Theorem hovera 14969

Description: A point at which the hover function is less than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovera	⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) < 𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hovera

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		preq1 3700	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → {𝑥, 0} = {(𝑍 − 1), 0})
3	2	infeq1d 7087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ))
4		oveq1 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑍 − 1) − 1))
5	3, 4	preq12d 3708	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)})
6	5	supeq1d 7062	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ))
7		peano2rem 8312	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 − 1) ∈ ℝ)
8		0red 8046	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
9		mincl 11415	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11		peano2rem 8312	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 − 1) ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ)
13		maxcl 11394	. . . 4 ⊢ ((inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5658	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) = sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ))
16		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ)
17		0re 8045	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		min1inf 11416	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ≤ (𝑍 − 1))
19	7, 17, 18	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ≤ (𝑍 − 1))
20		ltm1 8892	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 − 1) < 𝑍)
21	10, 7, 16, 19, 20	lelttrd 8170	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍)
22	7	ltm1d 8978	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) < (𝑍 − 1))
23	12, 7, 16, 22, 20	lttrd 8171	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)
24		maxltsup 11402	. . . 4 ⊢ ((inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍 ↔ (inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍 ∧ ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)))
25	10, 12, 16, 24	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍 ↔ (inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍 ∧ ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)))
26	21, 23, 25	mpbir2and 946	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍)
27	15, 26	eqbrtrd 4056	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) < 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cpr 3624   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  supcsup 7057  infcinf 7058  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   < clt 8080   ≤ cle 8081   − cmin 8216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-rp 9748  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  14973