmulpnf1 12655 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
2922, 27, 28syl2anc 587 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
3015a1i 11 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
3129, 30eqneltrd 2933 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e +∞) ∈ ℕ0)
3220, 31eqneltrd 2933 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
33 xnn0nnn0pnf 11968 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
3433ad5ant15 758 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
3534ex 416 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
36 xnn0nnn0pnf 11968 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
3736ad5ant25 761 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
3837ex 416 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞))
3935, 38orim12d 962 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
40 pm3.13 992 . . . . 5 (¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
4139, 40impel 509 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
4218, 32, 41mpjaodan 956 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
431, 42condan 817 . 2 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
44 nn0re 11894 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
4544ad2antrl 727 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 nn0re 11894 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
4746ad2antll 728 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
48 rexmul 12652 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
4945, 47, 48syl2anc 587 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
50 nn0mulcl 11921 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
5150adantl 485 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
5249, 51eqeltrd 2914 . 2 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
5343, 52impbida 800 1 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  0cn0 11885  0*cxnn0 11955   ·e cxmu 12494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-xmul 12497
This theorem is referenced by:  finexttrb  31109
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