Theorem mulgass2 13987

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgass2.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgass2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	oveq1d 5989	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((0 · 𝑋) × 𝑌))
3		oveq1 5981	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
4	2, 3	eqeq12d 2224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌))))
5		oveq1 5981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
6	5	oveq1d 5989	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
7		oveq1 5981	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
8	6, 7	eqeq12d 2224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
9		oveq1 5981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
10	9	oveq1d 5989	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌))
11		oveq1 5981	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))
12	10, 11	eqeq12d 2224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
13		oveq1 5981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
14	13	oveq1d 5989	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
15		oveq1 5981	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
16	14, 15	eqeq12d 2224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
17		oveq1 5981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18	17	oveq1d 5989	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌))
19		oveq1 5981	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))
20	18, 19	eqeq12d 2224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
21		mulgass2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
22		mulgass2.t	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑅)
23		eqid 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
24	21, 22, 23	ringlz 13972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) × 𝑌) = (0g‘𝑅))
25	24	3adant3 1022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) × 𝑌) = (0g‘𝑅))
26		simp3 1004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27		mulgass2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝑅)
28	21, 23, 27	mulg0 13628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑅))
29	26, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑅))
30	29	oveq1d 5989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = ((0g‘𝑅) × 𝑌))
31	21, 22	ringcl 13942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
32	31	3com23 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
33	21, 23, 27	mulg0 13628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g‘𝑅))
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g‘𝑅))
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2252	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
36		oveq1 5981	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
37		simpl1 1005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
38		ringgrp 13930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
40		nn0z 9434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
42	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
43		eqid 2209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
44	21, 27, 43	mulgp1 13658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋))
45	39, 41, 42, 44	syl3anc 1252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋))
46	45	oveq1d 5989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌))
47	38	3ad2ant1 1023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
49	21, 27	mulgcl 13642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
50	48, 41, 42, 49	syl3anc 1252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
51		simpl2 1006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
52	21, 43, 22	ringdir 13948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
53	37, 50, 42, 51, 52	syl13anc 1254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
54	46, 53	eqtrd 2242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
55	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
56	21, 27, 43	mulgp1 13658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
57	39, 41, 55, 56	syl3anc 1252	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
58	54, 57	eqeq12d 2224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌))))
59	36, 58	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
60	59	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))))
61		fveq2 5603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
62	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
63		nnz 9433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
66		eqid 2209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
67	21, 27, 66	mulgneg 13643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
69	68	oveq1d 5989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌))
70		simpl1 1005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
71	62, 64, 65, 49	syl3anc 1252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
72		simpl2 1006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
73	21, 22, 66, 70, 71, 72	ringmneg1 13982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌) = ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
74	69, 73	eqtrd 2242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
75	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
76	21, 27, 66	mulgneg 13643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
77	62, 64, 75, 76	syl3anc 1252	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
78	74, 77	eqeq12d 2224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
79	61, 78	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
80	79	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
81	4, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80	zindd 9533	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
82	81	3exp 1207	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
83	82	com24 87	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
84	83	3imp2 1227	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970  -cneg 8286  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  ._rcmulr 13077  0_gc0g 13255  Grpcgrp 13499  inv_gcminusg 13500  ._gcmg 13622  Ringcrg 13925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-seqfrec 10637  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-mulg 13623  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-ring 13927

This theorem is referenced by:  mulgass3  14014  mulgrhm  14538