Theorem mulgass2 13690

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgass2.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgass2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((0 · 𝑋) × 𝑌))
3		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
4	2, 3	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌))))
5		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
6	5	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
7		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
8	6, 7	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
9		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
10	9	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌))
11		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))
12	10, 11	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
13		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
14	13	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
15		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
16	14, 15	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
17		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18	17	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌))
19		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))
20	18, 19	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
21		mulgass2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
22		mulgass2.t	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑅)
23		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
24	21, 22, 23	ringlz 13675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) × 𝑌) = (0g‘𝑅))
25	24	3adant3 1019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) × 𝑌) = (0g‘𝑅))
26		simp3 1001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27		mulgass2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝑅)
28	21, 23, 27	mulg0 13331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑅))
29	26, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝑅))
30	29	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = ((0g‘𝑅) × 𝑌))
31	21, 22	ringcl 13645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
32	31	3com23 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
33	21, 23, 27	mulg0 13331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g‘𝑅))
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g‘𝑅))
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2239	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
36		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
37		simpl1 1002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
38		ringgrp 13633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
40		nn0z 9363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
42	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
43		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
44	21, 27, 43	mulgp1 13361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋))
45	39, 41, 42, 44	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋))
46	45	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌))
47	38	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
49	21, 27	mulgcl 13345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
50	48, 41, 42, 49	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
51		simpl2 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
52	21, 43, 22	ringdir 13651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
53	37, 50, 42, 51, 52	syl13anc 1251	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
54	46, 53	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
55	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
56	21, 27, 43	mulgp1 13361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
57	39, 41, 55, 56	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
58	54, 57	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 × 𝑌))))
59	36, 58	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
60	59	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))))
61		fveq2 5561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
62	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
63		nnz 9362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
66		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
67	21, 27, 66	mulgneg 13346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
69	68	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌))
70		simpl1 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
71	62, 64, 65, 49	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
72		simpl2 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
73	21, 22, 66, 70, 71, 72	ringmneg1 13685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((invg‘𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌) = ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
74	69, 73	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
75	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
76	21, 27, 66	mulgneg 13346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
77	62, 64, 75, 76	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
78	74, 77	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((invg‘𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
79	61, 78	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
80	79	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
81	4, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80	zindd 9461	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
82	81	3exp 1204	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
83	82	com24 87	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
84	83	3imp2 1224	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899  -cneg 8215  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  ._rcmulr 12781  0_gc0g 12958  Grpcgrp 13202  inv_gcminusg 13203  ._gcmg 13325  Ringcrg 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-seqfrec 10557  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-mulg 13326  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630

This theorem is referenced by:  mulgass3  13717  mulgrhm  14241