Theorem elnc 6125

Description: Membership in cardinality. (Contributed by SF, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elnc	⊢ (A ∈ Nc B ↔ A ≈ B)

Proof of Theorem elnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2867	. . 3 ⊢ (A ∈ Nc B → A ∈ V)
2		ecexr 5950	. . . 4 ⊢ (A ∈ [B] ≈ → B ∈ V)
3		df-nc 6101	. . . 4 ⊢ Nc B = [B] ≈
4	2, 3	eleq2s 2445	. . 3 ⊢ (A ∈ Nc B → B ∈ V)
5	1, 4	jca 518	. 2 ⊢ (A ∈ Nc B → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
6		brex 4689	. 2 ⊢ (A ≈ B → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
7	3	eleq2i 2417	. . . 4 ⊢ (A ∈ Nc B ↔ A ∈ [B] ≈ )
8		elec 5964	. . . 4 ⊢ (A ∈ [B] ≈ ↔ B ≈ A)
9	7, 8	bitri 240	. . 3 ⊢ (A ∈ Nc B ↔ B ≈ A)
10		ener 6039	. . . . 5 ⊢ ≈ Er V
11	10	a1i 10	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → ≈ Er V)
12		simpr 447	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → B ∈ V)
13		simpl 443	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → A ∈ V)
14	11, 12, 13	ersymb 5953	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (B ≈ A ↔ A ≈ B))
15	9, 14	syl5bb 248	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A ∈ Nc B ↔ A ≈ B))
16	5, 6, 15	pm5.21nii 342	1 ⊢ (A ∈ Nc B ↔ A ≈ B)

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   class class class wbr 4639   Er cer 5898  [cec 5945   ≈ cen 6028   Nc cnc 6091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-en 6029  df-nc 6101

This theorem is referenced by:  ncseqnc  6128  mucnc  6131  ncdisjun  6136  cenc  6181  sbth  6206  dflec3  6221  nclenc  6222  lenc  6223  taddc  6229  ce2le  6233