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Theorem nn0xmulclb 32781
Description: Finite multiplication in the extended nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nn0xmulclb (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem nn0xmulclb
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
2 simpr 484 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
32oveq1d 7445 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
4 xnn0xr 12601 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℝ*)
54ad5antlr 735 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 simp-5r 786 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℕ0*)
7 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
87ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ≠ 0)
9 xnn0gt0 32779 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ0*𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → 0 < 𝐵)
11 xmulpnf2 13313 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
125, 10, 11syl2anc 584 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
13 pnfnre2 11300 . . . . . . . 8 ¬ +∞ ∈ ℝ
14 nn0re 12532 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
1513, 14mto 197 . . . . . . 7 ¬ +∞ ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
1712, 16eqneltrd 2858 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (+∞ ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
183, 17eqneltrd 2858 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
19 simpr 484 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
2019oveq2d 7446 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
21 xnn0xr 12601 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ∈ ℝ*)
2221ad5antr 734 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 simp-5l 785 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℕ0*)
24 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
2524ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ 0)
26 xnn0gt0 32779 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < 𝐴)
28 xmulpnf1 13312 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
2922, 27, 28syl2anc 584 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
3015a1i 11 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ ∈ ℕ0)
3129, 30eqneltrd 2858 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e +∞) ∈ ℕ0)
3220, 31eqneltrd 2858 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
33 xnn0nnn0pnf 12609 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
3433ad5ant15 759 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
3534ex 412 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
36 xnn0nnn0pnf 12609 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
3736ad5ant25 762 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
3837ex 412 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (¬ 𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = +∞))
3935, 38orim12d 966 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
40 pm3.13 996 . . . . 5 (¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
4139, 40impel 505 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
4218, 32, 41mpjaodan 960 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → ¬ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
431, 42condan 818 . 2 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
44 nn0re 12532 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
4544ad2antrl 728 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 nn0re 12532 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
4746ad2antll 729 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
48 rexmul 13309 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
4945, 47, 48syl2anc 584 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
50 nn0mulcl 12559 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
5150adantl 481 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
5249, 51eqeltrd 2838 . 2 ((((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0)
5343, 52impbida 801 1 (((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  0cn0 12523  0*cxnn0 12596   ·e cxmu 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-xmul 13153
This theorem is referenced by:  finexttrb  33689
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