Theorem ballotfilemfrcn0 13217

Description: Value of F for a reversed counting ( R ` C ), before the first tie, cannot be zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemfrcn0	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k, i, c   R, i   i, J

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   R( x, k, c)   S( x)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilemfrcn0

Dummy variables v u q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9621	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 e. ZZ )
2		ballotth.m	. . . . . . . 8 |- M e. NN
3		ballotth.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
4		nnaddcl 9274	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( M + N ) e. NN
6	5	nnzi 9615	. . . . . 6 |- ( M + N ) e. ZZ
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
8		ballotfilem.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
9		ballotfilem.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
10		ballotth.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
11		ballotth.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
12		ballotth.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
13		ballotth.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
14		ballotth.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
15	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotfilemsdom 13199	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
16	15	elfzelzd 10379	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
17	16	3adant3 1044	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
18	17, 1	zsubcld 9723	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ )
19	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotfilemsgt1 13198	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 < ( ( S ` C ) ` J ) )
20		zltlem1 9652	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ ) -> ( 1 < ( ( S ` C ) ` J ) <-> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
21	20	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ ) /\ 1 < ( ( S ` C ) ` J ) ) -> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
22	1, 17, 19, 21	syl21anc 1273	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
23	17	zred 9718	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. RR )
24		1red 8305	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 e. RR )
25	23, 24	resubcld 8671	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. RR )
26		simp1 1024	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> C e. ( O \ E ) )
27	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	ballotfilemiex 13188	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
28	27	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
29		elfzelz 10378	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
30	26, 28, 29	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
31	30	zred 9718	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
32	7	zred 9718	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. RR )
33		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> J e. ZZ )
34	33	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
35		elfzle1 10381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> 1 <_ J )
36	35	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
37	34	zred 9718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. RR )
38		simp3 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J < ( I ` C ) )
39	37, 31, 38	ltled 8408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
40	1, 30, 34, 36, 39	elfzd 10369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
41	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotfilemsel1i 13200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
42	26, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
43		elfzle2 10382	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) )
45		zlem1lt 9651	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) ) )
46	17, 30, 45	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) ) )
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) )
48	25, 31, 47	ltled 8408	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( I ` C ) )
49		elfzle2 10382	. . . . . . 7 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
50	26, 28, 49	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
51	25, 31, 32, 48, 50	letrd 8413	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
52	1, 7, 18, 22, 51	elfzd 10369	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
53	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	ballotfilemi 13187	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) = inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
54	53	breq2d 4126	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
55	54	3ad2ant1 1045	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
56	47, 55	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
57		fveqeq2 5684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = k -> ( ( ( F ` C ) ` q ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) )
58	57	cbvrabv 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } = { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 }
59	58	infeq1i 7317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- inf ( { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } , RR , < ) = inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < )
60	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 58	ballotfilemscl 13191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( O \ E ) -> inf ( { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } , RR , < ) e. { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } )
61	59, 60	eqeltrrid 2322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) e. { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } )
62		elrabi 2973	. . . . . . . . . . . . 13 |- (inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) e. { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
64	63	elfzelzd 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) e. ZZ )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) e. ZZ )
66	65	zred 9718	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) e. RR )
67	26, 66	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) e. RR )
68	25	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. RR )
69	58	eleq2i 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } )
70	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 58	ballotfilemsle 13192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } ) -> inf ( { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } , RR , < ) <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
71	69, 70	sylan2br 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) -> inf ( { q e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` q ) = 0 } , RR , < ) <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
72	59, 71	eqbrtrrid 4150	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
73	26, 72	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
74	67, 68, 73	lensymd 8411	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
75	74	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
76	56, 75	mt2d 630	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } )
77		fveqeq2 5684	. . . . . 6 |- ( k = ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
78	77	elrab 2976	. . . . 5 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } <-> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
79	76, 78	sylnib 683	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
80	52, 79	mpnanrd 700	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 )
81	80	neqned 2421	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 )
82		ballotth.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
83	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82	ballotfilemro 13210	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
84	83	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( R ` C ) e. O )
85		elfzelz 10378	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
86	85	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
87	2, 3, 8, 9, 10, 84, 86	ballotfilemfelz 13174	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. ZZ )
88	87	zcnd 9719	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC )
89	88	negeq0d 8592	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 <-> -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 ) )
90		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( u e. O , v e. Fin |-> ( (♯ ` ( v i^i u ) ) - (♯ ` ( v \ u ) ) ) ) = ( u e. O , v e. Fin |-> ( (♯ ` ( v i^i u ) ) - (♯ ` ( v \ u ) ) ) )
91	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82, 90	ballotfilemfrceq 13216	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )
92	91	eqeq1d 2243	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 <-> -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 ) )
93	89, 92	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
94	93	necon3bid 2455	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 ) )
95	26, 40, 94	syl2anc 411	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 ) )
96	81, 95	mpbird 167	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   {crab 2526   \ cdif 3211   i^i cin 3213   ifcif 3624   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   "cima 4757   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   Fincfn 6988  infcinf 7287   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   -ucneg 8461   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  ballotfilemirc  13219