Theorem hovercncf 15373

Description: The hover function is continuous. By hover function, we mean a a function which starts out as a line of slope one, is constant at zero from zero to one, and then resumes as a slope of one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovercncf	|- F e. ( RR -cn-> RR )

Proof of Theorem hovercncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. 2 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
2		ssid 3247	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
3		ax-resscn 8124	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
4		cncfmptid 15324	. . . . . . 7 |- ( ( RR C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR )
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
7		0red 8180	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 e. RR )
8	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> RR C_ CC )
9		cncfmptc 15323	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
10	7, 8, 8, 9	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
11	6, 10	mincncf 15343	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> inf ( { x , 0 } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
12		peano2rem 8446	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( x - 1 ) e. RR )
14	13	fmpttd 5802	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
15		resmpt 5061	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) )
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) )
17		ax-1cn 8125	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
18		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( x - 1 ) )
19	18	sub1cncf 15329	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. CC -> ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
21		rescncf 15308	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC ) ) )
22	3, 20, 21	mp2 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC )
23	16, 22	eqeltrri 2305	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC )
24		cncfcdm 15309	. . . . . 6 |- ( ( RR C_ CC /\ ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC ) ) -> ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR ) )
25	3, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
26	14, 25	sylibr 134	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
27	11, 26	maxcncf 15342	. . 3 |- ( T. -> ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
28	27	mptru 1406	. 2 |- ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR )
29	1, 28	eqeltri 2304	1 |- F e. ( RR -cn-> RR )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   C_ wss 3200   {cpr 3670   |-> cmpt 4150   |` cres 4727   -->wf 5322  (class class class)co 6018   supcsup 7181  infcinf 7182   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   < clt 8214   - cmin 8350   -cn->ccncf 15297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-addf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-rest 13326  df-topgen 13345  df-psmet 14560  df-xmet 14561  df-met 14562  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-top 14725  df-topon 14738  df-bases 14770  df-cn 14915  df-cnp 14916  df-tx 14980  df-cncf 15298

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15378