Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpinfsum 33749
Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfsum.p โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
esumpinfsum.a โ„ฒ๐‘˜๐ด
esumpinfsum.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
esumpinfsum.2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ Fin)
esumpinfsum.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
esumpinfsum.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐ต)
esumpinfsum.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
esumpinfsum.6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
esumpinfsum (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž)
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘‰   ๐‘˜,๐‘€
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem esumpinfsum
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13434 . . 3 (0[,]+โˆž) โІ โ„*
2 esumpinfsum.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
3 esumpinfsum.p . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
4 esumpinfsum.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
54ex 411 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)))
63, 5ralrimi 3245 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
7 esumpinfsum.a . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐ด
87esumcl 33702 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
92, 6, 8syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
101, 9sselid 3971 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„*)
11 esumpinfsum.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
12 esumpinfsum.6 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
13 0xr 11286 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
14 xrltle 13155 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„* โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„*) โ†’ (0 < ๐‘€ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€))
1513, 11, 14sylancr 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐‘€ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€))
1612, 15mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
17 pnfge 13137 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„* โ†’ ๐‘€ โ‰ค +โˆž)
1811, 17syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค +โˆž)
19 pnfxr 11293 . . . . . . 7 +โˆž โˆˆ โ„*
20 elicc1 13395 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘€ โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค +โˆž)))
2113, 19, 20mp2an 690 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐‘€ โˆง ๐‘€ โ‰ค +โˆž))
2211, 16, 18, 21syl3anbrc 1340 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (0[,]+โˆž))
23 nfcv 2892 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜๐‘€
247, 23esumcst 33735 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐‘€ = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe ๐‘€))
252, 22, 24syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐‘€ = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe ๐‘€))
26 esumpinfsum.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ Fin)
27 hashinf 14321 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
282, 26, 27syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
2928oveq1d 7428 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe ๐‘€) = (+โˆž ยทe ๐‘€))
30 xmulpnf2 13281 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ (+โˆž ยทe ๐‘€) = +โˆž)
3111, 12, 30syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (+โˆž ยทe ๐‘€) = +โˆž)
3225, 29, 313eqtrd 2769 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐‘€ = +โˆž)
3322adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (0[,]+โˆž))
34 esumpinfsum.4 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐ต)
353, 7, 2, 33, 4, 34esumlef 33734 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐‘€ โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต)
3632, 35eqbrtrrd 5168 . 2 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต)
37 xgepnf 13171 . . 3 (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โ†” ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž))
3837biimpd 228 . 2 (ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž))
3910, 36, 38sylc 65 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ*๐‘˜ โˆˆ ๐ด๐ต = +โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098  โ„ฒwnfc 2875  โˆ€wral 3051   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  0cc0 11133  +โˆžcpnf 11270  โ„*cxr 11272   < clt 11273   โ‰ค cle 11274   ยทe cxmu 13118  [,]cicc 13354  โ™ฏchash 14316  ฮฃ*cesum 33699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-ordt 17477  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-ps 18552  df-tsr 18553  df-plusf 18593  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-abv 20696  df-lmod 20744  df-scaf 20745  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tmd 23989  df-tgp 23990  df-tsms 24044  df-trg 24077  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-ii 24810  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-esum 33700
This theorem is referenced by:  hasheuni  33757
  Copyright terms: Public domain W3C validator