Theorem gsumfzfsum 14537

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzfsum.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzfsum.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsum	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzfsum.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> M e. ZZ )
3		gsumfzfsum.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N e. ZZ )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
6	2, 4, 5	gsumfzfsumlem0 14535	. 2 |- ( ( ph /\ N < M ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )
7	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
8	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
9	7	zred 9557	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. RR )
10	8	zred 9557	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. RR )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> -. N < M )
12	9, 10, 11	nltled 8255	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M <_ N )
13		eluz2 9716	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
14	7, 8, 12, 13	syl3anbrc 1205	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
15		gsumfzfsum.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
16	15	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
17	14, 16	gsumfzfsumlemm 14536	. 2 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )
18		zdclt 9512	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
19	3, 1, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID N < M )
20		exmiddc 841	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N < M \/ -. N < M ) )
22	6, 17, 21	mpjaodan 803	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   CCcc 7985   < clt 8169   <_ cle 8170   ZZcz 9434   ZZ>=cuz 9710   ...cfz 10192   sum_csu 11850   gsum_g cgsu 13276  ℂ_fldccnfld 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851  df-struct 13020  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-starv 13111  df-tset 13115  df-ple 13116  df-ds 13118  df-unif 13119  df-0g 13277  df-igsum 13278  df-topgen 13279  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-minusg 13523  df-mulg 13643  df-cmn 13809  df-mgp 13870  df-ring 13947  df-cring 13948  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-fg 14498  df-metu 14499  df-cnfld 14506

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15737