Theorem elce 6176

Description: Membership in cardinal exponentiation. Theorem XI.2.38 of [Rosser] p. 382. (Contributed by SF, 6-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elce	⊢ ((N ∈ NC ∧ M ∈ NC ) → (A ∈ (N ↑c M) ↔ ∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y))))

Distinct variable groups:   x,A,y   x,M,y   x,N,y

Proof of Theorem elce

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2868	. . 3 ⊢ (A ∈ (N ↑c M) → A ∈ V)
2	1	a1i 10	. 2 ⊢ ((N ∈ NC ∧ M ∈ NC ) → (A ∈ (N ↑c M) → A ∈ V))
3		brex 4690	. . . . . 6 ⊢ (A ≈ (x ↑m y) → (A ∈ V ∧ (x ↑m y) ∈ V))
4	3	simpld 445	. . . . 5 ⊢ (A ≈ (x ↑m y) → A ∈ V)
5	4	3ad2ant3 978	. . . 4 ⊢ ((℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y)) → A ∈ V)
6	5	exlimivv 1635	. . 3 ⊢ (∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y)) → A ∈ V)
7	6	a1i 10	. 2 ⊢ ((N ∈ NC ∧ M ∈ NC ) → (∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y)) → A ∈ V))
8		ovce 6173	. . . . 5 ⊢ ((N ∈ NC ∧ M ∈ NC ) → (N ↑c M) = {g ∣ ∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ g ≈ (x ↑m y))})
9	8	eleq2d 2420	. . . 4 ⊢ ((N ∈ NC ∧ M ∈ NC ) → (A ∈ (N ↑c M) ↔ A ∈ {g ∣ ∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ g ≈ (x ↑m y))}))
10		breq1 4643	. . . . . . 7 ⊢ (g = A → (g ≈ (x ↑m y) ↔ A ≈ (x ↑m y)))
11	10	3anbi3d 1258	. . . . . 6 ⊢ (g = A → ((℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ g ≈ (x ↑m y)) ↔ (℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y))))
12	11	2exbidv 1628	. . . . 5 ⊢ (g = A → (∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ g ≈ (x ↑m y)) ↔ ∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y))))
13	12	elabg 2987	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ {g ∣ ∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ g ≈ (x ↑m y))} ↔ ∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y))))
14	9, 13	sylan9bb 680	. . 3 ⊢ (((N ∈ NC ∧ M ∈ NC ) ∧ A ∈ V) → (A ∈ (N ↑c M) ↔ ∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y))))
15	14	ex 423	. 2 ⊢ ((N ∈ NC ∧ M ∈ NC ) → (A ∈ V → (A ∈ (N ↑c M) ↔ ∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y)))))
16	2, 7, 15	pm5.21ndd 343	1 ⊢ ((N ∈ NC ∧ M ∈ NC ) → (A ∈ (N ↑c M) ↔ ∃x∃y(℘1x ∈ N ∧ ℘1y ∈ M ∧ A ≈ (x ↑m y))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  Vcvv 2860  ℘₁cpw1 4136   class class class wbr 4640  (class class class)co 5526   ↑_m cmap 6000   ≈ cen 6029   NC cncs 6089   ↑_c cce 6097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-pw1fn 5767  df-map 6002  df-en 6030  df-ce 6107

This theorem is referenced by:  ce0nnul  6178  cenc  6182  ce0nnulb  6183  fce  6189