Theorem xrge0addass 32767

Description: Associativity of extended nonnegative real addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0addass	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xrge0addass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13447	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		0xr 11299	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11306	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
8		elicc4 13431	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
9	5, 7, 3, 8	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
10	2, 9	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
11	10	simpld 493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
12		ge0nemnf 13192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
13	3, 11, 12	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ≠ -∞)
14		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15	1, 14	sselid 3980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		elicc4 13431	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ +∞)))
17	5, 7, 15, 16	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ +∞)))
18	14, 17	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ +∞))
19	18	simpld 493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
20		ge0nemnf 13192	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
21	15, 19, 20	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ≠ -∞)
22		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23	1, 22	sselid 3980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
24		elicc4 13431	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ +∞)))
25	5, 7, 23, 24	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ +∞)))
26	22, 25	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ +∞))
27	26	simpld 493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐶)
28		ge0nemnf 13192	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → 𝐶 ≠ -∞)
29	23, 27, 28	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ≠ -∞)
30		xaddass 13268	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
31	3, 13, 15, 21, 23, 29, 30	syl222anc 1383	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  -∞cmnf 11284  ℝ^*cxr 11285   ≤ cle 11287   +_𝑒 cxad 13130  [,]cicc 13367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-addass 11211  ax-i2m1 11214  ax-rnegex 11217  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-xadd 13133  df-icc 13371

This theorem is referenced by:  inelcarsg  33964