Theorem enpw 6087

Description: If A and B are equinumerous, then so are their power sets. Theorem XI.1.36 of [Rosser] p. 369. (Contributed by SF, 17-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enpw	⊢ (A ≈ B → ℘A ≈ ℘B)

Proof of Theorem enpw

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brex 4689	. 2 ⊢ (A ≈ B → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
2		breq1 4642	. . . 4 ⊢ (a = A → (a ≈ b ↔ A ≈ b))
3		pweq 3725	. . . . 5 ⊢ (a = A → ℘a = ℘A)
4	3	breq1d 4649	. . . 4 ⊢ (a = A → (℘a ≈ ℘b ↔ ℘A ≈ ℘b))
5	2, 4	imbi12d 311	. . 3 ⊢ (a = A → ((a ≈ b → ℘a ≈ ℘b) ↔ (A ≈ b → ℘A ≈ ℘b)))
6		breq2 4643	. . . 4 ⊢ (b = B → (A ≈ b ↔ A ≈ B))
7		pweq 3725	. . . . 5 ⊢ (b = B → ℘b = ℘B)
8	7	breq2d 4651	. . . 4 ⊢ (b = B → (℘A ≈ ℘b ↔ ℘A ≈ ℘B))
9	6, 8	imbi12d 311	. . 3 ⊢ (b = B → ((A ≈ b → ℘A ≈ ℘b) ↔ (A ≈ B → ℘A ≈ ℘B)))
10		enmap2 6068	. . . 4 ⊢ (a ≈ b → ({V, ∅} ↑m a) ≈ ({V, ∅} ↑m b))
11		vn0 3557	. . . . . . 7 ⊢ V ≠ ∅
12		eqid 2353	. . . . . . 7 ⊢ {V, ∅} = {V, ∅}
13		vvex 4109	. . . . . . . 8 ⊢ V ∈ V
14		0ex 4110	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
15		vex 2862	. . . . . . . 8 ⊢ a ∈ V
16	13, 14, 15	enprmapc 6083	. . . . . . 7 ⊢ ((V ≠ ∅ ∧ {V, ∅} = {V, ∅}) → ({V, ∅} ↑m a) ≈ ℘a)
17	11, 12, 16	mp2an 653	. . . . . 6 ⊢ ({V, ∅} ↑m a) ≈ ℘a
18		ensym 6037	. . . . . 6 ⊢ (℘a ≈ ({V, ∅} ↑m a) ↔ ({V, ∅} ↑m a) ≈ ℘a)
19	17, 18	mpbir 200	. . . . 5 ⊢ ℘a ≈ ({V, ∅} ↑m a)
20		vex 2862	. . . . . . . 8 ⊢ b ∈ V
21	13, 14, 20	enprmapc 6083	. . . . . . 7 ⊢ ((V ≠ ∅ ∧ {V, ∅} = {V, ∅}) → ({V, ∅} ↑m b) ≈ ℘b)
22	11, 12, 21	mp2an 653	. . . . . 6 ⊢ ({V, ∅} ↑m b) ≈ ℘b
23		entr 6038	. . . . . 6 ⊢ ((({V, ∅} ↑m a) ≈ ({V, ∅} ↑m b) ∧ ({V, ∅} ↑m b) ≈ ℘b) → ({V, ∅} ↑m a) ≈ ℘b)
24	22, 23	mpan2 652	. . . . 5 ⊢ (({V, ∅} ↑m a) ≈ ({V, ∅} ↑m b) → ({V, ∅} ↑m a) ≈ ℘b)
25		entr 6038	. . . . 5 ⊢ ((℘a ≈ ({V, ∅} ↑m a) ∧ ({V, ∅} ↑m a) ≈ ℘b) → ℘a ≈ ℘b)
26	19, 24, 25	sylancr 644	. . . 4 ⊢ (({V, ∅} ↑m a) ≈ ({V, ∅} ↑m b) → ℘a ≈ ℘b)
27	10, 26	syl 15	. . 3 ⊢ (a ≈ b → ℘a ≈ ℘b)
28	5, 9, 27	vtocl2g 2918	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A ≈ B → ℘A ≈ ℘B))
29	1, 28	mpcom 32	1 ⊢ (A ≈ B → ℘A ≈ ℘B)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  Vcvv 2859  ∅c0 3550  ℘cpw 3722  {cpr 3738   class class class wbr 4639  (class class class)co 5525   ↑_m cmap 5999   ≈ cen 6028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-map 6001  df-en 6029

This theorem is referenced by:  ce2le  6233