Theorem nn0xmulclb 33459

Description: Finite multiplication in the extended nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nn0xmulclb	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem nn0xmulclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
3	2	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
4		xnn0xr 12724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	4	ad5antlr 748	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		simp-5r 798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℕ0*)
7		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
8	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≠ 0)
9		xnn0gt0 33457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 0 < 𝐵)
11		xmulpnf2 13445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
12	5, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
13		pnfnre2 11390	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
14		nn0re 12655	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
15	13, 14	mto 200	. . . . . . 7 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
17	12, 16	eqneltrd 2884	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (+∞ ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
18	3, 17	eqneltrd 2884	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
20	19	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
21		xnn0xr 12724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	21	ad5antr 747	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23		simp-5l 797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℕ0*)
24		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
25	24	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ 0)
26		xnn0gt0 33457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < 𝐴)
28		xmulpnf1 13444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
29	22, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
30	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
31	29, 30	eqneltrd 2884	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e +∞) ∈ ℕ0)
32	20, 31	eqneltrd 2884	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
33		xnn0nnn0pnf 12732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
34	33	ad5ant15 771	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
35	34	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = +∞))
36		xnn0nnn0pnf 12732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
37	36	ad5ant25 774	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
38	37	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = +∞))
39	35, 38	orim12d 979	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
40		pm3.13 1010	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
41	39, 40	impel 515	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
42	18, 32, 41	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
43	1, 42	condan 830	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0))
44		nn0re 12655	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		nn0re 12655	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	ad2antll 742	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
48		rexmul 13441	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
49	45, 47, 48	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
50		nn0mulcl 12682	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
51	50	adantl 487	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
52	49, 51	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
53	43, 52	impbida 813	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   · cmul 11244  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382  ℕ₀cn0 12646  ℕ₀^*cxnn0 12719   ·_e cxmu 13280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-xmul 13283

This theorem is used by:  finexttrb  34408