Theorem zssno 28328

Description: The surreal integers are a subset of the surreals. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zssno	⊢ ℤs ⊆ No

Proof of Theorem zssno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6072	. 2 ⊢ ( -s “ (ℕs × ℕs)) ⊆ ran -s
2		df-zs 28326	. 2 ⊢ ℤs = ( -s “ (ℕs × ℕs))
3		subsfo 28069	. . . 4 ⊢ -s :( No × No )–onto→ No
4		forn 6810	. . . 4 ⊢ ( -s :( No × No )–onto→ No → ran -s = No )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran -s = No
6	5	eqcomi 2735	. 2 ⊢ No = ran -s
7	1, 2, 6	3sstr4i 4022	1 ⊢ ℤs ⊆ No

Syntax hints:   = wceq 1534   ⊆ wss 3946   × cxp 5672  ran crn 5675   “ cima 5677  –onto→wfo 6544   No csur 27666   -_s csubs 28027  ℕ_scnns 28284  ℤ_sczs 28325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-1o 8488  df-2o 8489  df-nadd 8688  df-no 27669  df-slt 27670  df-bday 27671  df-sslt 27808  df-scut 27810  df-0s 27851  df-made 27868  df-old 27869  df-left 27871  df-right 27872  df-norec 27949  df-norec2 27960  df-adds 27971  df-negs 28028  df-subs 28029  df-zs 28326

This theorem is referenced by:  zno  28329