Theorem nn0xmulclb 32022

Description: Finite multiplication in the extended nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nn0xmulclb	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem nn0xmulclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
2		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
3	2	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
4		xnn0xr 12551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	4	ad5antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		simp-5r 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℕ0*)
7		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
8	7	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≠ 0)
9		xnn0gt0 32020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 0 < 𝐵)
11		xmulpnf2 13256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
12	5, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
13		pnfnre2 11258	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
14		nn0re 12483	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
15	13, 14	mto 196	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
17	12, 16	eqneltrd 2853	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (+∞ ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
18	3, 17	eqneltrd 2853	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
19		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
20	19	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
21		xnn0xr 12551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	21	ad5antr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23		simp-5l 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℕ0*)
24		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
25	24	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ 0)
26		xnn0gt0 32020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < 𝐴)
28		xmulpnf1 13255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
29	22, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
30	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
31	29, 30	eqneltrd 2853	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e +∞) ∈ ℕ0)
32	20, 31	eqneltrd 2853	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
33		xnn0nnn0pnf 12559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
34	33	ad5ant15 757	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
35	34	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = +∞))
36		xnn0nnn0pnf 12559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
37	36	ad5ant25 760	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
38	37	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = +∞))
39	35, 38	orim12d 963	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
40		pm3.13 993	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
41	39, 40	impel 506	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
42	18, 32, 41	mpjaodan 957	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
43	1, 42	condan 816	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0))
44		nn0re 12483	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	ad2antrl 726	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		nn0re 12483	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	ad2antll 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
48		rexmul 13252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
49	45, 47, 48	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
50		nn0mulcl 12510	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
51	50	adantl 482	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
52	49, 51	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
53	43, 52	impbida 799	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117  +∞cpnf 11247  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250  ℕ₀cn0 12474  ℕ₀^*cxnn0 12546   ·_e cxmu 13093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-xmul 13096

This theorem is referenced by:  finexttrb  32800