Theorem 2exp8 13031

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9424	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9426	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9419	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 9219	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 9307	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 8191	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 13027	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 9423	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 9428	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 9630	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2230	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 9431	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 9419	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 8186	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 9265	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 9427	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 9236	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 9230	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 9706	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 8329	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 9676	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 9425	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 8187	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6033	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 9299	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2251	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 9723	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 9680	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 9681	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 13021	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1397  (class class class)co 6023  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042  2c2 9199  3c3 9200  4c4 9201  5c5 9202  6c6 9203  8c8 9205  9c9 9206  ;cdc 9616  ↑cexp 10806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-seqfrec 10716  df-exp 10807

This theorem is referenced by:  2exp11  13032  2exp16  13033