![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > esumpinfsum | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
esumpinfsum.p | โข โฒ๐๐ |
esumpinfsum.a | โข โฒ๐๐ด |
esumpinfsum.1 | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
esumpinfsum.2 | โข (๐ โ ยฌ ๐ด โ Fin) |
esumpinfsum.3 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,]+โ)) |
esumpinfsum.4 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โค ๐ต) |
esumpinfsum.5 | โข (๐ โ ๐ โ โ*) |
esumpinfsum.6 | โข (๐ โ 0 < ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
esumpinfsum | โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | iccssxr 13434 | . . 3 โข (0[,]+โ) โ โ* | |
2 | esumpinfsum.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
3 | esumpinfsum.p | . . . . 5 โข โฒ๐๐ | |
4 | esumpinfsum.3 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,]+โ)) | |
5 | 4 | ex 411 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โ ๐ต โ (0[,]+โ))) |
6 | 3, 5 | ralrimi 3245 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,]+โ)) |
7 | esumpinfsum.a | . . . . 5 โข โฒ๐๐ด | |
8 | 7 | esumcl 33702 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,]+โ)) โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ (0[,]+โ)) |
9 | 2, 6, 8 | syl2anc 582 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ (0[,]+โ)) |
10 | 1, 9 | sselid 3971 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ*) |
11 | esumpinfsum.5 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ*) | |
12 | esumpinfsum.6 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 0 < ๐) | |
13 | 0xr 11286 | . . . . . . . 8 โข 0 โ โ* | |
14 | xrltle 13155 | . . . . . . . 8 โข ((0 โ โ* โง ๐ โ โ*) โ (0 < ๐ โ 0 โค ๐)) | |
15 | 13, 11, 14 | sylancr 585 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (0 < ๐ โ 0 โค ๐)) |
16 | 12, 15 | mpd 15 | . . . . . 6 โข (๐ โ 0 โค ๐) |
17 | pnfge 13137 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ* โ ๐ โค +โ) | |
18 | 11, 17 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โค +โ) |
19 | pnfxr 11293 | . . . . . . 7 โข +โ โ โ* | |
20 | elicc1 13395 | . . . . . . 7 โข ((0 โ โ* โง +โ โ โ*) โ (๐ โ (0[,]+โ) โ (๐ โ โ* โง 0 โค ๐ โง ๐ โค +โ))) | |
21 | 13, 19, 20 | mp2an 690 | . . . . . 6 โข (๐ โ (0[,]+โ) โ (๐ โ โ* โง 0 โค ๐ โง ๐ โค +โ)) |
22 | 11, 16, 18, 21 | syl3anbrc 1340 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (0[,]+โ)) |
23 | nfcv 2892 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ | |
24 | 7, 23 | esumcst 33735 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ โ (0[,]+โ)) โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ = ((โฏโ๐ด) ยทe ๐)) |
25 | 2, 22, 24 | syl2anc 582 | . . . 4 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ = ((โฏโ๐ด) ยทe ๐)) |
26 | esumpinfsum.2 | . . . . . 6 โข (๐ โ ยฌ ๐ด โ Fin) | |
27 | hashinf 14321 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ ๐ โง ยฌ ๐ด โ Fin) โ (โฏโ๐ด) = +โ) | |
28 | 2, 26, 27 | syl2anc 582 | . . . . 5 โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = +โ) |
29 | 28 | oveq1d 7428 | . . . 4 โข (๐ โ ((โฏโ๐ด) ยทe ๐) = (+โ ยทe ๐)) |
30 | xmulpnf2 13281 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ* โง 0 < ๐) โ (+โ ยทe ๐) = +โ) | |
31 | 11, 12, 30 | syl2anc 582 | . . . 4 โข (๐ โ (+โ ยทe ๐) = +โ) |
32 | 25, 29, 31 | 3eqtrd 2769 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ = +โ) |
33 | 22 | adantr 479 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (0[,]+โ)) |
34 | esumpinfsum.4 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โค ๐ต) | |
35 | 3, 7, 2, 33, 4, 34 | esumlef 33734 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต) |
36 | 32, 35 | eqbrtrrd 5168 | . 2 โข (๐ โ +โ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต) |
37 | xgepnf 13171 | . . 3 โข (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ* โ (+โ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ)) | |
38 | 37 | biimpd 228 | . 2 โข (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ* โ (+โ โค ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ)) |
39 | 10, 36, 38 | sylc 65 | 1 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต = +โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โฒwnf 1777 โ wcel 2098 โฒwnfc 2875 โwral 3051 class class class wbr 5144 โcfv 6543 (class class class)co 7413 Fincfn 8957 0cc0 11133 +โcpnf 11270 โ*cxr 11272 < clt 11273 โค cle 11274 ยทe cxmu 13118 [,]cicc 13354 โฏchash 14316 ฮฃ*cesum 33699 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-inf2 9659 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211 ax-addf 11212 ax-mulf 11213 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-iin 4995 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-of 7679 df-om 7866 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8159 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-er 8718 df-map 8840 df-pm 8841 df-ixp 8910 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-fsupp 9381 df-fi 9429 df-sup 9460 df-inf 9461 df-oi 9528 df-card 9957 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-4 12302 df-5 12303 df-6 12304 df-7 12305 df-8 12306 df-9 12307 df-n0 12498 df-xnn0 12570 df-z 12584 df-dec 12703 df-uz 12848 df-q 12958 df-rp 13002 df-xneg 13119 df-xadd 13120 df-xmul 13121 df-ioo 13355 df-ioc 13356 df-ico 13357 df-icc 13358 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-fl 13784 df-mod 13862 df-seq 13994 df-exp 14054 df-fac 14260 df-bc 14289 df-hash 14317 df-shft 15041 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-limsup 15442 df-clim 15459 df-rlim 15460 df-sum 15660 df-ef 16038 df-sin 16040 df-cos 16041 df-pi 16043 df-struct 17110 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-ress 17204 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17398 df-topn 17399 df-0g 17417 df-gsum 17418 df-topgen 17419 df-pt 17420 df-prds 17423 df-ordt 17477 df-xrs 17478 df-qtop 17483 df-imas 17484 df-xps 17486 df-mre 17560 df-mrc 17561 df-acs 17563 df-ps 18552 df-tsr 18553 df-plusf 18593 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mnd 18689 df-mhm 18734 df-submnd 18735 df-grp 18892 df-minusg 18893 df-sbg 18894 df-mulg 19023 df-subg 19077 df-cntz 19267 df-cmn 19736 df-abl 19737 df-mgp 20074 df-rng 20092 df-ur 20121 df-ring 20174 df-cring 20175 df-subrng 20482 df-subrg 20507 df-abv 20696 df-lmod 20744 df-scaf 20745 df-sra 21057 df-rgmod 21058 df-psmet 21270 df-xmet 21271 df-met 21272 df-bl 21273 df-mopn 21274 df-fbas 21275 df-fg 21276 df-cnfld 21279 df-top 22809 df-topon 22826 df-topsp 22848 df-bases 22862 df-cld 22936 df-ntr 22937 df-cls 22938 df-nei 23015 df-lp 23053 df-perf 23054 df-cn 23144 df-cnp 23145 df-haus 23232 df-tx 23479 df-hmeo 23672 df-fil 23763 df-fm 23855 df-flim 23856 df-flf 23857 df-tmd 23989 df-tgp 23990 df-tsms 24044 df-trg 24077 df-xms 24239 df-ms 24240 df-tms 24241 df-nm 24504 df-ngp 24505 df-nrg 24507 df-nlm 24508 df-ii 24810 df-cncf 24811 df-limc 25808 df-dv 25809 df-log 26503 df-esum 33700 |
This theorem is referenced by: hasheuni 33757 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |