Theorem zsex 28645

Description: The surreal integers form a set. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zsex	⊢ ℤs ∈ V

Proof of Theorem zsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zs 28644	. 2 ⊢ ℤs = ( -s “ (ℕs × ℕs))
2		subsfn 28289	. . 3 ⊢ -s Fn ( No × No )
3		fnfun 6632	. . 3 ⊢ ( -s Fn ( No × No ) → Fun -s )
4		nnsex 28583	. . . . 5 ⊢ ℕs ∈ V
5	4, 4	xpex 7752	. . . 4 ⊢ (ℕs × ℕs) ∈ V
6	5	funimaex 6620	. . 3 ⊢ (Fun -s → ( -s “ (ℕs × ℕs)) ∈ V)
7	2, 3, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2856	1 ⊢ ℤs ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   × cxp 5653   “ cima 5658  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528   No csur 27876   -_s csubs 28285  ℕ_scnns 28578  ℤ_sczs 28643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-subs 28287  df-n0s 28579  df-nns 28580  df-zs 28644

This theorem is used by:  z12sex  28739