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Theorem nmoleub 22814
Description: The operator norm, defined as an infimum of upper bounds, can also be defined as a supremum of norms of 𝐹(𝑥) away from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z 0 = (0g𝑆)
nmoleub.1 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
nmoleub.2 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
nmoleub.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmoleub.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
nmoleub (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmoleub
StepHypRef Expression
1 nmoleub.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
21ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
3 nmoleub.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
4 nmoi.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
64, 5ghmf 17930 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
73, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
87ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
9 simprl 787 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝑥𝑉)
10 ffvelrn 6547 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
118, 9, 10syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
12 nmoi.4 . . . . . . . . 9 𝑀 = (norm‘𝑇)
135, 12nmcl 22699 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
142, 11, 13syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
15 nmoleub.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
1615adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
17 nmoi.3 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (norm‘𝑆)
18 nmoi2.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
194, 17, 18nmrpcl 22703 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉𝑥0 ) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
20193expb 1149 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
2116, 20sylan 575 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
2214, 21rerpdivcld 12101 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
2322rexrd 10343 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ∈ ℝ*)
24 nmofval.1 . . . . . . . 8 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2524nmocl 22803 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
2615, 1, 3, 25syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
2726ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
28 nmoleub.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2928ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3015, 1, 33jca 1158 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
3130adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
3224, 4, 17, 12, 18nmoi2 22813 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ (𝑁𝐹))
3331, 32sylan 575 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ (𝑁𝐹))
34 simplr 785 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
3523, 27, 29, 33, 34xrletrd 12195 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)
3635expr 448 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴))
3736ralrimiva 3113 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴))
38 0le0 11380 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
39 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4039recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4140mul01d 10489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐴 · 0) = 0)
4238, 41syl5breqr 4847 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 0 ≤ (𝐴 · 0))
43 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹0 ))
443ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑇) = (0g𝑇)
4618, 45ghmid 17932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
4744, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
4843, 47sylan9eqr 2821 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐹𝑥) = (0g𝑇))
4948fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(0g𝑇)))
501ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
5112, 45nm0 22712 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
5349, 52eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = 0)
54 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝐿𝑥) = (𝐿0 ))
5515ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
5617, 18nm0 22712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿0 ) = 0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿0 ) = 0)
5854, 57sylan9eqr 2821 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐿𝑥) = 0)
5958oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) = (𝐴 · 0))
6042, 53, 593brtr4d 4841 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
6160a1d 25 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥 = 0 ) → ((𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
62 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → 𝑥0 )
631ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
647adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
6564, 10sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
6663, 65, 13syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6766adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
68 simpllr 793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6915adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
70193expa 1147 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
7169, 70sylanl1 670 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ+)
7267, 68, 71ledivmul2d 12124 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
7372biimpd 220 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴 → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
7462, 73embantd 59 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → ((𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
7561, 74pm2.61dane 3024 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
7675ralimdva 3109 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))))
771adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
783adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
79 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
80 nmoleub.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
8180adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
8224, 4, 17, 12nmolb 22800 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
8369, 77, 78, 79, 81, 82syl311anc 1503 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
8476, 83syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
8584imp 395 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8685an32s 642 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8726ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
88 pnfge 12164 . . . . 5 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
8987, 88syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
90 simpr 477 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
9189, 90breqtrrd 4837 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
92 ge0nemnf 12206 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
9328, 80, 92syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
9428, 93jca 507 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
95 xrnemnf 12151 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9694, 95sylib 209 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9796adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9886, 91, 97mpjaodan 981 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
9937, 98impbida 835 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / (𝐿𝑥)) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055   class class class wbr 4809  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327  cle 10329   / cdiv 10938  +crp 12028  Basecbs 16132  0gc0g 16368   GrpHom cghm 17923  normcnm 22660  NrmGrpcngp 22661   normOp cnmo 22788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ico 12383  df-0g 16370  df-topgen 16372  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-ghm 17924  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-xms 22404  df-ms 22405  df-nm 22666  df-ngp 22667  df-nmo 22791  df-nghm 22792
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