Theorem xrge0addgt0 33004

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. See addgtge0 11748. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0addgt0	⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xrge0addgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11305	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xaddrid 13279	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
4		simplr 769	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
6	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
7		iccssxr 13466	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
9	7, 8	sselid 3992	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		simpllr 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11	7, 10	sselid 3992	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xlt2add 13298	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
13	6, 6, 9, 11, 12	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
14	4, 5, 13	mp2and 699	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵))
15	3, 14	eqbrtrrid 5183	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
16		simplr 769	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < 𝐴)
17		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
19	18	breq2d 5159	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 0) ↔ 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
20		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
21	7, 20	sselid 3992	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		xaddrid 13279	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
24	23	breq2d 5159	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 0) ↔ 0 < 𝐴))
25	19, 24	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 𝐵) ↔ 0 < 𝐴))
26	16, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
27	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
28		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
29	7, 28	sselid 3992	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		pnfxr 11312	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
32		iccgelb 13439	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
33	27, 31, 28, 32	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
34		xrleloe 13182	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
35	34	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
36	27, 29, 33, 35	syl21anc 838	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
37	15, 26, 36	mpjaodan 960	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293   +_𝑒 cxad 13149  [,]cicc 13386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-icc 13390

This theorem is referenced by:  xrge0adddir  33005