Theorem 2exp8 12580

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9263	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9265	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9258	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 9058	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 9146	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 8031	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 12576	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 9262	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 9267	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 9468	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2196	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 9270	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 9258	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 8026	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 9104	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 9266	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 9075	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 9069	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 9544	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 8169	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 9514	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 9264	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 8027	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 5932	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 9138	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 9561	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 9518	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 9519	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 12570	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1364  (class class class)co 5922  1c1 7878   + caddc 7880   · cmul 7882  2c2 9038  3c3 9039  4c4 9040  5c5 9041  6c6 9042  8c8 9044  9c9 9045  ;cdc 9454  ↑cexp 10615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-9 9053  df-n0 9247  df-z 9324  df-dec 9455  df-uz 9599  df-seqfrec 10525  df-exp 10616

This theorem is referenced by:  2exp11  12581  2exp16  12582