MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2lecl 24321
Description: If an 2 integral is bounded above, then it is real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2lecl ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ≤ 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)

Proof of Theorem itg2lecl
StepHypRef Expression
1 itg2cl 24315 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ≤ 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
3 simp2 1134 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 itg2ge0 24318 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))
543ad2ant1 1130 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ≤ 𝐴) → 0 ≤ (∫2𝐹))
6 simp3 1135 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ≤ 𝐴) → (∫2𝐹) ≤ 𝐴)
7 xrrege0 12545 . 2 ((((∫2𝐹) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) ≤ 𝐴)) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
82, 3, 5, 6, 7syl22anc 837 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ≤ 𝐴) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5039  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  cr 10513  0cc0 10514  +∞cpnf 10649  *cxr 10651  cle 10653  [,]cicc 12719  2citg2 24199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xadd 12486  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-xmet 20514  df-met 20515  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202  df-itg1 24203  df-itg2 24204
This theorem is referenced by:  itg2mulc  24330  itg2split  24332  itg2monolem1  24333  itg2cnlem2  24345  iblss  24387  ibladdlem  24402  iblabs  24411  iblabsr  24412  iblmulc2  24413  bddmulibl  24421  bddiblnc  24424  ibladdnclem  34999  iblabsnc  35007  iblmulc2nc  35008  ftc1anclem4  35019  ftc1anclem7  35022  ftc1anclem8  35023
  Copyright terms: Public domain W3C validator