Theorem zsex 28310

Description: The surreal integers form a set. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zsex	⊢ ℤs ∈ V

Proof of Theorem zsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zs 28309	. 2 ⊢ ℤs = ( -s “ (ℕs × ℕs))
2		subsfn 27972	. . 3 ⊢ -s Fn ( No × No )
3		fnfun 6601	. . 3 ⊢ ( -s Fn ( No × No ) → Fun -s )
4		nnsex 28253	. . . . 5 ⊢ ℕs ∈ V
5	4, 4	xpex 7710	. . . 4 ⊢ (ℕs × ℕs) ∈ V
6	5	funimaex 6589	. . 3 ⊢ (Fun -s → ( -s “ (ℕs × ℕs)) ∈ V)
7	2, 3, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2824	1 ⊢ ℤs ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   × cxp 5629   “ cima 5634  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495   No csur 27586   -_s csubs 27968  ℕ_scnns 28249  ℤ_sczs 28308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-dc 10378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-subs 27970  df-n0s 28250  df-nns 28251  df-zs 28309

This theorem is referenced by:  zs12ex  28388