Theorem gsumfzfsum 14608

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzfsum.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzfsum.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsum	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzfsum.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> M e. ZZ )
3		gsumfzfsum.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N e. ZZ )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
6	2, 4, 5	gsumfzfsumlem0 14606	. 2 |- ( ( ph /\ N < M ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )
7	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
8	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
9	7	zred 9602	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. RR )
10	8	zred 9602	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. RR )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> -. N < M )
12	9, 10, 11	nltled 8300	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M <_ N )
13		eluz2 9761	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
14	7, 8, 12, 13	syl3anbrc 1207	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
15		gsumfzfsum.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
16	15	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
17	14, 16	gsumfzfsumlemm 14607	. 2 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )
18		zdclt 9557	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
19	3, 1, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID N < M )
20		exmiddc 843	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N < M \/ -. N < M ) )
22	6, 17, 21	mpjaodan 805	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   < clt 8214   <_ cle 8215   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243   sum_csu 11918   gsum_g cgsu 13345  ℂ_fldccnfld 14576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919  df-struct 13089  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-starv 13180  df-tset 13184  df-ple 13185  df-ds 13187  df-unif 13188  df-0g 13346  df-igsum 13347  df-topgen 13348  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-mulg 13712  df-cmn 13878  df-mgp 13940  df-ring 14017  df-cring 14018  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-fg 14569  df-metu 14570  df-cnfld 14577

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15808