Theorem nmoleub 25050

Description: The operator norm, defined as an infimum of upper bounds, can also be defined as a supremum of norms of 𝐹(𝑥) away from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
nmoleub.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmoleub.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmoleub.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmoleub.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nmoleub	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmoleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
3		nmoleub.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
4		nmoi.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
6	4, 5	ghmf 19434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
8	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
9		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
12		nmoi.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
13	5, 12	nmcl 24935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
14	2, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
15		nmoleub.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
17		nmoi.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
18		nmoi2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
19	4, 17, 18	nmrpcl 24939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	19	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
21	16, 20	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	14, 21	rerpdivcld 13195	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11359	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ∈ ℝ*)
24		nmofval.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
25	24	nmocl 25039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
26	15, 1, 3, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
27	26	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
28		nmoleub.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
29	28	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐴 ∈ ℝ*)
30	15, 1, 3	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
32	24, 4, 17, 12, 18	nmoi2 25049	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ (𝑁‘𝐹))
33	31, 32	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ (𝑁‘𝐹))
34		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
35	23, 27, 29, 33, 34	xrletrd 13291	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)
36	35	expr 462	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴))
37	36	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴))
38		0le0 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
39		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	mul01d 11509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐴 · 0) = 0)
42	38, 41	breqtrrid 5143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 0 ≤ (𝐴 · 0))
43		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘ 0 ))
44	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
46	18, 45	ghmid 19436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
47	44, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
48	43, 47	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐹‘𝑥) = (0g‘𝑇))
49	48	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
50	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
51	12, 45	nm0 24948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
53	49, 52	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
54		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘ 0 ))
55	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
56	17, 18	nm0 24948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘ 0 ) = 0)
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘ 0 ) = 0)
58	54, 57	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐿‘𝑥) = 0)
59	58	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) = (𝐴 · 0))
60	42, 53, 59	3brtr4d 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
61	60	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → ((𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
62		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
63	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
64	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
65	64, 10	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
66	63, 65, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
67	66	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
68		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ)
69	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
70	19	3expa 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
71	69, 70	sylanl1 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ+)
72	67, 68, 71	ledivmul2d 13218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
73	72	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
74	62, 73	embantd 60	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
75	61, 74	pm2.61dane 3043	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
76	75	ralimdva 3175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))))
77	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
78	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
79		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
80		nmoleub.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
81	80	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
82	24, 4, 17, 12	nmolb 25036	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
83	69, 77, 78, 79, 81, 82	syl311anc 1411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
84	76, 83	syld 48	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
85	84	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
86	85	an32s 665	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
87	26	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
88		pnfge 13259	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
89	87, 88	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
90		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
91	89, 90	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
92		ge0nemnf 13303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
93	28, 80, 92	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
94	28, 93	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
95		xrnemnf 13246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
96	94, 95	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
97	96	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
98	86, 91, 97	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
99	37, 98	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / (𝐿‘𝑥)) ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   class class class wbr 5103  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   · cmul 11205  +∞cpnf 11340  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℝ⁺crp 13120  Basecbs 17387  0_gc0g 17610   GrpHom cghm 19427  normcnm 24895  NrmGrpcngp 24896   normOp cnmo 25024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-0g 17612  df-topgen 17614  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-ghm 19428  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-xms 24639  df-ms 24640  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-nmo 25027  df-nghm 25028

This theorem is used by: (None)