Theorem ballotfilemfrceq 13216

Description: Value of F for a reverse counting ( R ` C ). (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
ballotlemg	|- .^ = ( u e. O , v e. Fin |-> ( (♯ ` ( v i^i u ) ) - (♯ ` ( v \ u ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemfrceq	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k, i, c   R, i   v, u, C   u, I, v   u, J, v   u, R, v   u, S, v   u, O, v   i, J

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, v, u, i, k, c)   R( x, k, c)   S( x)   E( x, v, u)   .^ ( x, v, u, i, k, c)   F( x, v, u)   I( x)   J( x, c)   M( x, v, u)   N( x, v, u)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilemfrceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . . . 9 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . . . . . . . 9 |- N e. NN
3		ballotfilem.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
4		ballotfilem.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
5		ballotth.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		ballotth.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7		ballotth.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
8		ballotth.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9		ballotth.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotfilemsel1i 13200	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
11		1zzd 9621	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 e. ZZ )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotfilemiex 13188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
15	14	elfzelzd 10379	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
16		elfzuz3 10375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
17		fzss2 10419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
18	14, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
19		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
20	18, 19	sseldd 3243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotfilemsdom 13199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
22	20, 21	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23	22	elfzelzd 10379	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
24		fzsubel 10415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
25	11, 15, 23, 11, 24	syl22anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
26	10, 25	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
27		1m1e0 9323	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
28	27	oveq1i 6068	. . . . . . 7 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) )
29	26, 28	eleqtrdi 2327	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
30	12	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
31	30	elfzelzd 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
32		1zzd 9621	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
33	31, 32	zsubcld 9723	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
34		nnaddcl 9274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
35	1, 2, 34	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( M + N ) e. NN
36	35	nnzi 9615	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. ZZ
37	36	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ZZ )
38		elfzle2 10382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
39	30, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
40		zlem1lt 9651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
41	31, 37, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
42	33	zred 9718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR )
43	37	zred 9718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. RR )
44		ltle 8377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
45	42, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
46	41, 45	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
47	39, 46	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
48		eluz2 9877	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
49	33, 37, 47, 48	syl3anbrc 1208	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
50		fzss2 10419	. . . . . . . 8 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
52	51	sselda 3242	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
53	29, 52	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
54		ballotth.r	. . . . . 6 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
55		ballotlemg	. . . . . 6 |- .^ = ( u e. O , v e. Fin |-> ( (♯ ` ( v i^i u ) ) - (♯ ` ( v \ u ) ) ) )
56	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 54, 55	ballotfilemfg 13213	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
57	53, 56	syldan 282	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 54, 55	ballotfilemfrc 13214	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
59	57, 58	oveq12d 6076	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
60		eldifi 3345	. . . . 5 |- ( C e. ( O \ E ) -> C e. O )
61	60	adantr 276	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> C e. O )
62	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 54, 55, 61, 10	ballotfilemgun 13212	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
63		fz1ssfz0 10473	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) )
64	63	sseli 3238	. . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
65	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 54, 55	ballotfilemfg 13213	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
66	64, 65	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
67	14, 66	syldan 282	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
68	13	simprd 114	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
69	67, 68	eqtr3d 2269	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = 0 )
70	59, 62, 69	3eqtr2d 2273	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 )
71	23, 11	zsubcld 9723	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ )
72	1, 2, 3, 4, 5, 61, 71	ballotfilemfelz 13174	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. ZZ )
73	72	zcnd 9719	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC )
74	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 54	ballotfilemro 13210	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
75	74	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( R ` C ) e. O )
76	19	elfzelzd 10379	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
77	1, 2, 3, 4, 5, 75, 76	ballotfilemfelz 13174	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. ZZ )
78	77	zcnd 9719	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC )
79		addeq0 8666	. . 3 |- ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC /\ ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
80	73, 78, 79	syl2anc 411	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
81	70, 80	mpbid 147	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   \ cdif 3211   i^i cin 3213   C_ wss 3214   ifcif 3624   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   "cima 4757   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   Fincfn 6988  infcinf 7287   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   -ucneg 8461   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  ballotfilemfrcn0  13217