![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > esumpinfsum | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
esumpinfsum.p | โข โฒ๐๐ |
esumpinfsum.a | โข โฒ๐๐ด |
esumpinfsum.1 | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
esumpinfsum.2 | โข (๐ โ ยฌ ๐ด โ Fin) |
esumpinfsum.3 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,]+โ)) |
esumpinfsum.4 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โค ๐ต) |
esumpinfsum.5 | โข (๐ โ ๐ โ โ*) |
esumpinfsum.6 | โข (๐ โ 0 < ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
esumpinfsum | โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | iccssxr 13354 | . . 3 โข (0[,]+โ) โ โ* | |
2 | esumpinfsum.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
3 | esumpinfsum.p | . . . . 5 โข โฒ๐๐ | |
4 | esumpinfsum.3 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,]+โ)) | |
5 | 4 | ex 414 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โ ๐ต โ (0[,]+โ))) |
6 | 3, 5 | ralrimi 3243 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,]+โ)) |
7 | esumpinfsum.a | . . . . 5 โข โฒ๐๐ด | |
8 | 7 | esumcl 32669 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,]+โ)) โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ (0[,]+โ)) |
9 | 2, 6, 8 | syl2anc 585 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ (0[,]+โ)) |
10 | 1, 9 | sselid 3947 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ*) |
11 | esumpinfsum.5 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ*) | |
12 | esumpinfsum.6 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 0 < ๐) | |
13 | 0xr 11209 | . . . . . . . 8 โข 0 โ โ* | |
14 | xrltle 13075 | . . . . . . . 8 โข ((0 โ โ* โง ๐ โ โ*) โ (0 < ๐ โ 0 โค ๐)) | |
15 | 13, 11, 14 | sylancr 588 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (0 < ๐ โ 0 โค ๐)) |
16 | 12, 15 | mpd 15 | . . . . . 6 โข (๐ โ 0 โค ๐) |
17 | pnfge 13058 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ* โ ๐ โค +โ) | |
18 | 11, 17 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โค +โ) |
19 | pnfxr 11216 | . . . . . . 7 โข +โ โ โ* | |
20 | elicc1 13315 | . . . . . . 7 โข ((0 โ โ* โง +โ โ โ*) โ (๐ โ (0[,]+โ) โ (๐ โ โ* โง 0 โค ๐ โง ๐ โค +โ))) | |
21 | 13, 19, 20 | mp2an 691 | . . . . . 6 โข (๐ โ (0[,]+โ) โ (๐ โ โ* โง 0 โค ๐ โง ๐ โค +โ)) |
22 | 11, 16, 18, 21 | syl3anbrc 1344 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (0[,]+โ)) |
23 | nfcv 2908 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ | |
24 | 7, 23 | esumcst 32702 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ (0[,]+โ)) โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ = ((โฏโ๐ด) ยทe ๐)) |
25 | 2, 22, 24 | syl2anc 585 | . . . 4 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ = ((โฏโ๐ด) ยทe ๐)) |
26 | esumpinfsum.2 | . . . . . 6 โข (๐ โ ยฌ ๐ด โ Fin) | |
27 | hashinf 14242 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ ๐ โง ยฌ ๐ด โ Fin) โ (โฏโ๐ด) = +โ) | |
28 | 2, 26, 27 | syl2anc 585 | . . . . 5 โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = +โ) |
29 | 28 | oveq1d 7377 | . . . 4 โข (๐ โ ((โฏโ๐ด) ยทe ๐) = (+โ ยทe ๐)) |
30 | xmulpnf2 13201 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ* โง 0 < ๐) โ (+โ ยทe ๐) = +โ) | |
31 | 11, 12, 30 | syl2anc 585 | . . . 4 โข (๐ โ (+โ ยทe ๐) = +โ) |
32 | 25, 29, 31 | 3eqtrd 2781 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ = +โ) |
33 | 22 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (0[,]+โ)) |
34 | esumpinfsum.4 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โค ๐ต) | |
35 | 3, 7, 2, 33, 4, 34 | esumlef 32701 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต) |
36 | 32, 35 | eqbrtrrd 5134 | . 2 โข (๐ โ +โ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต) |
37 | xgepnf 13091 | . . 3 โข (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ* โ (+โ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ)) | |
38 | 37 | biimpd 228 | . 2 โข (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ* โ (+โ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ)) |
39 | 10, 36, 38 | sylc 65 | 1 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โฒwnf 1786 โ wcel 2107 โฒwnfc 2888 โwral 3065 class class class wbr 5110 โcfv 6501 (class class class)co 7362 Fincfn 8890 0cc0 11058 +โcpnf 11193 โ*cxr 11195 < clt 11196 โค cle 11197 ยทe cxmu 13039 [,]cicc 13274 โฏchash 14237 ฮฃ*cesum 32666 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-inf2 9584 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 ax-pre-sup 11136 ax-addf 11137 ax-mulf 11138 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-iin 4962 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-of 7622 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-supp 8098 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-2o 8418 df-oadd 8421 df-er 8655 df-map 8774 df-pm 8775 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9313 df-fi 9354 df-sup 9385 df-inf 9386 df-oi 9453 df-card 9882 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-4 12225 df-5 12226 df-6 12227 df-7 12228 df-8 12229 df-9 12230 df-n0 12421 df-xnn0 12493 df-z 12507 df-dec 12626 df-uz 12771 df-q 12881 df-rp 12923 df-xneg 13040 df-xadd 13041 df-xmul 13042 df-ioo 13275 df-ioc 13276 df-ico 13277 df-icc 13278 df-fz 13432 df-fzo 13575 df-fl 13704 df-mod 13782 df-seq 13914 df-exp 13975 df-fac 14181 df-bc 14210 df-hash 14238 df-shft 14959 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 df-sqrt 15127 df-abs 15128 df-limsup 15360 df-clim 15377 df-rlim 15378 df-sum 15578 df-ef 15957 df-sin 15959 df-cos 15960 df-pi 15962 df-struct 17026 df-sets 17043 df-slot 17061 df-ndx 17073 df-base 17091 df-ress 17120 df-plusg 17153 df-mulr 17154 df-starv 17155 df-sca 17156 df-vsca 17157 df-ip 17158 df-tset 17159 df-ple 17160 df-ds 17162 df-unif 17163 df-hom 17164 df-cco 17165 df-rest 17311 df-topn 17312 df-0g 17330 df-gsum 17331 df-topgen 17332 df-pt 17333 df-prds 17336 df-ordt 17390 df-xrs 17391 df-qtop 17396 df-imas 17397 df-xps 17399 df-mre 17473 df-mrc 17474 df-acs 17476 df-ps 18462 df-tsr 18463 df-plusf 18503 df-mgm 18504 df-sgrp 18553 df-mnd 18564 df-mhm 18608 df-submnd 18609 df-grp 18758 df-minusg 18759 df-sbg 18760 df-mulg 18880 df-subg 18932 df-cntz 19104 df-cmn 19571 df-abl 19572 df-mgp 19904 df-ur 19921 df-ring 19973 df-cring 19974 df-subrg 20236 df-abv 20292 df-lmod 20340 df-scaf 20341 df-sra 20649 df-rgmod 20650 df-psmet 20804 df-xmet 20805 df-met 20806 df-bl 20807 df-mopn 20808 df-fbas 20809 df-fg 20810 df-cnfld 20813 df-top 22259 df-topon 22276 df-topsp 22298 df-bases 22312 df-cld 22386 df-ntr 22387 df-cls 22388 df-nei 22465 df-lp 22503 df-perf 22504 df-cn 22594 df-cnp 22595 df-haus 22682 df-tx 22929 df-hmeo 23122 df-fil 23213 df-fm 23305 df-flim 23306 df-flf 23307 df-tmd 23439 df-tgp 23440 df-tsms 23494 df-trg 23527 df-xms 23689 df-ms 23690 df-tms 23691 df-nm 23954 df-ngp 23955 df-nrg 23957 df-nlm 23958 df-ii 24256 df-cncf 24257 df-limc 25246 df-dv 25247 df-log 25928 df-esum 32667 |
This theorem is referenced by: hasheuni 32724 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |