Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfreuzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfreuzlem 44129
Description: Given a function on the reals, its inferior limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is greater than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is smaller than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfreuzlem.1 Ⅎ𝑗𝐹
liminfreuzlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfreuzlem.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfreuzlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
liminfreuzlem (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑗)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem liminfreuzlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘—πœ‘
2 liminfreuzlem.1 . . . . 5 Ⅎ𝑗𝐹
3 liminfreuzlem.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 liminfreuzlem.3 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 liminfreuzlem.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
61, 2, 3, 4, 5liminfvaluz4 44126 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))))
76eleq1d 2819 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ))
84fvexi 6857 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
98mptex 7174 . . . . . 6 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V
10 limsupcl 15361 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ*)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ*)
1312xnegred 43791 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ ↔ -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ))
147, 13bitr4d 282 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ))
155ffvelcdmda 7036 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
1615renegcld 11587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ -(πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
171, 3, 4, 16limsupreuzmpt 44066 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
18 renegcl 11469 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
1918ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—)) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
20 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
215ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
224uztrn2 12787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2322adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2421, 23ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
2524adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
2620, 25leneg2d 43769 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ -𝑦))
2726rexbidva 3170 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ -𝑦))
2827ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ -𝑦))
2928biimpd 228 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ -𝑦))
3029imp 408 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ -𝑦)
31 breq2 5110 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = -𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ -𝑦))
3231rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = -𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ -𝑦))
3332ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (π‘₯ = -𝑦 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ -𝑦))
3433rspcev 3580 . . . . . . 7 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ -𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3519, 30, 34syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3635rexlimdva2 3151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
37 renegcl 11469 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
3837ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
3924adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
40 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4139, 40lenegd 11739 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ -π‘₯ ≀ -(πΉβ€˜π‘—)))
4241rexbidva 3170 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-π‘₯ ≀ -(πΉβ€˜π‘—)))
4342ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-π‘₯ ≀ -(πΉβ€˜π‘—)))
4443biimpd 228 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-π‘₯ ≀ -(πΉβ€˜π‘—)))
4544imp 408 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-π‘₯ ≀ -(πΉβ€˜π‘—))
46 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) ↔ -π‘₯ ≀ -(πΉβ€˜π‘—)))
4746rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-π‘₯ ≀ -(πΉβ€˜π‘—)))
4847ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (𝑦 = -π‘₯ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-π‘₯ ≀ -(πΉβ€˜π‘—)))
4948rspcev 3580 . . . . . . 7 ((-π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-π‘₯ ≀ -(πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—))
5038, 45, 49syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—))
5150rexlimdva2 3151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—)))
5236, 51impbid 211 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5318ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦) β†’ -𝑦 ∈ ℝ)
5415adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
55 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5654, 55leneg3d 43778 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (-(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5756ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5857biimpd 228 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦 β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5958imp 408 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
60 breq1 5109 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = -𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
6160ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (π‘₯ = -𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
6261rspcev 3580 . . . . . . 7 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
6353, 59, 62syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
6463rexlimdva2 3151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
6537ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ -π‘₯ ∈ ℝ)
66 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6715adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
6866, 67lenegd 11739 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ -(πΉβ€˜π‘—) ≀ -π‘₯))
6968ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ -π‘₯))
7069biimpd 228 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ -π‘₯))
7170imp 408 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ -π‘₯)
72 brralrspcev 5166 . . . . . . 7 ((-π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ -π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)
7365, 71, 72syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)
7473rexlimdva2 3151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦))
7564, 74impbid 211 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
7652, 75anbi12d 632 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ -(πΉβ€˜π‘—) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 -(πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
7717, 76bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
7814, 77bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055  β„*cxr 11193   ≀ cle 11195  -cneg 11391  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  -𝑒cxne 13035  lim supclsp 15358  lim infclsi 44078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-xneg 13038  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-limsup 15359  df-liminf 44079
This theorem is referenced by:  liminfreuz  44130
  Copyright terms: Public domain W3C validator