Theorem hashcl 10715

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6739	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 119	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3		simprl 526	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
4		simprr 527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
5	4	ensymd 6761	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ≈ 𝐴)
6		hashennn 10714	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝐴) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
7	3, 5, 6	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
8		0zd 9224	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 0 ∈ ℤ)
9		eqid 2170	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
10		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ ω)
11	8, 9, 10	frec2uzuzd 10358	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘0))
12		nn0uz 9521	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13	11, 12	eleqtrrdi 2264	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ∈ ℕ0)
15	7, 14	eqeltrd 2247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	2, 15	rexlimddv 2592	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  ωcom 4574  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  freccfrec 6369   ≈ cen 6716  Fincfn 6718  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ♯chash 10709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-ihash 10710

This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  10716  filtinf  10726  isfinite4im  10727  fihashneq0  10729  hashnncl  10730  fihashssdif  10753  hashdifpr  10755  hashxp  10761  zfz1isolemsplit  10773  zfz1isolemiso  10774  zfz1isolem1  10775  fz1f1o  11338  fsumconst  11417  hashiun  11441  hash2iun1dif1  11443  fprodconst  11583  phival  12167  phicl2  12168  phiprmpw  12176  sumhashdc  12299  hashfinmndnn  12668