Theorem zsex 28531

Description: The surreal integers form a set. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zsex	⊢ ℤs ∈ V

Proof of Theorem zsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zs 28530	. 2 ⊢ ℤs = ( -s “ (ℕs × ℕs))
2		subsfn 28175	. . 3 ⊢ -s Fn ( No × No )
3		fnfun 6625	. . 3 ⊢ ( -s Fn ( No × No ) → Fun -s )
4		nnsex 28469	. . . . 5 ⊢ ℕs ∈ V
5	4, 4	xpex 7740	. . . 4 ⊢ (ℕs × ℕs) ∈ V
6	5	funimaex 6613	. . 3 ⊢ (Fun -s → ( -s “ (ℕs × ℕs)) ∈ V)
7	2, 3, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2861	1 ⊢ ℤs ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   × cxp 5650   “ cima 5655  Fun wfun 6519   Fn wfn 6520   No csur 27762   -_s csubs 28171  ℕ_scnns 28464  ℤ_sczs 28529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-subs 28173  df-n0s 28465  df-nns 28466  df-zs 28530

This theorem is referenced by:  z12sex  28625