Theorem zsex 28767

Description: The surreal integers form a set. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zsex	⊢ ℤs ∈ V

Proof of Theorem zsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zs 28766	. 2 ⊢ ℤs = ( −s “ (ℕs × ℕs))
2		subsfn 28411	. . 3 ⊢ −s Fn (No × No)
3		fnfun 6639	. . 3 ⊢ ( −s Fn (No × No) → Fun −s )
4		nnsex 28705	. . . . 5 ⊢ ℕs ∈ V
5	4, 4	xpex 7767	. . . 4 ⊢ (ℕs × ℕs) ∈ V
6	5	funimaex 6627	. . 3 ⊢ (Fun −s → ( −s “ (ℕs × ℕs)) ∈ V)
7	2, 3, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ ( −s “ (ℕs × ℕs)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2856	1 ⊢ ℤs ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   × cxp 5648   “ cima 5653  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  Nocsur 27998   −_s csubs 28407  ℕ_scnns 28700  ℤ_sczs 28765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-subs 28409  df-n0s 28701  df-nns 28702  df-zs 28766

This theorem is used by:  z12sex  28861