Theorem 2exp8 13197

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9563	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9565	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9558	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 9358	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 9446	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 8327	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 13193	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 9562	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 9567	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 9774	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2238	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 9570	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 9558	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 8322	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 9404	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 9566	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 9375	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 9369	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 9850	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 8465	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 9820	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 9564	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 8323	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6089	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 9438	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 9867	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 9824	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 9825	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 13187	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1402  (class class class)co 6079  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178  2c2 9338  3c3 9339  4c4 9340  5c5 9341  6c6 9342  8c8 9344  9c9 9345  ;cdc 9760  ↑cexp 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-seqfrec 10868  df-exp 10959

This theorem is referenced by:  2exp11  13198  2exp16  13199