Theorem xrge0addgt0 33245

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. See addgtge0 11690. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0addgt0	⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xrge0addgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11244	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xaddrid 13255	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 +𝑒 0) = 0
4		simplr 780	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
5		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
6	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
7		iccssxr 13445	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8		simplll 786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
9	7, 8	sselid 3937	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11	7, 10	sselid 3937	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xlt2add 13274	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
13	6, 6, 9, 11, 12	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
14	4, 5, 13	mp2and 711	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (0 +𝑒 0) < (𝐴 +𝑒 𝐵))
15	3, 14	eqbrtrrid 5140	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
16		simplr 780	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < 𝐴)
17		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
18	17	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
19	18	breq2d 5116	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 0) ↔ 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
20		simplll 786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
21	7, 20	sselid 3937	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		xaddrid 13255	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
23	21, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
24	23	breq2d 5116	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 0) ↔ 0 < 𝐴))
25	19, 24	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (0 < (𝐴 +𝑒 𝐵) ↔ 0 < 𝐴))
26	16, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
27	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
28		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
29	7, 28	sselid 3937	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30		pnfxr 11251	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
32		iccgelb 13417	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
33	27, 31, 28, 32	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
34		xrleloe 13157	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
35	34	biimpa 481	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
36	27, 29, 33, 35	syl21anc 850	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
37	15, 26, 36	mpjaodan 973	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  0cc0 11088  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232   +_𝑒 cxad 13123  [,]cicc 13363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-icc 13367

This theorem is referenced by:  xrge0adddir  33246