Theorem hovera 15400

Description: A point at which the hover function is less than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovera	|- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )

Distinct variable group:   x, Z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hovera

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
2		preq1 3749	. . . . . 6 |- ( x = ( Z - 1 ) -> { x , 0 } = { ( Z - 1 ) , 0 } )
3	2	infeq1d 7216	. . . . 5 |- ( x = ( Z - 1 ) -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) )
4		oveq1 6030	. . . . 5 |- ( x = ( Z - 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( Z - 1 ) - 1 ) )
5	3, 4	preq12d 3757	. . . 4 |- ( x = ( Z - 1 ) -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } )
6	5	supeq1d 7191	. . 3 |- ( x = ( Z - 1 ) -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) )
7		peano2rem 8451	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( Z - 1 ) e. RR )
8		0red 8185	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 0 e. RR )
9		mincl 11814	. . . . 5 |- ( ( ( Z - 1 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
11		peano2rem 8451	. . . . 5 |- ( ( Z - 1 ) e. RR -> ( ( Z - 1 ) - 1 ) e. RR )
12	7, 11	syl 14	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z - 1 ) - 1 ) e. RR )
13		maxcl 11793	. . . 4 |- ( (inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z - 1 ) - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( Z e. RR -> sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5743	. 2 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) = sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) )
16		id 19	. . . 4 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
17		0re 8184	. . . . 5 |- 0 e. RR
18		min1inf 11815	. . . . 5 |- ( ( ( Z - 1 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) <_ ( Z - 1 ) )
19	7, 17, 18	sylancl 413	. . . 4 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) <_ ( Z - 1 ) )
20		ltm1 9031	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z - 1 ) < Z )
21	10, 7, 16, 19, 20	lelttrd 8309	. . 3 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) < Z )
22	7	ltm1d 9117	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z - 1 ) - 1 ) < ( Z - 1 ) )
23	12, 7, 16, 22, 20	lttrd 8310	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z - 1 ) - 1 ) < Z )
24		maxltsup 11801	. . . 4 |- ( (inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z - 1 ) - 1 ) e. RR /\ Z e. RR ) -> ( sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) < Z <-> (inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) < Z /\ ( ( Z - 1 ) - 1 ) < Z ) ) )
25	10, 12, 16, 24	syl3anc 1273	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) < Z <-> (inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) < Z /\ ( ( Z - 1 ) - 1 ) < Z ) ) )
26	21, 23, 25	mpbir2and 952	. 2 |- ( Z e. RR -> sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) < Z )
27	15, 26	eqbrtrd 4111	1 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201   {cpr 3671   class class class wbr 4089   |-> cmpt 4151   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   supcsup 7186  infcinf 7187   RRcr 8036   0cc0 8037   1c1 8038   < clt 8219   <_ cle 8220   - cmin 8355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-sup 7188  df-inf 7189  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-rp 9894  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15404