Theorem hashcl 11198

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7037	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simprl 535	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
4		simprr 537	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
5	4	ensymd 7060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ≈ 𝐴)
6		hashennn 11197	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝐴) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
7	3, 5, 6	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
8		0zd 9635	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 0 ∈ ℤ)
9		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
10		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ ω)
11	8, 9, 10	frec2uzuzd 10817	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘0))
12		nn0uz 9936	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13	11, 12	eleqtrrdi 2332	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ ℕ0)
15	7, 14	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	2, 15	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ωcom 4732  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  freccfrec 6651   ≈ cen 7010  Fincfn 7012  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-recs 6566  df-frec 6652  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-ihash 11193

This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  11199  filtinf  11208  isfinite4im  11209  fihashneq0  11211  hashnncl  11212  fihashssdif  11237  hashdifpr  11239  hashxp  11245  hashmap  11246  sshashneg  11259  hashfibclem  11260  hashf1lem2  11264  hashf1  11265  hashfac  11266  zfz1isolemsplit  11268  zfz1isolemiso  11269  zfz1isolem1  11270  ccatfvalfi  11338  ccatval2  11344  fz1f1o  12119  fsumconst  12199  hashiun  12223  hash2iun1dif1  12225  fprodconst  12365  phival  12969  phicl2  12970  phiprmpw  12978  sumhashdc  13104  4sqlem11  13158  ballotfilemofi  13197  ballotfilem2  13206  ballotfilemfval  13207  ballotfilemfelz  13208  ballotfilemfp1  13209  ballotfilemgval  13245  ballotfilemgun  13246  ballotfilemth  13259  hashfinmndnn  13722  gsumvalfi  14129  gsump1  14134  gsumf1ofi  14137  gsummhmfi  14141  gsumconstcmn  14143  gsumressfi  14144  0sgm  16013  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquadlem3  16112  vtxdgfifival  16446  vtxdgfif  16448  vtxdfifiun  16452  vtxdumgrfival  16453  vtxd0nedgbfi  16454  konigsberglem5  16647