MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetlecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetlecl 24338
Description: Real closure of an extended metric value that is upper bounded by a real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetlecl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem xmetlecl
StepHypRef Expression
1 xmetcl 24323 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
213expb 1117 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
323adant3 1129 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
4 simp3l 1198 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5 xmetge0 24336 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
653expb 1117 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
763adant3 1129 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≤ 𝐶)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
8 simp3r 1199 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ 𝐶)
9 xrrege0 13199 . 2 ((((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
103, 4, 7, 8, 9syl22anc 837 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝐵) ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2099   class class class wbr 5144  cfv 6544  (class class class)co 7414  cr 11146  0cc0 11147  *cxr 11286  cle 11288  ∞Metcxmet 21322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-2 12319  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-xmet 21330
This theorem is referenced by:  blss2  24396  blss  24417  xmeter  24425  metdcnlem  24838
  Copyright terms: Public domain W3C validator