Theorem nmoleub 24095

Description: The operator norm, defined as an infimum of upper bounds, can also be defined as a supremum of norms of 𝐹(𝑥) away from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
nmoleub.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmoleub.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmoleub.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmoleub.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nmoleub	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmoleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2	1	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
3		nmoleub.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
4		nmoi.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
6	4, 5	ghmf 19012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
9		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
12		nmoi.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
13	5, 12	nmcl 23972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
14	2, 11, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
15		nmoleub.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
17		nmoi.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
18		nmoi2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
19	4, 17, 18	nmrpcl 23976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	19	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
21	16, 20	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	14, 21	rerpdivcld 12988	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11205	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ∈ ℝ*)
24		nmofval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
25	24	nmocl 24084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
26	15, 1, 3, 25	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
27	26	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
28		nmoleub.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
29	28	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐴 ∈ ℝ*)
30	15, 1, 3	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
31	30	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
32	24, 4, 17, 12, 18	nmoi2 24094	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ (𝑁‘𝐹))
33	31, 32	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ (𝑁‘𝐹))
34		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
35	23, 27, 29, 33, 34	xrletrd 13081	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)
36	35	expr 457	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴))
37	36	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴))
38		0le0 12254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
39		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	mul01d 11354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐴 · 0) = 0)
42	38, 41	breqtrrid 5143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 0 ≤ (𝐴 · 0))
43		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘ 0 ))
44	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
46	18, 45	ghmid 19014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
47	44, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
48	43, 47	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑇))
49	48	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
50	1	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
51	12, 45	nm0 23985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
53	49, 52	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
54		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘ 0 ))
55	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
56	17, 18	nm0 23985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘ 0 ) = 0)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘ 0 ) = 0)
58	54, 57	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐿‘𝑥) = 0)
59	58	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) = (𝐴 · 0))
60	42, 53, 59	3brtr4d 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
61	60	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → ((𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
62		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
63	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
64	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
65	64, 10	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
66	63, 65, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
68		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ)
69	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
70	19	3expa 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
71	69, 70	sylanl1 678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
72	67, 68, 71	ledivmul2d 13011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
73	72	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
74	62, 73	embantd 59	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
75	61, 74	pm2.61dane 3032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
76	75	ralimdva 3164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
77	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
78	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
79		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
80		nmoleub.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
81	80	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
82	24, 4, 17, 12	nmolb 24081	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
83	69, 77, 78, 79, 81, 82	syl311anc 1384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
84	76, 83	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
85	84	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
86	85	an32s 650	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
87	26	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
88		pnfge 13051	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
89	87, 88	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
90		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
91	89, 90	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
92		ge0nemnf 13092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
93	28, 80, 92	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
94	28, 93	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
95		xrnemnf 13038	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
96	94, 95	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
97	96	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
98	86, 91, 97	mpjaodan 957	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
99	37, 98	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   class class class wbr 5105  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℝ⁺crp 12915  Basecbs 17083  0_gc0g 17321   GrpHom cghm 19005  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933   normOp cnmo 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-ghm 19006  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nmo 24072  df-nghm 24073

This theorem is referenced by: (None)