Theorem fiidxsupcl 12011

Description: A set of integers indexed by a finite set has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiidxsupcl.f	|- ( ph -> F : A --> ZZ )
fiidxsupcl.fi	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fiidxsupcl	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A ( F ` y ) <_ x )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   ph, x, y

Proof of Theorem fiidxsupcl

Dummy variables u v w r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2749	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. y e. w ( F ` y ) <_ x <-> A. y e. (/) ( F ` y ) <_ x ) )
2	1	rexbidv 2551	. 2 |- ( w = (/) -> ( E. x e. ZZ A. y e. w ( F ` y ) <_ x <-> E. x e. ZZ A. y e. (/) ( F ` y ) <_ x ) )
3		raleq 2749	. . 3 |- ( w = u -> ( A. y e. w ( F ` y ) <_ x <-> A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) )
4	3	rexbidv 2551	. 2 |- ( w = u -> ( E. x e. ZZ A. y e. w ( F ` y ) <_ x <-> E. x e. ZZ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) )
5		raleq 2749	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A. y e. w ( F ` y ) <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ x ) )
6	5	rexbidv 2551	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( E. x e. ZZ A. y e. w ( F ` y ) <_ x <-> E. x e. ZZ A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ x ) )
7		raleq 2749	. . 3 |- ( w = A -> ( A. y e. w ( F ` y ) <_ x <-> A. y e. A ( F ` y ) <_ x ) )
8	7	rexbidv 2551	. 2 |- ( w = A -> ( E. x e. ZZ A. y e. w ( F ` y ) <_ x <-> E. x e. ZZ A. y e. A ( F ` y ) <_ x ) )
9		1z 9675	. . . 4 |- 1 e. ZZ
10		ral0 3629	. . . 4 |- A. y e. (/) ( F ` y ) <_ 1
11		brralrspcev 4189	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ A. y e. (/) ( F ` y ) <_ 1 ) -> E. x e. ZZ A. y e. (/) ( F ` y ) <_ x )
12	9, 10, 11	mp2an 430	. . 3 |- E. x e. ZZ A. y e. (/) ( F ` y ) <_ x
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. (/) ( F ` y ) <_ x )
14		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> x e. ZZ )
15		fiidxsupcl.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A --> ZZ )
16	15	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> F : A --> ZZ )
17		simplrr 542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> v e. ( A \ u ) )
18	17	eldifad 3231	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> v e. A )
19	16, 18	ffvelcdmd 5844	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
20		zmaxcl 12006	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ ( F ` v ) e. ZZ ) -> sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) e. ZZ )
21	14, 19, 20	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) e. ZZ )
22	15	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> F : A --> ZZ )
23		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u C_ A )
24	23	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> u C_ A )
25		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> y e. u )
26	24, 25	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> y e. A )
27	22, 26	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> ( F ` y ) e. ZZ )
28	27	zred 9773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> ( F ` y ) e. RR )
29		simpllr 540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> x e. ZZ )
30	29	zred 9773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> x e. RR )
31	15	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> F : A --> ZZ )
32		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. ( A \ u ) )
33	32	eldifad 3231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. A )
34	31, 33	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( F ` v ) e. ZZ )
35	34	zred 9773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( F ` v ) e. RR )
36	35	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> ( F ` v ) e. RR )
37		maxcl 11992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ ( F ` v ) e. RR ) -> sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) e. RR )
38	30, 36, 37	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) e. RR )
39		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> ( F ` y ) <_ x )
40		maxle1 11993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ ( F ` v ) e. RR ) -> x <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) )
41	30, 36, 40	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> x <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) )
42	28, 30, 38, 39, 41	letrd 8452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) /\ ( F ` y ) <_ x ) -> ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) )
43	42	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. u ) -> ( ( F ` y ) <_ x -> ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) ) )
44	43	ralimdva 2617	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( A. y e. u ( F ` y ) <_ x -> A. y e. u ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) ) )
45	44	impr 379	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> A. y e. u ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) )
46	14	zred 9773	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> x e. RR )
47	19	zred 9773	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> ( F ` v ) e. RR )
48		maxle2 11994	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( F ` v ) e. RR ) -> ( F ` v ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) )
49	46, 47, 48	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> ( F ` v ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) )
50		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
51	50	breq1d 4140	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) <-> ( F ` v ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) ) )
52	51	ralunsn 3923	. . . . . . 7 |- ( v e. _V -> ( A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) <-> ( A. y e. u ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) /\ ( F ` v ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) ) ) )
53	52	elv 2825	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) <-> ( A. y e. u ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) /\ ( F ` v ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) ) )
54	45, 49, 53	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) )
55		brralrspcev 4189	. . . . 5 |- ( ( sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) e. ZZ /\ A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ sup ( { x , ( F ` v ) } , RR , < ) ) -> E. r e. ZZ A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ r )
56	21, 54, 55	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( x e. ZZ /\ A. y e. u ( F ` y ) <_ x ) ) -> E. r e. ZZ A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ r )
57	56	rexlimdvaa 2669	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. x e. ZZ A. y e. u ( F ` y ) <_ x -> E. r e. ZZ A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ r ) )
58		breq2 4134	. . . . 5 |- ( x = r -> ( ( F ` y ) <_ x <-> ( F ` y ) <_ r ) )
59	58	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( x = r -> ( A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ r ) )
60	59	cbvrexv 2787	. . 3 |- ( E. x e. ZZ A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ x <-> E. r e. ZZ A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ r )
61	57, 60	imbitrrdi 162	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. x e. ZZ A. y e. u ( F ` y ) <_ x -> E. x e. ZZ A. y e. ( u u. { v } ) ( F ` y ) <_ x ) )
62		fiidxsupcl.fi	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
63	2, 4, 6, 8, 13, 61, 62	findcard2sd 7196	1 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A ( F ` y ) <_ x )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   {cpr 3710   class class class wbr 4130   -->wf 5373   ` cfv 5377   Fincfn 7022   supcsup 7323   RRcr 8179   1c1 8181   < clt 8361   <_ cle 8362   ZZcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780

This theorem is used by:  psrbaglefifi  15114