ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgass2 GIF version

Theorem mulgass2 13240
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mulgass2.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgass2.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgass2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgass2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
21oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
3 oveq1 5884 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
42, 3eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
5 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
65oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
7 oveq1 5884 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
86, 7eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
9 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹))
109oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
11 oveq1 5884 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1210, 11eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
13 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
1413oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
15 oveq1 5884 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1614, 15eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
17 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
1817oveq1d 5892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
19 oveq1 5884 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
2018, 19eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
21 mulgass2.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
22 mulgass2.t . . . . . . . 8 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
23 eqid 2177 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
2421, 22, 23ringlz 13227 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
25243adant3 1017 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
26 simp3 999 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
27 mulgass2.m . . . . . . . . 9 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
2821, 23, 27mulg0 12993 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
2926, 28syl 14 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
3029oveq1d 5892 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ))
3121, 22ringcl 13201 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
32313com23 1209 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
3321, 23, 27mulg0 12993 . . . . . . 7 ((๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3432, 33syl 14 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3525, 30, 343eqtr4d 2220 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
36 oveq1 5884 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
37 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
38 ringgrp 13189 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
40 nn0z 9275 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4140adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4226adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
43 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
4421, 27, 43mulgp1 13021 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4539, 41, 42, 44syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4645oveq1d 5892 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
47383ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
4847adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
4921, 27mulgcl 13005 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5048, 41, 42, 49syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
51 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
5221, 43, 22ringdir 13207 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5337, 50, 42, 51, 52syl13anc 1240 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5446, 53eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5532adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
5621, 27, 43mulgp1 13021 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5739, 41, 55, 56syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5854, 57eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
5936, 58imbitrrid 156 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
6059ex 115 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
61 fveq2 5517 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
6247adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
63 nnz 9274 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6463adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6526adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
66 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
6721, 27, 66mulgneg 13006 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
6968oveq1d 5892 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) ร— ๐‘Œ))
70 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
7162, 64, 65, 49syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
72 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
7321, 22, 66, 70, 71, 72ringmneg1 13235 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) ร— ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)))
7469, 73eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)))
7532adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
7621, 27, 66mulgneg 13006 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
7762, 64, 75, 76syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
7874, 77eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
7961, 78imbitrrid 156 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
8079ex 115 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
814, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80zindd 9373 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
82813exp 1202 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))))
8382com24 87 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))))
84833imp2 1222 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816  -cneg 8131  โ„•cn 8921  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  0gc0g 12710  Grpcgrp 12882  invgcminusg 12883  .gcmg 12988  Ringcrg 13184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mulg 12989  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186
This theorem is referenced by:  mulgass3  13259
  Copyright terms: Public domain W3C validator