Theorem hovercncf 15363

Description: The hover function is continuous. By hover function, we mean a a function which starts out as a line of slope one, is constant at zero from zero to one, and then resumes as a slope of one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovercncf	|- F e. ( RR -cn-> RR )

Proof of Theorem hovercncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. 2 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
2		ssid 3245	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
3		ax-resscn 8117	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
4		cncfmptid 15314	. . . . . . 7 |- ( ( RR C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR )
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
7		0red 8173	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 e. RR )
8	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> RR C_ CC )
9		cncfmptc 15313	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
10	7, 8, 8, 9	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
11	6, 10	mincncf 15333	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> inf ( { x , 0 } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
12		peano2rem 8439	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( x - 1 ) e. RR )
14	13	fmpttd 5798	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
15		resmpt 5059	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) )
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) )
17		ax-1cn 8118	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
18		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( x - 1 ) )
19	18	sub1cncf 15319	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. CC -> ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
21		rescncf 15298	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC ) ) )
22	3, 20, 21	mp2 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC )
23	16, 22	eqeltrri 2303	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC )
24		cncfcdm 15299	. . . . . 6 |- ( ( RR C_ CC /\ ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC ) ) -> ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR ) )
25	3, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
26	14, 25	sylibr 134	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
27	11, 26	maxcncf 15332	. . 3 |- ( T. -> ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
28	27	mptru 1404	. 2 |- ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR )
29	1, 28	eqeltri 2302	1 |- F e. ( RR -cn-> RR )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   C_ wss 3198   {cpr 3668   |-> cmpt 4148   |` cres 4725   -->wf 5320  (class class class)co 6013   supcsup 7175  infcinf 7176   CCcc 8023   RRcr 8024   0cc0 8025   1c1 8026   < clt 8207   - cmin 8343   -cn->ccncf 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145  ax-addf 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-xadd 10001  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-rest 13317  df-topgen 13336  df-psmet 14550  df-xmet 14551  df-met 14552  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-top 14715  df-topon 14728  df-bases 14760  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-tx 14970  df-cncf 15288

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15368