Theorem 2exp8 12924

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9354	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9356	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9349	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 9149	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 9237	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 8121	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 12920	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 9353	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 9358	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 9560	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2209	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 9361	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 9349	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 8116	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 9195	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 9357	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 9166	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 9160	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 9636	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 8259	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 9606	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 9355	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 8117	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 5984	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 9229	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2230	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 9653	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 9610	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 9611	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 12914	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1375  (class class class)co 5974  1c1 7968   + caddc 7970   · cmul 7972  2c2 9129  3c3 9130  4c4 9131  5c5 9132  6c6 9133  8c8 9135  9c9 9136  ;cdc 9546  ↑cexp 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-seqfrec 10637  df-exp 10728

This theorem is referenced by:  2exp11  12925  2exp16  12926