Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpinfsum 31482
 Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfsum.p 𝑘𝜑
esumpinfsum.a 𝑘𝐴
esumpinfsum.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpinfsum.2 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
esumpinfsum.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfsum.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀𝐵)
esumpinfsum.5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
esumpinfsum.6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
Assertion
Ref Expression
esumpinfsum (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑉   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfsum
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12815 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 esumpinfsum.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumpinfsum.p . . . . 5 𝑘𝜑
4 esumpinfsum.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
54ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
63, 5ralrimi 3180 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7 esumpinfsum.a . . . . 5 𝑘𝐴
87esumcl 31435 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
92, 6, 8syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
101, 9sseldi 3913 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11 esumpinfsum.5 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
12 esumpinfsum.6 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑀)
13 0xr 10684 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
14 xrltle 12537 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
1513, 11, 14sylancr 590 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
1612, 15mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
17 pnfge 12520 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≤ +∞)
1811, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≤ +∞)
19 pnfxr 10691 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
20 elicc1 12777 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 ≤ +∞)))
2113, 19, 20mp2an 691 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 ≤ +∞))
2211, 16, 18, 21syl3anbrc 1340 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (0[,]+∞))
23 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑘𝑀
247, 23esumcst 31468 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑀 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
252, 22, 24syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝑀 = ((♯‘𝐴) ·e 𝑀))
26 esumpinfsum.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
27 hashinf 13698 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
282, 26, 27syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐴) = +∞)
2928oveq1d 7155 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ·e 𝑀) = (+∞ ·e 𝑀))
30 xmulpnf2 12663 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑀) → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
3111, 12, 30syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (+∞ ·e 𝑀) = +∞)
3225, 29, 313eqtrd 2837 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝑀 = +∞)
3322adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
34 esumpinfsum.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀𝐵)
353, 7, 2, 33, 4, 34esumlef 31467 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝑀 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
3632, 35eqbrtrrd 5055 . 2 (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
37 xgepnf 12553 . . 3 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
3837biimpd 232 . 2 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
3910, 36, 38sylc 65 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936  ∀wral 3106   class class class wbr 5031  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  Fincfn 8499  0cc0 10533  +∞cpnf 10668  ℝ*cxr 10670   < clt 10671   ≤ cle 10672   ·e cxmu 12501  [,]cicc 12736  ♯chash 13693  Σ*cesum 31432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-inf2 9095  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612  ax-mulf 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-pi 15425  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-ordt 16773  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-ps 17809  df-tsr 17810  df-plusf 17850  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19241  df-ur 19253  df-ring 19300  df-cring 19301  df-subrg 19534  df-abv 19589  df-lmod 19637  df-scaf 19638  df-sra 19945  df-rgmod 19946  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-fbas 20096  df-fg 20097  df-cnfld 20100  df-top 21513  df-topon 21530  df-topsp 21552  df-bases 21565  df-cld 21638  df-ntr 21639  df-cls 21640  df-nei 21717  df-lp 21755  df-perf 21756  df-cn 21846  df-cnp 21847  df-haus 21934  df-tx 22181  df-hmeo 22374  df-fil 22465  df-fm 22557  df-flim 22558  df-flf 22559  df-tmd 22691  df-tgp 22692  df-tsms 22746  df-trg 22779  df-xms 22941  df-ms 22942  df-tms 22943  df-nm 23203  df-ngp 23204  df-nrg 23206  df-nlm 23207  df-ii 23496  df-cncf 23497  df-limc 24483  df-dv 24484  df-log 25162  df-esum 31433 This theorem is referenced by:  hasheuni  31490
 Copyright terms: Public domain W3C validator