Theorem cnfldui 14574

Description: The invertible complex numbers are exactly those apart from zero. This is recapb 8834 but expressed in terms of ℂ_fld. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldui	⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldui

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recapb 8834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 # 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
2	1	pm5.32i 454	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
3		breq1 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
4	3	elrab 2959	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
5		cncrng 14554	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
6		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘ℂfld) = (Unit‘ℂfld)
7		cnfld1 14557	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
8		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘ℂfld) = (∥r‘ℂfld)
9	6, 7, 8	crngunit 14096	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥(∥r‘ℂfld)1))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥(∥r‘ℂfld)1)
11		cnfldbas 14545	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
13		eqidd 2230	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (∥r‘ℂfld) = (∥r‘ℂfld))
14		cnring 14555	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		ringsrg 14031	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ SRing)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ SRing
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ SRing)
18		mpocnfldmul 14548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld))
20	12, 13, 17, 19	dvdsrd 14079	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥(∥r‘ℂfld)1 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1)))
21	20	mptru 1404	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘ℂfld)1 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1))
22		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	22, 23	mulcld 8183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝑥) ∈ ℂ)
25		oveq1 6017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑦 → (𝑢 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑣))
26		oveq2 6018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑦 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑥))
27		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))
28	25, 26, 27	ovmpog 6148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
29	22, 23, 24, 28	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑦 · 𝑥))
30		mulcom 8144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
31	29, 30	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (𝑥 · 𝑦))
32	31	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
33	32	rexbidva 2527	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
34	33	pm5.32i 454	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
35	10, 21, 34	3bitri 206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) = 1))
36	2, 4, 35	3bitr4ri 213	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘ℂfld) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0})
37	36	eqriv 2226	. 2 ⊢ (Unit‘ℂfld) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0}
38	37	eqcomi 2233	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 # 0} = (Unit‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  {crab 2512   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ∈ cmpo 6012  ℂcc 8013  0cc0 8015  1c1 8016   · cmul 8020   # cap 8744  Basecbs 13053  ._rcmulr 13132  SRingcsrg 13947  Ringcrg 13980  CRingccrg 13981  ∥_rcdsr 14070  Unitcui 14071  ℂ_fldccnfld 14541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-addf 8137  ax-mulf 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-tpos 6402  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-rp 9867  df-fz 10222  df-cj 11374  df-abs 11531  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-starv 13146  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-unif 13154  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-cmn 13844  df-abl 13845  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-srg 13948  df-ring 13982  df-cring 13983  df-oppr 14052  df-dvdsr 14073  df-unit 14074  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-fg 14534  df-metu 14535  df-cnfld 14542

This theorem is referenced by:  expghmap  14592  lgseisenlem4  15773