Theorem hovercncf 15498

Description: The hover function is continuous. By hover function, we mean a a function which starts out as a line of slope one, is constant at zero from zero to one, and then resumes as a slope of one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovercncf	|- F e. ( RR -cn-> RR )

Proof of Theorem hovercncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. 2 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
2		ssid 3257	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
3		ax-resscn 8215	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
4		cncfmptid 15449	. . . . . . 7 |- ( ( RR C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR )
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
7		0red 8271	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 e. RR )
8	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> RR C_ CC )
9		cncfmptc 15448	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
10	7, 8, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
11	6, 10	mincncf 15468	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> inf ( { x , 0 } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
12		peano2rem 8536	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( x - 1 ) e. RR )
14	13	fmpttd 5831	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
15		resmpt 5085	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) )
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) )
17		ax-1cn 8216	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
18		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( x - 1 ) )
19	18	sub1cncf 15454	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. CC -> ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
21		rescncf 15433	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC ) ) )
22	3, 20, 21	mp2 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC )
23	16, 22	eqeltrri 2306	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC )
24		cncfcdm 15434	. . . . . 6 |- ( ( RR C_ CC /\ ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC ) ) -> ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR ) )
25	3, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
26	14, 25	sylibr 134	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
27	11, 26	maxcncf 15467	. . 3 |- ( T. -> ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
28	27	mptru 1407	. 2 |- ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR )
29	1, 28	eqeltri 2305	1 |- F e. ( RR -cn-> RR )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2203   C_ wss 3210   {cpr 3689   |-> cmpt 4170   |` cres 4750   -->wf 5347  (class class class)co 6049   supcsup 7272  infcinf 7273   CCcc 8121   RRcr 8122   0cc0 8123   1c1 8124   < clt 8304   - cmin 8440   -cn->ccncf 15422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243  ax-addf 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-xneg 10101  df-xadd 10102  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-rest 13443  df-topgen 13462  df-psmet 14678  df-xmet 14679  df-met 14680  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-top 14850  df-topon 14863  df-bases 14895  df-cn 15040  df-cnp 15041  df-tx 15105  df-cncf 15423

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15503