Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpinfsum 31235
Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfsum.p 𝑘𝜑
esumpinfsum.a 𝑘𝐴
esumpinfsum.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpinfsum.2 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
esumpinfsum.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfsum.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀𝐵)
esumpinfsum.5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
esumpinfsum.6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
Assertion
Ref Expression
esumpinfsum (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑉   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfsum
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12807 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 esumpinfsum.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumpinfsum.p . . . . 5 𝑘𝜑
4 esumpinfsum.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
54ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
63, 5ralrimi 3213 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7 esumpinfsum.a . . . . 5 𝑘𝐴
87esumcl 31188 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
92, 6, 8syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
101, 9sseldi 3962 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11 esumpinfsum.5 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
12 esumpinfsum.6 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑀)
13 0xr 10676 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
14 xrltle 12530 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
1513, 11, 14sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
1612, 15mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
17 pnfge 12513 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≤ +∞)
1811, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≤ +∞)
19 pnfxr 10683 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
20 elicc1 12770 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 ≤ +∞)))
2113, 19, 20mp2an 688 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 ≤ +∞))
2211, 16, 18, 21syl3anbrc 1335 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (0[,]+∞))
23 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑘𝑀
247, 23esumcst 31221 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑀 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
252, 22, 24syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
26 esumpinfsum.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27 hashinf 13683 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
282, 26, 27syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐴) = +∞)
2928oveq1d 7160 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ·e 𝑀) = (+∞ ·e 𝑀))
30 xmulpnf2 12656 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑀) → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
3111, 12, 30syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
3225, 29, 313eqtrd 2857 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝑀 = +∞)
3322adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
34 esumpinfsum.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀𝐵)
353, 7, 2, 33, 4, 34esumlef 31220 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝑀 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
3632, 35eqbrtrrd 5081 . 2 (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
37 xgepnf 12546 . . 3 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
3837biimpd 230 . 2 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
3910, 36, 38sylc 65 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wnfc 2958  wral 3135   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664   ·e cxmu 12494  [,]cicc 12729  chash 13678  Σ*cesum 31185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-ordt 16762  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-plusf 17839  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-lmod 19565  df-scaf 19566  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-tmd 22608  df-tgp 22609  df-tsms 22662  df-trg 22695  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nrg 23122  df-nlm 23123  df-ii 23412  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-esum 31186
This theorem is referenced by:  hasheuni  31243
  Copyright terms: Public domain W3C validator