Theorem esumpinfsum 31757

Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpinfsum.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumpinfsum.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumpinfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpinfsum.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
esumpinfsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfsum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
esumpinfsum.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
esumpinfsum.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
esumpinfsum	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑉   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13018	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		esumpinfsum.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumpinfsum.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		esumpinfsum.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	4	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
6	3, 5	ralrimi 3137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7		esumpinfsum.a	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7	esumcl 31710	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9	2, 6, 8	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sseldi 3899	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11		esumpinfsum.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
12		esumpinfsum.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
13		0xr 10880	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		xrltle 12739	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
15	13, 11, 14	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
16	12, 15	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
17		pnfge 12722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → 𝑀 ≤ +∞)
18	11, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ +∞)
19		pnfxr 10887	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
20		elicc1 12979	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ +∞)))
21	13, 19, 20	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ +∞))
22	11, 16, 18, 21	syl3anbrc 1345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
23		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
24	7, 23	esumcst 31743	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
25	2, 22, 24	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
26		esumpinfsum.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27		hashinf 13901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
28	2, 26, 27	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = +∞)
29	28	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ·e 𝑀) = (+∞ ·e 𝑀))
30		xmulpnf2 12865	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑀) → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
31	11, 12, 30	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
32	25, 29, 31	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = +∞)
33	22	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
34		esumpinfsum.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
35	3, 7, 2, 33, 4, 34	esumlef 31742	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
36	32, 35	eqbrtrrd 5077	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
37		xgepnf 12755	. . 3 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞))
38	37	biimpd 232	. 2 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞))
39	10, 36, 38	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3061   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868   ·_e cxmu 12703  [,]cicc 12938  ♯chash 13896  Σ^*cesum 31707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-ordt 17006  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-ps 18072  df-tsr 18073  df-plusf 18113  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-subrg 19798  df-abv 19853  df-lmod 19901  df-scaf 19902  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-tmd 22969  df-tgp 22970  df-tsms 23024  df-trg 23057  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-nm 23480  df-ngp 23481  df-nrg 23483  df-nlm 23484  df-ii 23774  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-esum 31708

This theorem is referenced by:  hasheuni  31765