Theorem hovercncf 15884

Description: The hover function is continuous. By hover function, we mean a a function which starts out as a line of slope one, is constant at zero from zero to one, and then resumes as a slope of one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovercncf	|- F e. ( RR -cn-> RR )

Proof of Theorem hovercncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. 2 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
2		ssid 3268	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
3		ax-resscn 8278	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
4		cncfmptid 15835	. . . . . . 7 |- ( ( RR C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
5	2, 3, 4	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR )
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
7		0red 8334	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 e. RR )
8	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> RR C_ CC )
9		cncfmptc 15834	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
10	7, 8, 8, 9	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
11	6, 10	mincncf 15854	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> inf ( { x , 0 } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
12		peano2rem 8601	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( x - 1 ) e. RR )
14	13	fmpttd 5866	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
15		resmpt 5114	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) )
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) )
17		ax-1cn 8279	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
18		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( x - 1 ) )
19	18	sub1cncf 15840	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. CC -> ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
21		rescncf 15819	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC ) ) )
22	3, 20, 21	mp2 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC )
23	16, 22	eqeltrri 2312	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC )
24		cncfcdm 15820	. . . . . 6 |- ( ( RR C_ CC /\ ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC ) ) -> ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR ) )
25	3, 23, 24	mp2an 430	. . . . 5 |- ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
26	14, 25	sylibr 134	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
27	11, 26	maxcncf 15853	. . 3 |- ( T. -> ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
28	27	mptru 1411	. 2 |- ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR )
29	1, 28	eqeltri 2311	1 |- F e. ( RR -cn-> RR )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {cpr 3710   |-> cmpt 4193   |` cres 4778   -->wf 5376  (class class class)co 6088   supcsup 7329  infcinf 7330   CCcc 8184   RRcr 8185   0cc0 8186   1c1 8187   < clt 8367   - cmin 8505   -cn->ccncf 15808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-addf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-tx 15491  df-cncf 15809

This theorem is used by:  ivthdichlem  15889