Theorem cnfldui 14145

Description: The invertible complex numbers are exactly those apart from zero. This is recapb 8698 but expressed in terms of ℂ_fld. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldui	⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldui

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recapb 8698	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 # 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
2	1	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
3		breq1 4036	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
4	3	elrab 2920	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
5		cncrng 14125	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
6		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
7		cnfld1 14128	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
8		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘ℂfld) = (∥r‘ℂfld)
9	6, 7, 8	crngunit 13667	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥(∥r‘ℂfld)1))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥(∥r‘ℂfld)1)
11		cnfldbas 14116	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
13		eqidd 2197	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℂfld) = (∥r‘ℂfld))
14		cnring 14126	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		ringsrg 13603	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ SRing)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ SRing
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ SRing)
18		mpocnfldmul 14119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld))
20	12, 13, 17, 19	dvdsrd 13650	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥(∥r‘ℂfld)1 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1)))
21	20	mptru 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘ℂfld)1 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1))
22		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	22, 23	mulcld 8047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝑥) ∈ ℂ)
25		oveq1 5929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑣))
26		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑦 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑥))
27		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))
28	25, 26, 27	ovmpog 6057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
29	22, 23, 24, 28	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
30		mulcom 8008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
31	29, 30	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑥 · 𝑦))
32	31	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
33	32	rexbidva 2494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
34	33	pm5.32i 454	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
35	10, 21, 34	3bitri 206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
36	2, 4, 35	3bitr4ri 213	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
37	36	eqriv 2193	. 2 ⊢ (Unit‘ℂfld) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}
38	37	eqcomi 2200	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  {crab 2479   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   · cmul 7884   # cap 8608  Basecbs 12678  ._rcmulr 12756  SRingcsrg 13519  Ringcrg 13552  CRingccrg 13553  ∥_rcdsr 13642  Unitcui 13643  ℂ_fldccnfld 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-rp 9729  df-fz 10084  df-cj 11007  df-abs 11164  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-topgen 12931  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-cring 13555  df-oppr 13624  df-dvdsr 13645  df-unit 13646  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113

This theorem is referenced by:  expghmap  14163  lgseisenlem4  15314