Theorem cnfldui 14627

Description: The invertible complex numbers are exactly those apart from zero. This is recapb 8856 but expressed in terms of ℂ_fld. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldui	⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldui

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recapb 8856	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 # 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
2	1	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
3		breq1 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
4	3	elrab 2961	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
5		cncrng 14607	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
6		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
7		cnfld1 14610	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
8		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘ℂfld) = (∥r‘ℂfld)
9	6, 7, 8	crngunit 14149	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥(∥r‘ℂfld)1))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥(∥r‘ℂfld)1)
11		cnfldbas 14598	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
13		eqidd 2231	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℂfld) = (∥r‘ℂfld))
14		cnring 14608	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		ringsrg 14084	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ SRing)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ SRing
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ SRing)
18		mpocnfldmul 14601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld))
20	12, 13, 17, 19	dvdsrd 14132	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥(∥r‘ℂfld)1 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1)))
21	20	mptru 1406	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘ℂfld)1 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1))
22		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	22, 23	mulcld 8205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝑥) ∈ ℂ)
25		oveq1 6030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑣))
26		oveq2 6031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑦 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑥))
27		eqid 2230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))
28	25, 26, 27	ovmpog 6161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
29	22, 23, 24, 28	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
30		mulcom 8166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
31	29, 30	eqtr4d 2266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑥 · 𝑦))
32	31	eqeq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
33	32	rexbidva 2528	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
34	33	pm5.32i 454	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
35	10, 21, 34	3bitri 206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
36	2, 4, 35	3bitr4ri 213	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
37	36	eqriv 2227	. 2 ⊢ (Unit‘ℂfld) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}
38	37	eqcomi 2234	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397  ⊤wtru 1398   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510  {crab 2513   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023   ∈ cmpo 6025  ℂcc 8035  0cc0 8037  1c1 8038   · cmul 8042   # cap 8766  Basecbs 13105  ._rcmulr 13184  SRingcsrg 14000  Ringcrg 14033  CRingccrg 14034  ∥_rcdsr 14123  Unitcui 14124  ℂ_fldccnfld 14594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-addf 8159  ax-mulf 8160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6416  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-rp 9894  df-fz 10249  df-cj 11425  df-abs 11582  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-starv 13198  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-unif 13206  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-cmn 13896  df-abl 13897  df-mgp 13958  df-ur 13997  df-srg 14001  df-ring 14035  df-cring 14036  df-oppr 14105  df-dvdsr 14126  df-unit 14127  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-fg 14587  df-metu 14588  df-cnfld 14595

This theorem is referenced by:  expghmap  14645  lgseisenlem4  15831