Theorem esumpinfsum 34213

Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpinfsum.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumpinfsum.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumpinfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpinfsum.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
esumpinfsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfsum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
esumpinfsum.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
esumpinfsum.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
esumpinfsum	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑉   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13348	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		esumpinfsum.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumpinfsum.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		esumpinfsum.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	4	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
6	3, 5	ralrimi 3233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7		esumpinfsum.a	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7	esumcl 34166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9	2, 6, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3930	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11		esumpinfsum.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
12		esumpinfsum.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
13		0xr 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		xrltle 13065	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
15	13, 11, 14	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
16	12, 15	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
17		pnfge 13046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → 𝑀 ≤ +∞)
18	11, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ +∞)
19		pnfxr 11188	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
20		elicc1 13307	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ +∞)))
21	13, 19, 20	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ +∞))
22	11, 16, 18, 21	syl3anbrc 1345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
23		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
24	7, 23	esumcst 34199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
25	2, 22, 24	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
26		esumpinfsum.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27		hashinf 14260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
28	2, 26, 27	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = +∞)
29	28	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ·e 𝑀) = (+∞ ·e 𝑀))
30		xmulpnf2 13192	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑀) → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
31	11, 12, 30	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
32	25, 29, 31	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = +∞)
33	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
34		esumpinfsum.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
35	3, 7, 2, 33, 4, 34	esumlef 34198	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
36	32, 35	eqbrtrrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
37		xgepnf 13082	. . 3 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞))
38	37	biimpd 229	. 2 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞))
39	10, 36, 38	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2882  ∀wral 3050   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   ·_e cxmu 13027  [,]cicc 13266  ♯chash 14255  Σ^*cesum 34163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-ordt 17424  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-ps 18491  df-tsr 18492  df-plusf 18566  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-abv 20744  df-lmod 20815  df-scaf 20816  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-tmd 24018  df-tgp 24019  df-tsms 24073  df-trg 24106  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-nm 24528  df-ngp 24529  df-nrg 24531  df-nlm 24532  df-ii 24828  df-cncf 24829  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26523  df-esum 34164

This theorem is referenced by:  hasheuni  34221