Theorem hovera 15873

Description: A point at which the hover function is less than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovera	⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) < 𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hovera

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		preq1 3788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → {𝑥, 0} = {(𝑍 − 1), 0})
3	2	infeq1d 7358	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ))
4		oveq1 6095	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑍 − 1) − 1))
5	3, 4	preq12d 3796	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)})
6	5	supeq1d 7333	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ))
7		peano2rem 8600	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 − 1) ∈ ℝ)
8		0red 8333	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
9		mincl 12021	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11		peano2rem 8600	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 − 1) ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ)
13		maxcl 11999	. . . 4 ⊢ ((inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5802	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) = sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ))
16		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ)
17		0re 8332	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		min1inf 12022	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ≤ (𝑍 − 1))
19	7, 17, 18	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ≤ (𝑍 − 1))
20		ltm1 9184	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 − 1) < 𝑍)
21	10, 7, 16, 19, 20	lelttrd 8458	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍)
22	7	ltm1d 9270	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) < (𝑍 − 1))
23	12, 7, 16, 22, 20	lttrd 8459	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)
24		maxltsup 12007	. . . 4 ⊢ ((inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍 ↔ (inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍 ∧ ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)))
25	10, 12, 16, 24	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍 ↔ (inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍 ∧ ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)))
26	21, 23, 25	mpbir2and 957	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍)
27	15, 26	eqbrtrd 4153	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) < 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3710   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  supcsup 7328  infcinf 7329  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   < clt 8366   ≤ cle 8367   − cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by:  ivthdichlem  15877