Theorem xrge0addgt0 33677

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. See addgtge0 11844. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0addgt0	⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +e 𝐵))

Proof of Theorem xrge0addgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11395	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xaddrid 13411	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +e 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 +e 0) = 0
4		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
5		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
6	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
7		iccssxr 13601	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
9	7, 8	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11	7, 10	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xlt2add 13430	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +e 0) < (𝐴 +e 𝐵)))
13	6, 6, 9, 11, 12	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +e 0) < (𝐴 +e 𝐵)))
14	4, 5, 13	mp2and 712	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (0 +e 0) < (𝐴 +e 𝐵))
15	3, 14	eqbrtrrid 5147	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 +e 𝐵))
16		simplr 781	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < 𝐴)
17		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 +e 0) = (𝐴 +e 𝐵))
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +e 0) = (𝐴 +e 𝐵))
19	18	breq2d 5120	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +e 0) ↔ 0 < (𝐴 +e 𝐵)))
20		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
21	7, 20	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		xaddrid 13411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
23	21, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +e 0) = 𝐴)
24	23	breq2d 5120	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +e 0) ↔ 0 < 𝐴))
25	19, 24	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +e 𝐵) ↔ 0 < 𝐴))
26	16, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < (𝐴 +e 𝐵))
27	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
28		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
29	7, 28	sselid 3911	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		pnfxr 11402	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
32		iccgelb 13573	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
33	27, 31, 28, 32	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
34		xrleloe 13313	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
35	34	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
36	27, 29, 33, 35	syl21anc 851	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
37	15, 26, 36	mpjaodan 973	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +e 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   +_e cxad 13279  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-icc 13523

This theorem is used by:  xrge0adddir  33678