Theorem mpodvdsmulf1o 15984

Description: If M and N are two coprime integers, multiplication forms a bijection from the set of pairs <. j , k >. where j || M and k || N, to the set of divisors of M x. N. (Contributed by GG, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpodvdsmulf1o.1	|- ( ph -> M e. NN )
mpodvdsmulf1o.2	|- ( ph -> N e. NN )
mpodvdsmulf1o.3	|- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
mpodvdsmulf1o.x	|- X = { x e. NN | x || M }
mpodvdsmulf1o.y	|- Y = { x e. NN | x || N }
mpodvdsmulf1o.z	|- Z = { x e. NN | x || ( M x. N ) }

Assertion

Ref	Expression
mpodvdsmulf1o	|- ( ph -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> Z )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, N, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)   Z( x, y)

Proof of Theorem mpodvdsmulf1o

Dummy variables w u v i j n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomulf 8280	. . . . . . 7 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) : ( CC X. CC ) --> CC
2		ffn 5513	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) : ( CC X. CC ) --> CC -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) Fn ( CC X. CC ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) Fn ( CC X. CC )
4		mpodvdsmulf1o.x	. . . . . . . . 9 |- X = { x e. NN | x || M }
5	4	ssrab3 3328	. . . . . . . 8 |- X C_ NN
6		nnsscn 9259	. . . . . . . 8 |- NN C_ CC
7	5, 6	sstri 3251	. . . . . . 7 |- X C_ CC
8		mpodvdsmulf1o.y	. . . . . . . . 9 |- Y = { x e. NN | x || N }
9	8	ssrab3 3328	. . . . . . . 8 |- Y C_ NN
10	9, 6	sstri 3251	. . . . . . 7 |- Y C_ CC
11		xpss12 4862	. . . . . . 7 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
12	7, 10, 11	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC )
13		fnssres 5476	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) Fn ( CC X. CC ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
14	3, 12, 13	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y )
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
16		ovres 6202	. . . . . . 7 |- ( ( i e. X /\ j e. Y ) -> ( i ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) j ) = ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) )
17	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) j ) = ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) )
18	7	sseli 3238	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. X -> i e. CC )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. X /\ j e. Y ) -> i e. CC )
20	10	sseli 3238	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Y -> j e. CC )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. X /\ j e. Y ) -> j e. CC )
22	19, 21	mulcld 8310	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. X /\ j e. Y ) -> ( i x. j ) e. CC )
23		oveq1 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> ( x x. y ) = ( i x. y ) )
24		oveq2 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = j -> ( i x. y ) = ( i x. j ) )
25		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) )
26	23, 24, 25	ovmpog 6196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC /\ ( i x. j ) e. CC ) -> ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( i x. j ) )
27	26	eqcomd 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. CC /\ j e. CC /\ ( i x. j ) e. CC ) -> ( i x. j ) = ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) )
28	19, 21, 22, 27	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. X /\ j e. Y ) -> ( i x. j ) = ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. j ) = ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) )
30	5	sseli 3238	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. X -> i e. NN )
31	30	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> i e. NN )
32	9	sseli 3238	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Y -> j e. NN )
33	32	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> j e. NN )
34	31, 33	nnmulcld 9303	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
35		breq1 4117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = j -> ( x || N <-> j || N ) )
36	35, 8	elrab2 2979	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. Y <-> ( j e. NN /\ j || N ) )
37	36	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Y -> j || N )
38	37	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> j || N )
39		breq1 4117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = i -> ( x || M <-> i || M ) )
40	39, 4	elrab2 2979	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. X <-> ( i e. NN /\ i || M ) )
41	40	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. X -> i || M )
42	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> i || M )
43	33	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> j e. ZZ )
44		mpodvdsmulf1o.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> N e. NN )
46	45	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> N e. ZZ )
47	31	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> i e. ZZ )
48		dvdscmul 12529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ N e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( j || N -> ( i x. j ) || ( i x. N ) ) )
49	43, 46, 47, 48	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( j || N -> ( i x. j ) || ( i x. N ) ) )
50		mpodvdsmulf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> M e. NN )
52	51	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> M e. ZZ )
53		dvdsmulc 12530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i || M -> ( i x. N ) || ( M x. N ) ) )
54	47, 52, 46, 53	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i || M -> ( i x. N ) || ( M x. N ) ) )
55	34	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. j ) e. ZZ )
56	47, 46	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. N ) e. ZZ )
57	52, 46	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
58		dvdstr 12539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( i x. j ) e. ZZ /\ ( i x. N ) e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( ( i x. j ) || ( i x. N ) /\ ( i x. N ) || ( M x. N ) ) -> ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
59	55, 56, 57, 58	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( ( ( i x. j ) || ( i x. N ) /\ ( i x. N ) || ( M x. N ) ) -> ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
60	49, 54, 59	syl2and 295	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( ( j || N /\ i || M ) -> ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
61	38, 42, 60	mp2and 433	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. j ) || ( M x. N ) )
62		breq1 4117	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( i x. j ) -> ( x || ( M x. N ) <-> ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
63		mpodvdsmulf1o.z	. . . . . . . . 9 |- Z = { x e. NN | x || ( M x. N ) }
64	62, 63	elrab2 2979	. . . . . . . 8 |- ( ( i x. j ) e. Z <-> ( ( i x. j ) e. NN /\ ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
65	34, 61, 64	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. j ) e. Z )
66	29, 65	eqeltrrd 2312	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) e. Z )
67	17, 66	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) j ) e. Z )
68	67	ralrimivva 2626	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. X A. j e. Y ( i ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) j ) e. Z )
69		ffnov 6165	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) --> Z <-> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ A. i e. X A. j e. Y ( i ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) j ) e. Z ) )
70	15, 68, 69	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) --> Z )
71	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> i e. CC )
72	21	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> j e. CC )
73	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> ( i x. j ) e. CC )
74	71, 72, 73, 26	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( i x. j ) )
75	7	sseli 3238	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. X -> m e. CC )
76	75	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> m e. CC )
77	10	sseli 3238	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. Y -> n e. CC )
78	77	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> n e. CC )
79	76, 78	mulcld 8310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> ( m x. n ) e. CC )
80		oveq1 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( x = m -> ( x x. y ) = ( m x. y ) )
81		oveq2 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( y = n -> ( m x. y ) = ( m x. n ) )
82	80, 81, 25	ovmpog 6196	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC /\ ( m x. n ) e. CC ) -> ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) = ( m x. n ) )
83	76, 78, 79, 82	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) = ( m x. n ) )
84	74, 83	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> ( ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) <-> ( i x. j ) = ( m x. n ) ) )
85	31	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i e. NN )
86	85	nnnn0d 9570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i e. NN0 )
87		simprll 539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. X )
88	5, 87	sselid 3240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. NN )
89	88	nnnn0d 9570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. NN0 )
90	85	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i e. ZZ )
91	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j e. NN )
92	91	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j e. ZZ )
93		dvdsmul1 12524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> i || ( i x. j ) )
94	90, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i || ( i x. j ) )
95		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. j ) = ( m x. n ) )
96	7, 87	sselid 3240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. CC )
97		simprlr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n e. Y )
98	10, 97	sselid 3240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n e. CC )
99	96, 98	mulcomd 8311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m x. n ) = ( n x. m ) )
100	95, 99	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. j ) = ( n x. m ) )
101	94, 100	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i || ( n x. m ) )
102	9, 97	sselid 3240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n e. NN )
103	102	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n e. ZZ )
104	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> N e. ZZ )
105	90, 104	gcdcomd 12695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i gcd N ) = ( N gcd i ) )
106	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> M e. ZZ )
107	44	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. ZZ )
108	50	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. ZZ )
109	107, 108	gcdcomd 12695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N gcd M ) = ( M gcd N ) )
110		mpodvdsmulf1o.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
111	109, 110	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N gcd M ) = 1 )
112	111	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( N gcd M ) = 1 )
113	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i || M )
114		rpdvds 12821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ZZ /\ i e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( N gcd M ) = 1 /\ i || M ) ) -> ( N gcd i ) = 1 )
115	104, 90, 106, 112, 113, 114	syl32anc 1282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( N gcd i ) = 1 )
116	105, 115	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i gcd N ) = 1 )
117		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( x || N <-> n || N ) )
118	117, 8	elrab2 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Y <-> ( n e. NN /\ n || N ) )
119	118	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Y -> n || N )
120	97, 119	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n || N )
121		rpdvds 12821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i e. ZZ /\ n e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( ( i gcd N ) = 1 /\ n || N ) ) -> ( i gcd n ) = 1 )
122	90, 103, 104, 116, 120, 121	syl32anc 1282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i gcd n ) = 1 )
123	88	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. ZZ )
124		coprmdvds 12814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ n e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( i || ( n x. m ) /\ ( i gcd n ) = 1 ) -> i || m ) )
125	90, 103, 123, 124	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( ( i || ( n x. m ) /\ ( i gcd n ) = 1 ) -> i || m ) )
126	101, 122, 125	mp2and 433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i || m )
127		dvdsmul1 12524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> m || ( m x. n ) )
128	123, 103, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m || ( m x. n ) )
129	85	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i e. CC )
130	91	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j e. CC )
131	129, 130	mulcomd 8311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. j ) = ( j x. i ) )
132	95, 131	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m x. n ) = ( j x. i ) )
133	128, 132	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m || ( j x. i ) )
134	123, 104	gcdcomd 12695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m gcd N ) = ( N gcd m ) )
135		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = m -> ( x || M <-> m || M ) )
136	135, 4	elrab2 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. X <-> ( m e. NN /\ m || M ) )
137	136	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. X -> m || M )
138	87, 137	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m || M )
139		rpdvds 12821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( N gcd M ) = 1 /\ m || M ) ) -> ( N gcd m ) = 1 )
140	104, 123, 106, 112, 138, 139	syl32anc 1282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( N gcd m ) = 1 )
141	134, 140	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m gcd N ) = 1 )
142	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j || N )
143		rpdvds 12821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ZZ /\ j e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( ( m gcd N ) = 1 /\ j || N ) ) -> ( m gcd j ) = 1 )
144	123, 92, 104, 141, 142, 143	syl32anc 1282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m gcd j ) = 1 )
145		coprmdvds 12814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ZZ /\ j e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( m || ( j x. i ) /\ ( m gcd j ) = 1 ) -> m || i ) )
146	123, 92, 90, 145	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( ( m || ( j x. i ) /\ ( m gcd j ) = 1 ) -> m || i ) )
147	133, 144, 146	mp2and 433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m || i )
148		dvdseq 12559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( i e. NN0 /\ m e. NN0 ) /\ ( i || m /\ m || i ) ) -> i = m )
149	86, 89, 126, 147, 148	syl22anc 1275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i = m )
150	85	nnap0d 9300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i # 0 )
151	149	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. n ) = ( m x. n ) )
152	95, 151	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. j ) = ( i x. n ) )
153	130, 98, 129, 150, 152	mulcanapad 8954	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j = n )
154	149, 153	opeq12d 3896	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> <. i , j >. = <. m , n >. )
155	154	expr 375	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> ( ( i x. j ) = ( m x. n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
156	84, 155	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> ( ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
157	156	ralrimivva 2626	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> A. m e. X A. n e. Y ( ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
158	157	ralrimivva 2626	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. X A. j e. Y A. m e. X A. n e. Y ( ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
159		fvres 5699	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) )
160		fvres 5699	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ( X X. Y ) -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) )
161	159, 160	eqeqan12d 2250	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` v ) <-> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) ) )
162	161	imbi1d 231	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) -> u = v ) ) )
163	162	ralbidva 2540	. . . . . 6 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) -> u = v ) ) )
164	163	ralbiia 2558	. . . . 5 |- ( A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) -> u = v ) )
165		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = <. m , n >. -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. m , n >. ) )
166		df-ov 6061	. . . . . . . . . . 11 |- ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. m , n >. )
167	165, 166	eqtr4di 2285	. . . . . . . . . 10 |- ( v = <. m , n >. -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) )
168	167	eqeq2d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( v = <. m , n >. -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) <-> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) ) )
169		eqeq2 2244	. . . . . . . . 9 |- ( v = <. m , n >. -> ( u = v <-> u = <. m , n >. ) )
170	168, 169	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( v = <. m , n >. -> ( ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> u = <. m , n >. ) ) )
171	170	ralxp 4903	. . . . . . 7 |- ( A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> A. m e. X A. n e. Y ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> u = <. m , n >. ) )
172		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = <. i , j >. -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. i , j >. ) )
173		df-ov 6061	. . . . . . . . . . 11 |- ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. i , j >. )
174	172, 173	eqtr4di 2285	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. i , j >. -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) )
175	174	eqeq1d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. i , j >. -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) <-> ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) ) )
176		eqeq1 2241	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. i , j >. -> ( u = <. m , n >. <-> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
177	175, 176	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( u = <. i , j >. -> ( ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> u = <. m , n >. ) <-> ( ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) ) )
178	177	2ralbidv 2568	. . . . . . 7 |- ( u = <. i , j >. -> ( A. m e. X A. n e. Y ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> u = <. m , n >. ) <-> A. m e. X A. n e. Y ( ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) ) )
179	171, 178	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( u = <. i , j >. -> ( A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> A. m e. X A. n e. Y ( ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) ) )
180	179	ralxp 4903	. . . . 5 |- ( A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` u ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> A. i e. X A. j e. Y A. m e. X A. n e. Y ( ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
181	164, 180	bitri 184	. . . 4 |- ( A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> A. i e. X A. j e. Y A. m e. X A. n e. Y ( ( i ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) j ) = ( m ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
182	158, 181	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) )
183		dff13 5947	. . 3 |- ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-> Z <-> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) --> Z /\ A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) ) )
184	70, 182, 183	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-> Z )
185		breq1 4117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( x || ( M x. N ) <-> w || ( M x. N ) ) )
186	185, 63	elrab2 2979	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. Z <-> ( w e. NN /\ w || ( M x. N ) ) )
187	186	simplbi 274	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Z -> w e. NN )
188	187	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. NN )
189	188	nnzd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. ZZ )
190	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> M e. NN )
191	190	nnzd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> M e. ZZ )
192	190	nnne0d 9299	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> M =/= 0 )
193		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = 0 /\ M = 0 ) -> M = 0 )
194	193	necon3ai 2463	. . . . . . . . 9 |- ( M =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
195	192, 194	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
196		gcdn0cl 12683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ M = 0 ) ) -> ( w gcd M ) e. NN )
197	189, 191, 195, 196	syl21anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd M ) e. NN )
198		gcddvds 12684	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
199	189, 191, 198	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
200	199	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd M ) || M )
201		breq1 4117	. . . . . . . 8 |- ( x = ( w gcd M ) -> ( x || M <-> ( w gcd M ) || M ) )
202	201, 4	elrab2 2979	. . . . . . 7 |- ( ( w gcd M ) e. X <-> ( ( w gcd M ) e. NN /\ ( w gcd M ) || M ) )
203	197, 200, 202	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd M ) e. X )
204	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> N e. NN )
205	204	nnzd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> N e. ZZ )
206	204	nnne0d 9299	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> N =/= 0 )
207		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
208	207	necon3ai 2463	. . . . . . . . 9 |- ( N =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
209	206, 208	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
210		gcdn0cl 12683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( w gcd N ) e. NN )
211	189, 205, 209, 210	syl21anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd N ) e. NN )
212		gcddvds 12684	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
213	189, 205, 212	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
214	213	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd N ) || N )
215		breq1 4117	. . . . . . . 8 |- ( x = ( w gcd N ) -> ( x || N <-> ( w gcd N ) || N ) )
216	215, 8	elrab2 2979	. . . . . . 7 |- ( ( w gcd N ) e. Y <-> ( ( w gcd N ) e. NN /\ ( w gcd N ) || N ) )
217	211, 214, 216	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd N ) e. Y )
218	203, 217	opelxpd 4787	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. e. ( X X. Y ) )
219	218	fvresd 5700	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
220		df-ov 6061	. . . . . . . 8 |- ( ( w gcd M ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ( w gcd N ) ) = ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. )
221	197	nncnd 9268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd M ) e. CC )
222	211	nncnd 9268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd N ) e. CC )
223	197, 211	nnmulcld 9303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) e. NN )
224		oveq1 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( w gcd M ) -> ( x x. y ) = ( ( w gcd M ) x. y ) )
225		oveq2 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( w gcd N ) -> ( ( w gcd M ) x. y ) = ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) )
226	224, 225, 25	ovmpog 6196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w gcd M ) e. CC /\ ( w gcd N ) e. CC /\ ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) e. NN ) -> ( ( w gcd M ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ( w gcd N ) ) = ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) )
227	221, 222, 223, 226	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( w gcd M ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ( w gcd N ) ) = ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) )
228	220, 227	eqtr3id 2281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) = ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) )
229		df-ov 6061	. . . . . . . 8 |- ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) = ( x. ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. )
230	229	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) = ( x. ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
231	219, 228, 230	3eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) = ( x. ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
232	110	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( M gcd N ) = 1 )
233		rpmulgcd2 12817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M gcd N ) = 1 ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) )
234	189, 191, 205, 232, 233	syl31anc 1277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) )
235	234, 229	eqtrdi 2283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = ( x. ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
236	186	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( w e. Z -> w || ( M x. N ) )
237	236	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w || ( M x. N ) )
238	50, 44	nnmulcld 9303	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M x. N ) e. NN )
239		gcdeq 12744	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ ( M x. N ) e. NN ) -> ( ( w gcd ( M x. N ) ) = w <-> w || ( M x. N ) ) )
240	187, 238, 239	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( w gcd ( M x. N ) ) = w <-> w || ( M x. N ) ) )
241	237, 240	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = w )
242	231, 235, 241	3eqtr2rd 2274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
243		fveq2 5675	. . . . . 6 |- ( u = <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. -> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
244	243	rspceeqv 2942	. . . . 5 |- ( ( <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. e. ( X X. Y ) /\ w = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) ) -> E. u e. ( X X. Y ) w = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) )
245	218, 242, 244	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> E. u e. ( X X. Y ) w = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) )
246	245	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ph -> A. w e. Z E. u e. ( X X. Y ) w = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) )
247		dffo3 5829	. . 3 |- ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -onto-> Z <-> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) --> Z /\ A. w e. Z E. u e. ( X X. Y ) w = ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) ` u ) ) )
248	70, 246, 247	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -onto-> Z )
249		df-f1o 5364	. 2 |- ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> Z <-> ( ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-> Z /\ ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -onto-> Z ) )
250	184, 248, 249	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   C_ wss 3214   <.cop 3697   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   |` cres 4756   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -1-1->wf1 5354   -onto->wfo 5355   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   || cdvds 12498   gcd cgcd 12674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-gcd 12675

This theorem is referenced by:  fsumdvdsmul  15985