Theorem hashcl 11220

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7047	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simprl 535	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
4		simprr 537	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
5	4	ensymd 7070	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ≈ 𝐴)
6		hashennn 11219	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝐴) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
7	3, 5, 6	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
8		0zd 9656	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 0 ∈ ℤ)
9		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
10		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ ω)
11	8, 9, 10	frec2uzuzd 10839	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘0))
12		nn0uz 9957	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13	11, 12	eleqtrrdi 2332	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ ℕ0)
15	7, 14	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	2, 15	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ωcom 4737  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  freccfrec 6661   ≈ cen 7020  Fincfn 7022  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ♯chash 11214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-ihash 11215

This theorem is used by:  hashfiv01gt1  11221  filtinf  11230  isfinite4im  11231  fihashneq0  11233  hashnncl  11234  fihashssdif  11259  hashdifpr  11261  hashxp  11267  hashmap  11268  sshashneg  11281  hashfibclem  11282  hashf1lem2  11286  hashf1  11287  hashfac  11288  zfz1isolemsplit  11290  zfz1isolemiso  11291  zfz1isolem1  11292  ccatfvalfi  11360  ccatval2  11366  fz1f1o  12141  fsumconst  12221  hashiun  12245  hash2iun1dif1  12247  fprodconst  12387  phival  12991  phicl2  12992  phiprmpw  13000  sumhashdc  13126  4sqlem11  13180  ballotfilemofi  13219  ballotfilem2  13228  ballotfilemfval  13229  ballotfilemfelz  13230  ballotfilemfp1  13231  ballotfilemgval  13267  ballotfilemgun  13268  ballotfilemth  13281  hashfinmndnn  13745  gsumvalfi  14152  gsump1  14157  gsumf1ofi  14160  gsummhmfi  14164  gsumconstcmn  14166  gsumressfi  14167  birthdaylog2  16090  0sgm  16099  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  vtxdgfifival  16532  vtxdgfif  16534  vtxdfifiun  16538  vtxdumgrfival  16539  vtxd0nedgbfi  16540  konigsberglem5  16733