Theorem mulgass2 13554

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgass2.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgass2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((0 · 𝑋) × 𝑌))
3		oveq1 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
4	2, 3	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌))))
5		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
6	5	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
7		oveq1 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
8	6, 7	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
9		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
10	9	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌))
11		oveq1 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))
12	10, 11	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
13		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
14	13	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
15		oveq1 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
16	14, 15	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
17		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18	17	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌))
19		oveq1 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))
20	18, 19	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
21		mulgass2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
22		mulgass2.t	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑅)
23		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
24	21, 22, 23	ringlz 13539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) × 𝑌) = (0g‘𝑅))
25	24	3adant3 1019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) × 𝑌) = (0g‘𝑅))
26		simp3 1001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27		mulgass2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝑅)
28	21, 23, 27	mulg0 13195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑅))
29	26, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑅))
30	29	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = ((0g‘𝑅) × 𝑌))
31	21, 22	ringcl 13509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
32	31	3com23 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
33	21, 23, 27	mulg0 13195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g‘𝑅))
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g‘𝑅))
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2236	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
36		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
37		simpl1 1002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
38		ringgrp 13497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
40		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
42	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
43		eqid 2193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
44	21, 27, 43	mulgp1 13225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋))
45	39, 41, 42, 44	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋))
46	45	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌))
47	38	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
49	21, 27	mulgcl 13209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
50	48, 41, 42, 49	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
51		simpl2 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
52	21, 43, 22	ringdir 13515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
53	37, 50, 42, 51, 52	syl13anc 1251	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
54	46, 53	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
55	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
56	21, 27, 43	mulgp1 13225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
57	39, 41, 55, 56	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
58	54, 57	eqeq12d 2208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌))))
59	36, 58	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
60	59	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))))
61		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
62	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
63		nnz 9336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
66		eqid 2193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
67	21, 27, 66	mulgneg 13210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
69	68	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌))
70		simpl1 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
71	62, 64, 65, 49	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
72		simpl2 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
73	21, 22, 66, 70, 71, 72	ringmneg1 13549	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌) = ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
74	69, 73	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
75	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
76	21, 27, 66	mulgneg 13210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
77	62, 64, 75, 76	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
78	74, 77	eqeq12d 2208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
79	61, 78	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
80	79	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
81	4, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80	zindd 9435	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
82	81	3exp 1204	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
83	82	com24 87	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
84	83	3imp2 1224	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875  -cneg 8191  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  0_gc0g 12867  Grpcgrp 13072  inv_gcminusg 13073  ._gcmg 13189  Ringcrg 13492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-mulg 13190  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494

This theorem is referenced by:  mulgass3  13581  mulgrhm  14097