Theorem 2exp8 12979

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9402	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 9404	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 9397	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 9197	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 9285	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 8169	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 12975	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 9401	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 9406	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 9608	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2229	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 9409	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 9397	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulridi 8164	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 9243	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 9405	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 9214	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 9208	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 9684	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 8307	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 9654	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 9403	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mullidi 8165	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6020	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 9277	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 9701	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 9658	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 9659	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 12969	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1395  (class class class)co 6010  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020  2c2 9177  3c3 9178  4c4 9179  5c5 9180  6c6 9181  8c8 9183  9c9 9184  ;cdc 9594  ↑cexp 10777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-seqfrec 10687  df-exp 10778

This theorem is referenced by:  2exp11  12980  2exp16  12981