Theorem bddnghm 24747

Description: A bounded group homomorphism is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
bddnghm	⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Proof of Theorem bddnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2	1	nmocl 24741	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
3	1	nmoge0 24742	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
4	2, 3	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)))
5		xrrege0 13216	. . . 4 ⊢ ((((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑁‘𝐹) ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
6	5	an4s 660	. . 3 ⊢ ((((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
7	4, 6	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
8	1	isnghm2 24745	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
10	7, 9	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296   GrpHom cghm 19230  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726   NGHom cnghm 24727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ico 13393  df-nmo 24729  df-nghm 24730

This theorem is referenced by:  nghmco  24759  nghmplusg  24761  nmhmcn  25153