Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashcl GIF version

Theorem hashcl 10539
 Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6655 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 119 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
3 simprl 520 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
4 simprr 521 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
54ensymd 6677 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝑛𝐴)
6 hashennn 10538 . . . 4 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛𝐴) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
73, 5, 6syl2anc 408 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
8 0zd 9078 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ω → 0 ∈ ℤ)
9 eqid 2139 . . . . . 6 frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
10 id 19 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ ω)
118, 9, 10frec2uzuzd 10187 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ (ℤ‘0))
12 nn0uz 9372 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
1311, 12eleqtrrdi 2233 . . . 4 (𝑛 ∈ ω → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ ℕ0)
143, 13syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ ℕ0)
157, 14eqeltrd 2216 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
162, 15rexlimddv 2554 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ωcom 4504  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   ≈ cen 6632  Fincfn 6634  0cc0 7632  1c1 7633   + caddc 7635  ℕ0cn0 8989  ℤcz 9066  ℤ≥cuz 9338  ♯chash 10533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-ihash 10534 This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  10540  filtinf  10550  isfinite4im  10551  fihashneq0  10553  hashnncl  10554  fihashssdif  10576  hashdifpr  10578  hashxp  10584  zfz1isolemsplit  10593  zfz1isolemiso  10594  zfz1isolem1  10595  fz1f1o  11156  fsumconst  11235  hashiun  11259  hash2iun1dif1  11261  phival  11900  phicl2  11901  phiprmpw  11909
 Copyright terms: Public domain W3C validator