Theorem 2exp8 13126

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9509	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9511	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9504	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 9304	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 9392	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 8277	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 13122	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 9508	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 9513	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 9719	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2232	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 9516	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 9504	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 8272	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 9350	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 9512	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 9321	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 9315	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 9795	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 8414	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 9765	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 9510	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 8273	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6059	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 9384	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 9812	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 9769	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 9770	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 13116	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1398  (class class class)co 6049  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128  2c2 9284  3c3 9285  4c4 9286  5c5 9287  6c6 9288  8c8 9290  9c9 9291  ;cdc 9705  ↑cexp 10896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-seqfrec 10806  df-exp 10897

This theorem is referenced by:  2exp11  13127  2exp16  13128