Theorem 2exp8 12802

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9319	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9321	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9314	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 9114	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 9202	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 8086	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 12798	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 9318	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 9323	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 9525	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2206	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 9326	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 9314	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 8081	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 9160	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 9322	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 9131	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 9125	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 9601	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 8224	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 9571	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 9320	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 8082	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 5961	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 9194	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2227	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 9618	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 9575	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 9576	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 12792	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1373  (class class class)co 5951  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937  2c2 9094  3c3 9095  4c4 9096  5c5 9097  6c6 9098  8c8 9100  9c9 9101  ;cdc 9511  ↑cexp 10690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-seqfrec 10600  df-exp 10691

This theorem is referenced by:  2exp11  12803  2exp16  12804