Theorem hovera 15370

Description: A point at which the hover function is less than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovera	⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) < 𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hovera

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		preq1 3748	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → {𝑥, 0} = {(𝑍 − 1), 0})
3	2	infeq1d 7210	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ))
4		oveq1 6024	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑍 − 1) − 1))
5	3, 4	preq12d 3756	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)})
6	5	supeq1d 7185	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ))
7		peano2rem 8445	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 − 1) ∈ ℝ)
8		0red 8179	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
9		mincl 11791	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11		peano2rem 8445	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 − 1) ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ)
13		maxcl 11770	. . . 4 ⊢ ((inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5740	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) = sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ))
16		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ)
17		0re 8178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		min1inf 11792	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ≤ (𝑍 − 1))
19	7, 17, 18	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ≤ (𝑍 − 1))
20		ltm1 9025	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 − 1) < 𝑍)
21	10, 7, 16, 19, 20	lelttrd 8303	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍)
22	7	ltm1d 9111	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) < (𝑍 − 1))
23	12, 7, 16, 22, 20	lttrd 8304	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)
24		maxltsup 11778	. . . 4 ⊢ ((inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍 ↔ (inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍 ∧ ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)))
25	10, 12, 16, 24	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍 ↔ (inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍 ∧ ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)))
26	21, 23, 25	mpbir2and 952	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍)
27	15, 26	eqbrtrd 4110	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) < 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cpr 3670   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  supcsup 7180  infcinf 7181  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   < clt 8213   ≤ cle 8214   − cmin 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15374