Theorem cnfldui 15032

Description: The invertible complex numbers are exactly those apart from zero. This is recapb 9009 but expressed in terms of ℂ_fld. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldui	⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldui

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recapb 9009	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 # 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
2	1	pm5.32i 458	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
3		breq1 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
4	3	elrab 2982	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
5		cncrng 15014	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
6		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
7		cnfld1 15017	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
8		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘ℂfld) = (∥r‘ℂfld)
9	6, 7, 8	crngunit 14526	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥(∥r‘ℂfld)1))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥(∥r‘ℂfld)1)
11		cnfldbas 15005	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
13		eqidd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℂfld) = (∥r‘ℂfld))
14		cnring 15015	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		ringsrg 14458	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ SRing)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ SRing
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ SRing)
18		mpocnfldmul 15008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld))
20	12, 13, 17, 19	dvdsrd 14509	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥(∥r‘ℂfld)1 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1)))
21	20	mptru 1411	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘ℂfld)1 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1))
22		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	22, 23	mulcld 8352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝑥) ∈ ℂ)
25		oveq1 6095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑣))
26		oveq2 6096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑦 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑥))
27		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))
28	25, 26, 27	ovmpog 6226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
29	22, 23, 24, 28	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
30		mulcom 8314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
31	29, 30	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑥 · 𝑦))
32	31	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
33	32	rexbidva 2547	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
34	33	pm5.32i 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
35	10, 21, 34	3bitri 206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
36	2, 4, 35	3bitr4ri 213	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
37	36	eqriv 2235	. 2 ⊢ (Unit‘ℂfld) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}
38	37	eqcomi 2242	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  {crab 2532   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090  ℂcc 8183  0cc0 8185  1c1 8186   · cmul 8190   # cap 8917  Basecbs 13409  ._rcmulr 13490  SRingcsrg 14373  Ringcrg 14406  CRingccrg 14407  ∥_rcdsr 14500  Unitcui 14501  ℂ_fldccnfld 15001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6521  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-rp 10071  df-fz 10428  df-cj 11628  df-abs 11786  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-starv 13504  df-tset 13508  df-ple 13509  df-ds 13511  df-unif 13512  df-0g 13670  df-topgen 13672  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-minusg 13867  df-cmn 14178  df-abl 14179  df-mgp 14324  df-ur 14369  df-srg 14374  df-ring 14408  df-cring 14409  df-oppr 14481  df-dvdsr 14503  df-unit 14504  df-bl 14991  df-mopn 14992  df-fg 14994  df-metu 14995  df-cnfld 15002

This theorem is used by:  expghmap  15050  lgseisenlem4  16414