Theorem gsumfzfsum 14144

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzfsum.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzfsum.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsum	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzfsum.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> M e. ZZ )
3		gsumfzfsum.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N e. ZZ )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
6	2, 4, 5	gsumfzfsumlem0 14142	. 2 |- ( ( ph /\ N < M ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )
7	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
8	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
9	7	zred 9448	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. RR )
10	8	zred 9448	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. RR )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> -. N < M )
12	9, 10, 11	nltled 8147	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M <_ N )
13		eluz2 9607	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
14	7, 8, 12, 13	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
15		gsumfzfsum.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
16	15	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
17	14, 16	gsumfzfsumlemm 14143	. 2 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )
18		zdclt 9403	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
19	3, 1, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID N < M )
20		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N < M \/ -. N < M ) )
22	6, 17, 21	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   < clt 8061   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   sum_csu 11518   gsum_g cgsu 12928  ℂ_fldccnfld 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-igsum 12930  df-topgen 12931  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-mulg 13250  df-cmn 13416  df-mgp 13477  df-ring 13554  df-cring 13555  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15314