Theorem hovercncf 15341

Description: The hover function is continuous. By hover function, we mean a a function which starts out as a line of slope one, is constant at zero from zero to one, and then resumes as a slope of one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovercncf	|- F e. ( RR -cn-> RR )

Proof of Theorem hovercncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. 2 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
2		ssid 3244	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
3		ax-resscn 8107	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
4		cncfmptid 15292	. . . . . . 7 |- ( ( RR C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR )
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> x ) e. ( RR -cn-> RR ) )
7		0red 8163	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 e. RR )
8	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> RR C_ CC )
9		cncfmptc 15291	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
10	7, 8, 8, 9	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> 0 ) e. ( RR -cn-> RR ) )
11	6, 10	mincncf 15311	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> inf ( { x , 0 } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
12		peano2rem 8429	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( x - 1 ) e. RR )
14	13	fmpttd 5795	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
15		resmpt 5056	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) )
16	3, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( x - 1 ) )
17		ax-1cn 8108	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
18		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( x - 1 ) )
19	18	sub1cncf 15297	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. CC -> ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC )
21		rescncf 15276	. . . . . . . 8 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC ) ) )
22	3, 20, 21	mp2 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC |-> ( x - 1 ) ) |` RR ) e. ( RR -cn-> CC )
23	16, 22	eqeltrri 2303	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC )
24		cncfcdm 15277	. . . . . 6 |- ( ( RR C_ CC /\ ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> CC ) ) -> ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR ) )
25	3, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) : RR --> RR )
26	14, 25	sylibr 134	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR |-> ( x - 1 ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
27	11, 26	maxcncf 15310	. . 3 |- ( T. -> ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
28	27	mptru 1404	. 2 |- ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) ) e. ( RR -cn-> RR )
29	1, 28	eqeltri 2302	1 |- F e. ( RR -cn-> RR )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   C_ wss 3197   {cpr 3667   |-> cmpt 4145   |` cres 4722   -->wf 5317  (class class class)co 6010   supcsup 7165  infcinf 7166   CCcc 8013   RRcr 8014   0cc0 8015   1c1 8016   < clt 8197   - cmin 8333   -cn->ccncf 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135  ax-addf 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-map 6810  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-xneg 9985  df-xadd 9986  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-rest 13295  df-topgen 13314  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-met 14530  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-top 14693  df-topon 14706  df-bases 14738  df-cn 14883  df-cnp 14884  df-tx 14948  df-cncf 15266

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15346