Theorem nn0xmulclb 31094

Description: Finite multiplication in the extended nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nn0xmulclb	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem nn0xmulclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 766	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
2		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
3	2	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
4		xnn0xr 12310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	4	ad5antlr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		simp-5r 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℕ0*)
7		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
8	7	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≠ 0)
9		xnn0gt0 31092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 0 < 𝐵)
11		xmulpnf2 13009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
12	5, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
13		pnfnre2 11017	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
14		nn0re 12242	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
15	13, 14	mto 196	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
17	12, 16	eqneltrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (+∞ ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
18	3, 17	eqneltrd 2858	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
19		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
20	19	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
21		xnn0xr 12310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	21	ad5antr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23		simp-5l 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℕ0*)
24		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
25	24	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ 0)
26		xnn0gt0 31092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < 𝐴)
28		xmulpnf1 13008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
29	22, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
30	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
31	29, 30	eqneltrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e +∞) ∈ ℕ0)
32	20, 31	eqneltrd 2858	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
33		xnn0nnn0pnf 12318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
34	33	ad5ant15 756	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
35	34	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = +∞))
36		xnn0nnn0pnf 12318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
37	36	ad5ant25 759	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
38	37	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = +∞))
39	35, 38	orim12d 962	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
40		pm3.13 992	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
41	39, 40	impel 506	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
42	18, 32, 41	mpjaodan 956	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
43	1, 42	condan 815	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0))
44		nn0re 12242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		nn0re 12242	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	ad2antll 726	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
48		rexmul 13005	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
49	45, 47, 48	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
50		nn0mulcl 12269	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
51	50	adantl 482	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
52	49, 51	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
53	43, 52	impbida 798	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  ℕ₀cn0 12233  ℕ₀^*cxnn0 12305   ·_e cxmu 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-xmul 12850

This theorem is referenced by:  finexttrb  31737