Theorem 2exp8 13141

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9518	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9520	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9513	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 9313	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 9401	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 8286	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 13137	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 9517	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 9522	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 9729	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2234	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 9525	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 9513	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 8281	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 9359	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 9521	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 9330	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 9324	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 9805	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 8423	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 9775	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 9519	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 8282	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6062	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 9393	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 9822	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 9779	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 9780	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 13131	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1398  (class class class)co 6052  1c1 8133   + caddc 8135   · cmul 8137  2c2 9293  3c3 9294  4c4 9295  5c5 9296  6c6 9297  8c8 9299  9c9 9300  ;cdc 9715  ↑cexp 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-seqfrec 10817  df-exp 10908

This theorem is referenced by:  2exp11  13142  2exp16  13143