MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub 24752
Description: The operator norm, defined as an infimum of upper bounds, can also be defined as a supremum of norms of 𝐹(𝑥) away from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z 0 = (0g𝑆)
nmoleub.1 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
nmoleub.2 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
nmoleub.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmoleub.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
nmoleub (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmoleub
StepHypRef Expression
1 nmoleub.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
21ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
3 nmoleub.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
4 nmoi.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
64, 5ghmf 19238 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
73, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
87ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
9 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝑥𝑉)
10 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
12 nmoi.4 . . . . . . . . 9 𝑀 = (norm‘𝑇)
135, 12nmcl 24629 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
142, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
15 nmoleub.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
17 nmoi.3 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (norm‘𝑆)
18 nmoi2.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
194, 17, 18nmrpcl 24633 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉𝑥0 ) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
20193expb 1121 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
2116, 20sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
2214, 21rerpdivcld 13108 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11311 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ∈ ℝ*)
24 nmofval.1 . . . . . . . 8 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2524nmocl 24741 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
2615, 1, 3, 25syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
2726ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
28 nmoleub.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2928ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3015, 1, 33jca 1129 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
3224, 4, 17, 12, 18nmoi2 24751 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ (𝑁𝐹))
3331, 32sylan 580 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ (𝑁𝐹))
34 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
3523, 27, 29, 33, 34xrletrd 13204 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)
3635expr 456 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴))
3736ralrimiva 3146 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴))
38 0le0 12367 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
39 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4039recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4140mul01d 11460 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐴 · 0) = 0)
4238, 41breqtrrid 5181 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 0 ≤ (𝐴 · 0))
43 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹0 ))
443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑇) = (0g𝑇)
4618, 45ghmid 19240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
4744, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
4843, 47sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐹𝑥) = (0g𝑇))
4948fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(0g𝑇)))
501ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
5112, 45nm0 24642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
5349, 52eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = 0)
54 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝐿𝑥) = (𝐿0 ))
5515ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
5617, 18nm0 24642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿0 ) = 0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿0 ) = 0)
5854, 57sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐿𝑥) = 0)
5958oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) = (𝐴 · 0))
6042, 53, 593brtr4d 5175 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
6160a1d 25 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → ((𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
62 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → 𝑥0 )
631ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
647adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
6564, 10sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
6663, 65, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6766adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
68 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6915adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
70193expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
7169, 70sylanl1 680 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
7267, 68, 71ledivmul2d 13131 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
7372biimpd 229 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴 → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
7462, 73embantd 59 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → ((𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
7561, 74pm2.61dane 3029 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
7675ralimdva 3167 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
771adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
783adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
79 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
80 nmoleub.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
8180adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
8224, 4, 17, 12nmolb 24738 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
8369, 77, 78, 79, 81, 82syl311anc 1386 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
8476, 83syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
8584imp 406 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8685an32s 652 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8726ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
88 pnfge 13172 . . . . 5 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
8987, 88syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
90 simpr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
9189, 90breqtrrd 5171 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
92 ge0nemnf 13215 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
9328, 80, 92syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
9428, 93jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
95 xrnemnf 13159 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9694, 95sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9796adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9886, 91, 97mpjaodan 961 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
9937, 98impbida 801 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294  cle 11296   / cdiv 11920  +crp 13034  Basecbs 17247  0gc0g 17484   GrpHom cghm 19230  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nmo 24729  df-nghm 24730
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator