Theorem hovera 15671

Description: A point at which the hover function is less than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovera	⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) < 𝑍)

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hovera

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		preq1 3784	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → {𝑥, 0} = {(𝑍 − 1), 0})
3	2	infeq1d 7342	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ))
4		oveq1 6082	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑍 − 1) − 1))
5	3, 4	preq12d 3792	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)})
6	5	supeq1d 7317	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑍 − 1) → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ))
7		peano2rem 8583	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 − 1) ∈ ℝ)
8		0red 8317	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
9		mincl 11975	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11		peano2rem 8583	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 − 1) ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ)
13		maxcl 11954	. . . 4 ⊢ ((inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5793	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) = sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ))
16		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ)
17		0re 8316	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		min1inf 11976	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ≤ (𝑍 − 1))
19	7, 17, 18	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ≤ (𝑍 − 1))
20		ltm1 9166	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 − 1) < 𝑍)
21	10, 7, 16, 19, 20	lelttrd 8441	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍)
22	7	ltm1d 9252	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) < (𝑍 − 1))
23	12, 7, 16, 22, 20	lttrd 8442	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)
24		maxltsup 11962	. . . 4 ⊢ ((inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 − 1) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍 ↔ (inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍 ∧ ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)))
25	10, 12, 16, 24	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍 ↔ (inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ) < 𝑍 ∧ ((𝑍 − 1) − 1) < 𝑍)))
26	21, 23, 25	mpbir2and 957	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → sup({inf({(𝑍 − 1), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 − 1) − 1)}, ℝ, < ) < 𝑍)
27	15, 26	eqbrtrd 4147	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 − 1)) < 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3706   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  supcsup 7312  infcinf 7313  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15675