![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > esumpinfsum | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
esumpinfsum.p | โข โฒ๐๐ |
esumpinfsum.a | โข โฒ๐๐ด |
esumpinfsum.1 | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
esumpinfsum.2 | โข (๐ โ ยฌ ๐ด โ Fin) |
esumpinfsum.3 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,]+โ)) |
esumpinfsum.4 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โค ๐ต) |
esumpinfsum.5 | โข (๐ โ ๐ โ โ*) |
esumpinfsum.6 | โข (๐ โ 0 < ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
esumpinfsum | โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | iccssxr 13425 | . . 3 โข (0[,]+โ) โ โ* | |
2 | esumpinfsum.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
3 | esumpinfsum.p | . . . . 5 โข โฒ๐๐ | |
4 | esumpinfsum.3 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,]+โ)) | |
5 | 4 | ex 412 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โ ๐ต โ (0[,]+โ))) |
6 | 3, 5 | ralrimi 3249 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,]+โ)) |
7 | esumpinfsum.a | . . . . 5 โข โฒ๐๐ด | |
8 | 7 | esumcl 33572 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,]+โ)) โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ (0[,]+โ)) |
9 | 2, 6, 8 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ (0[,]+โ)) |
10 | 1, 9 | sselid 3976 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ*) |
11 | esumpinfsum.5 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ*) | |
12 | esumpinfsum.6 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 0 < ๐) | |
13 | 0xr 11277 | . . . . . . . 8 โข 0 โ โ* | |
14 | xrltle 13146 | . . . . . . . 8 โข ((0 โ โ* โง ๐ โ โ*) โ (0 < ๐ โ 0 โค ๐)) | |
15 | 13, 11, 14 | sylancr 586 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (0 < ๐ โ 0 โค ๐)) |
16 | 12, 15 | mpd 15 | . . . . . 6 โข (๐ โ 0 โค ๐) |
17 | pnfge 13128 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ* โ ๐ โค +โ) | |
18 | 11, 17 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โค +โ) |
19 | pnfxr 11284 | . . . . . . 7 โข +โ โ โ* | |
20 | elicc1 13386 | . . . . . . 7 โข ((0 โ โ* โง +โ โ โ*) โ (๐ โ (0[,]+โ) โ (๐ โ โ* โง 0 โค ๐ โง ๐ โค +โ))) | |
21 | 13, 19, 20 | mp2an 691 | . . . . . 6 โข (๐ โ (0[,]+โ) โ (๐ โ โ* โง 0 โค ๐ โง ๐ โค +โ)) |
22 | 11, 16, 18, 21 | syl3anbrc 1341 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (0[,]+โ)) |
23 | nfcv 2898 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ | |
24 | 7, 23 | esumcst 33605 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ (0[,]+โ)) โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ = ((โฏโ๐ด) ยทe ๐)) |
25 | 2, 22, 24 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ = ((โฏโ๐ด) ยทe ๐)) |
26 | esumpinfsum.2 | . . . . . 6 โข (๐ โ ยฌ ๐ด โ Fin) | |
27 | hashinf 14312 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ ๐ โง ยฌ ๐ด โ Fin) โ (โฏโ๐ด) = +โ) | |
28 | 2, 26, 27 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = +โ) |
29 | 28 | oveq1d 7429 | . . . 4 โข (๐ โ ((โฏโ๐ด) ยทe ๐) = (+โ ยทe ๐)) |
30 | xmulpnf2 13272 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ* โง 0 < ๐) โ (+โ ยทe ๐) = +โ) | |
31 | 11, 12, 30 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (๐ โ (+โ ยทe ๐) = +โ) |
32 | 25, 29, 31 | 3eqtrd 2771 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ = +โ) |
33 | 22 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (0[,]+โ)) |
34 | esumpinfsum.4 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โค ๐ต) | |
35 | 3, 7, 2, 33, 4, 34 | esumlef 33604 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต) |
36 | 32, 35 | eqbrtrrd 5166 | . 2 โข (๐ โ +โ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต) |
37 | xgepnf 13162 | . . 3 โข (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ* โ (+โ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ)) | |
38 | 37 | biimpd 228 | . 2 โข (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ* โ (+โ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ)) |
39 | 10, 36, 38 | sylc 65 | 1 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โฒwnf 1778 โ wcel 2099 โฒwnfc 2878 โwral 3056 class class class wbr 5142 โcfv 6542 (class class class)co 7414 Fincfn 8953 0cc0 11124 +โcpnf 11261 โ*cxr 11263 < clt 11264 โค cle 11265 ยทe cxmu 13109 [,]cicc 13345 โฏchash 14307 ฮฃ*cesum 33569 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-inf2 9650 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 ax-pre-sup 11202 ax-addf 11203 ax-mulf 11204 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7677 df-om 7863 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-supp 8158 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-2o 8479 df-oadd 8482 df-er 8716 df-map 8836 df-pm 8837 df-ixp 8906 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-fsupp 9376 df-fi 9420 df-sup 9451 df-inf 9452 df-oi 9519 df-card 9948 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-div 11888 df-nn 12229 df-2 12291 df-3 12292 df-4 12293 df-5 12294 df-6 12295 df-7 12296 df-8 12297 df-9 12298 df-n0 12489 df-xnn0 12561 df-z 12575 df-dec 12694 df-uz 12839 df-q 12949 df-rp 12993 df-xneg 13110 df-xadd 13111 df-xmul 13112 df-ioo 13346 df-ioc 13347 df-ico 13348 df-icc 13349 df-fz 13503 df-fzo 13646 df-fl 13775 df-mod 13853 df-seq 13985 df-exp 14045 df-fac 14251 df-bc 14280 df-hash 14308 df-shft 15032 df-cj 15064 df-re 15065 df-im 15066 df-sqrt 15200 df-abs 15201 df-limsup 15433 df-clim 15450 df-rlim 15451 df-sum 15651 df-ef 16029 df-sin 16031 df-cos 16032 df-pi 16034 df-struct 17101 df-sets 17118 df-slot 17136 df-ndx 17148 df-base 17166 df-ress 17195 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-starv 17233 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-unif 17241 df-hom 17242 df-cco 17243 df-rest 17389 df-topn 17390 df-0g 17408 df-gsum 17409 df-topgen 17410 df-pt 17411 df-prds 17414 df-ordt 17468 df-xrs 17469 df-qtop 17474 df-imas 17475 df-xps 17477 df-mre 17551 df-mrc 17552 df-acs 17554 df-ps 18543 df-tsr 18544 df-plusf 18584 df-mgm 18585 df-sgrp 18664 df-mnd 18680 df-mhm 18725 df-submnd 18726 df-grp 18878 df-minusg 18879 df-sbg 18880 df-mulg 19008 df-subg 19062 df-cntz 19252 df-cmn 19721 df-abl 19722 df-mgp 20059 df-rng 20077 df-ur 20106 df-ring 20159 df-cring 20160 df-subrng 20465 df-subrg 20490 df-abv 20679 df-lmod 20727 df-scaf 20728 df-sra 21040 df-rgmod 21041 df-psmet 21251 df-xmet 21252 df-met 21253 df-bl 21254 df-mopn 21255 df-fbas 21256 df-fg 21257 df-cnfld 21260 df-top 22770 df-topon 22787 df-topsp 22809 df-bases 22823 df-cld 22897 df-ntr 22898 df-cls 22899 df-nei 22976 df-lp 23014 df-perf 23015 df-cn 23105 df-cnp 23106 df-haus 23193 df-tx 23440 df-hmeo 23633 df-fil 23724 df-fm 23816 df-flim 23817 df-flf 23818 df-tmd 23950 df-tgp 23951 df-tsms 24005 df-trg 24038 df-xms 24200 df-ms 24201 df-tms 24202 df-nm 24465 df-ngp 24466 df-nrg 24468 df-nlm 24469 df-ii 24771 df-cncf 24772 df-limc 25769 df-dv 25770 df-log 26464 df-esum 33570 |
This theorem is referenced by: hasheuni 33627 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |