Theorem xmulmnf1 13175

Description: Multiplication by minus infinity on the right. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulmnf1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulmnf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegpnf 13108	. . 3 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
2	1	oveq2i 7357	. 2 ⊢ (𝐴 ·e -𝑒+∞) = (𝐴 ·e -∞)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11166	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		xmulneg2 13169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e -𝑒+∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -𝑒+∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
7		xmulpnf1 13173	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
8		xnegeq 13106	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·e +∞) = +∞ → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒+∞)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒+∞)
10	9, 1	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -∞)
11	6, 10	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -𝑒+∞) = -∞)
12	2, 11	eqtr3id 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e -∞) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146  -_𝑒cxne 13008   ·_e cxmu 13010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-xneg 13011  df-xmul 13013

This theorem is referenced by:  xmulmnf2  13176  xadddilem  13193