Theorem hovera 15342

Description: A point at which the hover function is less than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovera	|- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )

Distinct variable group:   x, Z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hovera

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
2		preq1 3743	. . . . . 6 |- ( x = ( Z - 1 ) -> { x , 0 } = { ( Z - 1 ) , 0 } )
3	2	infeq1d 7195	. . . . 5 |- ( x = ( Z - 1 ) -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) )
4		oveq1 6017	. . . . 5 |- ( x = ( Z - 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( Z - 1 ) - 1 ) )
5	3, 4	preq12d 3751	. . . 4 |- ( x = ( Z - 1 ) -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } )
6	5	supeq1d 7170	. . 3 |- ( x = ( Z - 1 ) -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) )
7		peano2rem 8429	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( Z - 1 ) e. RR )
8		0red 8163	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 0 e. RR )
9		mincl 11763	. . . . 5 |- ( ( ( Z - 1 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
11		peano2rem 8429	. . . . 5 |- ( ( Z - 1 ) e. RR -> ( ( Z - 1 ) - 1 ) e. RR )
12	7, 11	syl 14	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z - 1 ) - 1 ) e. RR )
13		maxcl 11742	. . . 4 |- ( (inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z - 1 ) - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( Z e. RR -> sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5733	. 2 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) = sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) )
16		id 19	. . . 4 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
17		0re 8162	. . . . 5 |- 0 e. RR
18		min1inf 11764	. . . . 5 |- ( ( ( Z - 1 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) <_ ( Z - 1 ) )
19	7, 17, 18	sylancl 413	. . . 4 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) <_ ( Z - 1 ) )
20		ltm1 9009	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z - 1 ) < Z )
21	10, 7, 16, 19, 20	lelttrd 8287	. . 3 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) < Z )
22	7	ltm1d 9095	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z - 1 ) - 1 ) < ( Z - 1 ) )
23	12, 7, 16, 22, 20	lttrd 8288	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z - 1 ) - 1 ) < Z )
24		maxltsup 11750	. . . 4 |- ( (inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z - 1 ) - 1 ) e. RR /\ Z e. RR ) -> ( sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) < Z <-> (inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) < Z /\ ( ( Z - 1 ) - 1 ) < Z ) ) )
25	10, 12, 16, 24	syl3anc 1271	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) < Z <-> (inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) < Z /\ ( ( Z - 1 ) - 1 ) < Z ) ) )
26	21, 23, 25	mpbir2and 950	. 2 |- ( Z e. RR -> sup ( {inf ( { ( Z - 1 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z - 1 ) - 1 ) } , RR , < ) < Z )
27	15, 26	eqbrtrd 4105	1 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cpr 3667   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   supcsup 7165  infcinf 7166   RRcr 8014   0cc0 8015   1c1 8016   < clt 8197   <_ cle 8198   - cmin 8333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-rp 9867  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15346