Theorem mulgass2 13864

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgass2.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgass2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	oveq1d 5966	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((0 · 𝑋) × 𝑌))
3		oveq1 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
4	2, 3	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌))))
5		oveq1 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
6	5	oveq1d 5966	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
7		oveq1 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
8	6, 7	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
9		oveq1 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
10	9	oveq1d 5966	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌))
11		oveq1 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))
12	10, 11	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
13		oveq1 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
14	13	oveq1d 5966	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
15		oveq1 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
16	14, 15	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
17		oveq1 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18	17	oveq1d 5966	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌))
19		oveq1 5958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))
20	18, 19	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
21		mulgass2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
22		mulgass2.t	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑅)
23		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
24	21, 22, 23	ringlz 13849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) × 𝑌) = (0g‘𝑅))
25	24	3adant3 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) × 𝑌) = (0g‘𝑅))
26		simp3 1002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27		mulgass2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝑅)
28	21, 23, 27	mulg0 13505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑅))
29	26, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑅))
30	29	oveq1d 5966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = ((0g‘𝑅) × 𝑌))
31	21, 22	ringcl 13819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
32	31	3com23 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
33	21, 23, 27	mulg0 13505	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g‘𝑅))
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g‘𝑅))
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2249	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
36		oveq1 5958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
37		simpl1 1003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
38		ringgrp 13807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
40		nn0z 9399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
42	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
43		eqid 2206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
44	21, 27, 43	mulgp1 13535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋))
45	39, 41, 42, 44	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋))
46	45	oveq1d 5966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌))
47	38	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
49	21, 27	mulgcl 13519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
50	48, 41, 42, 49	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
51		simpl2 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
52	21, 43, 22	ringdir 13825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
53	37, 50, 42, 51, 52	syl13anc 1252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
54	46, 53	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
55	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
56	21, 27, 43	mulgp1 13535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
57	39, 41, 55, 56	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
58	54, 57	eqeq12d 2221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌))))
59	36, 58	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
60	59	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))))
61		fveq2 5583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
62	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
63		nnz 9398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
66		eqid 2206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
67	21, 27, 66	mulgneg 13520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
69	68	oveq1d 5966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌))
70		simpl1 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
71	62, 64, 65, 49	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
72		simpl2 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
73	21, 22, 66, 70, 71, 72	ringmneg1 13859	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌) = ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
74	69, 73	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
75	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
76	21, 27, 66	mulgneg 13520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
77	62, 64, 75, 76	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
78	74, 77	eqeq12d 2221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
79	61, 78	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
80	79	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
81	4, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80	zindd 9498	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
82	81	3exp 1205	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
83	82	com24 87	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
84	83	3imp2 1225	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935  -cneg 8251  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  ._rcmulr 12954  0_gc0g 13132  Grpcgrp 13376  inv_gcminusg 13377  ._gcmg 13499  Ringcrg 13802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-seqfrec 10600  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-mulg 13500  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804

This theorem is referenced by:  mulgass3  13891  mulgrhm  14415