Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0xmulclb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0xmulclb 31984
Description: Finite multiplication in the extended nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nn0xmulclb (((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)))

Proof of Theorem nn0xmulclb
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0)
2 simpr 486 . . . . . 6 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ด = +โˆž)
32oveq1d 7424 . . . . 5 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (+โˆž ยทe ๐ต))
4 xnn0xr 12549 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„•0* โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
54ad5antlr 734 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
6 simp-5r 785 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0*)
7 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
87ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ๐ต โ‰  0)
9 xnn0gt0 31982 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ต)
106, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ 0 < ๐ต)
11 xmulpnf2 13254 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
125, 10, 11syl2anc 585 . . . . . 6 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
13 pnfnre2 11256 . . . . . . . 8 ยฌ +โˆž โˆˆ โ„
14 nn0re 12481 . . . . . . . 8 (+โˆž โˆˆ โ„•0 โ†’ +โˆž โˆˆ โ„)
1513, 14mto 196 . . . . . . 7 ยฌ +โˆž โˆˆ โ„•0
1615a1i 11 . . . . . 6 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ยฌ +โˆž โˆˆ โ„•0)
1712, 16eqneltrd 2854 . . . . 5 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ยฌ (+โˆž ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0)
183, 17eqneltrd 2854 . . . 4 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0)
19 simpr 486 . . . . . 6 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ๐ต = +โˆž)
2019oveq2d 7425 . . . . 5 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe +โˆž))
21 xnn0xr 12549 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„•0* โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
2221ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
23 simp-5l 784 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0*)
24 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ๐ด โ‰  0)
26 xnn0gt0 31982 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ด)
2723, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ 0 < ๐ด)
28 xmulpnf1 13253 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
2922, 27, 28syl2anc 585 . . . . . 6 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
3015a1i 11 . . . . . 6 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ยฌ +โˆž โˆˆ โ„•0)
3129, 30eqneltrd 2854 . . . . 5 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด ยทe +โˆž) โˆˆ โ„•0)
3220, 31eqneltrd 2854 . . . 4 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ยฌ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0)
33 xnn0nnn0pnf 12557 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด = +โˆž)
3433ad5ant15 758 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด = +โˆž)
3534ex 414 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด = +โˆž))
36 xnn0nnn0pnf 12557 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„•0* โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต = +โˆž)
3736ad5ant25 761 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต = +โˆž)
3837ex 414 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โ†’ (ยฌ ๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต = +โˆž))
3935, 38orim12d 964 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((ยฌ ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆจ ยฌ ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด = +โˆž โˆจ ๐ต = +โˆž)))
40 pm3.13 994 . . . . 5 (ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆจ ยฌ ๐ต โˆˆ โ„•0))
4139, 40impel 507 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด = +โˆž โˆจ ๐ต = +โˆž))
4218, 32, 41mpjaodan 958 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โ†’ ยฌ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0)
431, 42condan 817 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0))
44 nn0re 12481 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4544ad2antrl 727 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
46 nn0re 12481 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4746ad2antll 728 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
48 rexmul 13250 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
4945, 47, 48syl2anc 585 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
50 nn0mulcl 12508 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•0)
5150adantl 483 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•0)
5249, 51eqeltrd 2834 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0)
5343, 52impbida 800 1 (((๐ด โˆˆ โ„•0* โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0*) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   < clt 11248  โ„•0cn0 12472  โ„•0*cxnn0 12544   ยทe cxmu 13091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-xmul 13094
This theorem is referenced by:  finexttrb  32741
  Copyright terms: Public domain W3C validator