Theorem esumpinfsum 34572

Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpinfsum.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumpinfsum.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumpinfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpinfsum.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
esumpinfsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfsum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
esumpinfsum.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
esumpinfsum.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
esumpinfsum	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑉   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13483	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		esumpinfsum.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumpinfsum.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		esumpinfsum.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	4	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
6	3, 5	ralrimi 3262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7		esumpinfsum.a	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7	esumcl 34525	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9	2, 6, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	1, 9	sselid 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11		esumpinfsum.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
12		esumpinfsum.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
13		0xr 11281	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14		xrltle 13200	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
15	13, 11, 14	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
16	12, 15	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
17		pnfge 13181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → 𝑀 ≤ +∞)
18	11, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ +∞)
19		pnfxr 11288	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
20		elicc1 13442	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ +∞)))
21	13, 19, 20	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ +∞))
22	11, 16, 18, 21	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
23		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
24	7, 23	esumcst 34558	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
25	2, 22, 24	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
26		esumpinfsum.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27		hashinf 14399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
28	2, 26, 27	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = +∞)
29	28	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ·e 𝑀) = (+∞ ·e 𝑀))
30		xmulpnf2 13327	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑀) → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
31	11, 12, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
32	25, 29, 31	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 = +∞)
33	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
34		esumpinfsum.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝐵)
35	3, 7, 2, 33, 4, 34	esumlef 34557	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝑀 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
36	32, 35	eqbrtrrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
37		xgepnf 13217	. . 3 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞))
38	37	biimpd 232	. 2 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞))
39	10, 36, 38	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269   ·_e cxmu 13162  [,]cicc 13401  ♯chash 14394  Σ^*cesum 34522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16155  df-sin 16157  df-cos 16158  df-pi 16160  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-rest 17509  df-topn 17510  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-topgen 17530  df-pt 17531  df-prds 17534  df-ordt 17589  df-xrs 17590  df-qtop 17595  df-imas 17596  df-xps 17598  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-ps 18656  df-tsr 18657  df-plusf 18731  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-abv 20974  df-lmod 21045  df-scaf 21046  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-psmet 21576  df-xmet 21577  df-met 21578  df-bl 21579  df-mopn 21580  df-fbas 21581  df-fg 21582  df-cnfld 21585  df-top 23118  df-topon 23135  df-topsp 23157  df-bases 23170  df-cld 23243  df-ntr 23244  df-cls 23245  df-nei 23322  df-lp 23360  df-perf 23361  df-cn 23451  df-cnp 23452  df-haus 23539  df-tx 23787  df-hmeo 23980  df-fil 24071  df-fm 24163  df-flim 24164  df-flf 24165  df-tmd 24297  df-tgp 24298  df-tsms 24352  df-trg 24385  df-xms 24545  df-ms 24546  df-tms 24547  df-nm 24807  df-ngp 24808  df-nrg 24810  df-nlm 24811  df-ii 25104  df-cncf 25105  df-limc 26093  df-dv 26094  df-log 26789  df-esum 34523

This theorem is used by:  hasheuni  34580