Theorem gsumfzfsum 14170

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzfsum.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzfsum.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsum	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzfsum.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> M e. ZZ )
3		gsumfzfsum.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N e. ZZ )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
6	2, 4, 5	gsumfzfsumlem0 14168	. 2 |- ( ( ph /\ N < M ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )
7	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
8	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
9	7	zred 9451	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. RR )
10	8	zred 9451	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. RR )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> -. N < M )
12	9, 10, 11	nltled 8150	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M <_ N )
13		eluz2 9610	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
14	7, 8, 12, 13	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
15		gsumfzfsum.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
16	15	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
17	14, 16	gsumfzfsumlemm 14169	. 2 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )
18		zdclt 9406	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
19	3, 1, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID N < M )
20		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N < M \/ -. N < M ) )
22	6, 17, 21	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7880   < clt 8064   <_ cle 8065   ZZcz 9329   ZZ>=cuz 9604   ...cfz 10086   sum_csu 11521   gsum_g cgsu 12945  ℂ_fldccnfld 14138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002  ax-addf 8004  ax-mulf 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-irdg 6430  df-frec 6451  df-1o 6476  df-oadd 6480  df-er 6594  df-en 6802  df-dom 6803  df-fin 6804  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-7 9057  df-8 9058  df-9 9059  df-n0 9253  df-z 9330  df-dec 9461  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-ihash 10871  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-clim 11447  df-sumdc 11522  df-struct 12691  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-base 12695  df-sets 12696  df-plusg 12779  df-mulr 12780  df-starv 12781  df-tset 12785  df-ple 12786  df-ds 12788  df-unif 12789  df-0g 12946  df-igsum 12947  df-topgen 12948  df-mgm 13025  df-sgrp 13071  df-mnd 13084  df-grp 13161  df-minusg 13162  df-mulg 13276  df-cmn 13442  df-mgp 13503  df-ring 13580  df-cring 13581  df-bl 14128  df-mopn 14129  df-fg 14131  df-metu 14132  df-cnfld 14139

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15340