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Theorem nmoleub 24247
Description: The operator norm, defined as an infimum of upper bounds, can also be defined as a supremum of norms of 𝐹(π‘₯) away from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoi.3 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoi.4 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoi2.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
nmoleub.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmoleub.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmoleub.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmoleub.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub.5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
nmoleub (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hint:   0 (π‘₯)

Proof of Theorem nmoleub
StepHypRef Expression
1 nmoleub.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
21ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
3 nmoleub.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
4 nmoi.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
64, 5ghmf 19095 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
73, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
87ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
9 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
10 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
12 nmoi.4 . . . . . . . . 9 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
135, 12nmcl 24124 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
142, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
15 nmoleub.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
17 nmoi.3 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
18 nmoi2.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘†)
194, 17, 18nmrpcl 24128 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
20193expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2116, 20sylan 580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2214, 21rerpdivcld 13046 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11263 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
24 nmofval.1 . . . . . . . 8 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2524nmocl 24236 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2615, 1, 3, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2726ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
28 nmoleub.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2928ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3015, 1, 33jca 1128 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) β†’ (𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)))
3224, 4, 17, 12, 18nmoi2 24246 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘β€˜πΉ))
3331, 32sylan 580 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ (π‘β€˜πΉ))
34 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
3523, 27, 29, 33, 34xrletrd 13140 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)
3635expr 457 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴))
3736ralrimiva 3146 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴))
38 0le0 12312 . . . . . . . . . . 11 0 ≀ 0
39 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4039recnd 11241 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4140mul01d 11412 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (𝐴 Β· 0) = 0)
4238, 41breqtrrid 5186 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ 0 ≀ (𝐴 Β· 0))
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜ 0 ))
443ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
4618, 45ghmid 19097 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘‡))
4744, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘‡))
4843, 47sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘‡))
4948fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)))
501ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
5112, 45nm0 24137 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
5349, 52eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
54 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜ 0 ))
5515ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
5617, 18nm0 24137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ (πΏβ€˜ 0 ) = 0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜ 0 ) = 0)
5854, 57sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = 0)
5958oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) = (𝐴 Β· 0))
6042, 53, 593brtr4d 5180 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
6160a1d 25 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ ((π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
62 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ π‘₯ β‰  0 )
631ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
647adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
6564, 10sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
6663, 65, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
68 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6915adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
70193expa 1118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
7169, 70sylanl1 678 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
7267, 68, 71ledivmul2d 13069 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴 ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
7372biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴 β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
7462, 73embantd 59 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
7561, 74pm2.61dane 3029 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
7675ralimdva 3167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯))))
771adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
783adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
79 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
80 nmoleub.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
8180adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ 𝐴)
8224, 4, 17, 12nmolb 24233 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴))
8369, 77, 78, 79, 81, 82syl311anc 1384 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴))
8476, 83syld 47 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴))
8584imp 407 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
8685an32s 650 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
8726ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
88 pnfge 13109 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ +∞)
8987, 88syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ +∞)
90 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
9189, 90breqtrrd 5176 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
92 ge0nemnf 13151 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
9328, 80, 92syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  -∞)
9428, 93jca 512 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  -∞))
95 xrnemnf 13096 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9694, 95sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9796adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9886, 91, 97mpjaodan 957 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
9937, 98impbida 799 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  β„+crp 12973  Basecbs 17143  0gc0g 17384   GrpHom cghm 19088  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085   normOp cnmo 24221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-ghm 19089  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-nmo 24224  df-nghm 24225
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