Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nninfalllemn.p |
. . . 4
![( (](lp.gif)
ℕ∞![) )](rp.gif) |
2 | | nninff 13373 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ℕ∞ ![P P](_cp.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![2o 2o](_2o.gif) ![) )](rp.gif) |
3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![: :](colon.gif) ![om om](omega.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![2o 2o](_2o.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | 3 | ffnd 5281 |
. 2
![( (](lp.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
5 | | 1lt2o 6347 |
. . . . . 6
![2o 2o](_2o.gif) |
6 | 5 | a1i 9 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![2o 2o](_2o.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | | 0lt2o 6346 |
. . . . . 6
![2o 2o](_2o.gif) |
8 | 7 | a1i 9 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![2o 2o](_2o.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | | simpr 109 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | | nninfalllemn.n |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | 10 | adantr 274 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
12 | | nndcel 6404 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif) DECID ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | 9, 11, 12 | syl2anc 409 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
DECID
![N N](_cn.gif) ![)
)](rp.gif) |
14 | 6, 8, 13 | ifcldcd 3512 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) ![2o 2o](_2o.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | 14 | ralrimiva 2508 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![2o 2o](_2o.gif) ![) )](rp.gif) |
16 | | eqid 2140 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
17 | 16 | fnmpt 5257 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif)
![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![om
om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
18 | 15, 17 | syl 14 |
. 2
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
19 | | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
20 | | eleq1 2203 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
21 | 20 | ifbid 3498 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif)
![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 19, 21 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | 22 | imbi2d 229 |
. . . . 5
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![(
(](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
24 | | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
25 | | eleq1w 2201 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
26 | 25 | ifbid 3498 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
27 | 24, 26 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | 27 | imbi2d 229 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
29 | | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif)
![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
30 | | eleq1 2203 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
31 | 30 | ifbid 3498 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
32 | 29, 31 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
33 | 32 | imbi2d 229 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
34 | | fveq2 5429 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | | eleq1w 2201 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | 35 | ifbid 3498 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | 34, 36 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
38 | 37 | imbi2d 229 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
39 | | noel 3372 |
. . . . . . . . 9
![(/) (/)](varnothing.gif) |
40 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
41 | 40 | eleq2d 2210 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
42 | 39, 41 | mtbiri 665 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![N N](_cn.gif) ![)
)](rp.gif) |
43 | 42 | iffalsed 3489 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
44 | | nninfalllemn.0 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![N N](_cn.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
45 | 44 | adantr 274 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![N N](_cn.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
46 | 40 | fveq2d 5433 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![N N](_cn.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
47 | 43, 45, 46 | 3eqtr2rd 2180 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
48 | | fveq2 5429 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
49 | 48 | eqeq1d 2149 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
50 | | nninfalllemn.1 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) |
51 | 50 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif)
![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) |
52 | | simpr 109 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif)
![N N](_cn.gif) ![)
)](rp.gif) |
53 | 49, 51, 52 | rspcdva 2798 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) |
54 | 52 | iftrued 3486 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif)
![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) |
55 | 53, 54 | eqtr4d 2176 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
56 | | 0elnn 4540 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
57 | 10, 56 | syl 14 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
58 | 47, 55, 57 | mpjaodan 788 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
59 | | fveq2 5429 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif)
![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
60 | 59 | eqeq1d 2149 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
61 | 50 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![x x](_x.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) |
62 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
63 | 60, 61, 62 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
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64 | 62 | iftrued 3486 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![) )](rp.gif) |
65 | 63, 64 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
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66 | 44 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
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67 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
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68 | 67 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
69 | 10 | ad2antlr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ph
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70 | | nnord 4533 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
71 | | ordirr 4465 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
72 | 69, 70, 71 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ph
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![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
73 | 72 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
74 | 67, 73 | eqneltrd 2236 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
75 | 74 | iffalsed 3489 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif)
![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
76 | 66, 68, 75 | 3eqtr4d 2183 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![N N](_cn.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
77 | | suceq 4332 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif)
![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) |
78 | 77 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![`
`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
79 | | fveq2 5429 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![`
`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
80 | 78, 79 | sseq12d 3133 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![`
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![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
81 | 1 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![k k](_k.gif)
ℕ∞![) )](rp.gif) |
82 | | fveq1 5428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![f
f](_f.gif) ![`
`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
83 | | fveq1 5428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![f
f](_f.gif) ![`
`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
84 | 82, 83 | sseq12d 3133 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![f
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`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
85 | 84 | ralbidv 2438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![f
f](_f.gif) ![`
`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![`
`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
86 | | df-nninf 7015 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
ℕ∞ ![{ {](lbrace.gif) ![( (](lp.gif) ![om om](omega.gif)
![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![f
f](_f.gif) ![`
`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![} }](rbrace.gif) |
87 | 85, 86 | elrab2 2847 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ℕ∞ ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![om om](omega.gif) ![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![`
`](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
88 | 87 | simprbi 273 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ℕ∞ ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif)
![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
89 | 81, 88 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
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![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
90 | | simplll 523 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![k k](_k.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
91 | 80, 89, 90 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![k k](_k.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![`
`](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
92 | | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![k k](_k.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
93 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![k k](_k.gif) ![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) |
94 | | nnord 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) |
95 | | ordtr 4308 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif)
![k k](_k.gif) ![)
)](rp.gif) |
96 | | trsucss 4353 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
97 | 94, 95, 96 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
98 | 90, 93, 97 | sylc 62 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![k k](_k.gif) ![k k](_k.gif) ![)
)](rp.gif) |
99 | 69 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![k k](_k.gif) ![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
100 | | nntri1 6400 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
101 | 99, 90, 100 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![k k](_k.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
102 | 98, 101 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![( (](lp.gif) ![P P](_cp.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![k k](_k.gif)
![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
103 | 102 | iffalsed 3489 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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104 | 92, 103 | eqtrd 2173 |
. . . . . . . . . . 11
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105 | 91, 104 | sseqtrd 3140 |
. . . . . . . . . 10
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106 | | ss0 3408 |
. . . . . . . . . 10
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107 | 105, 106 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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108 | | ordn2lp 4468 |
. . . . . . . . . . . 12
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109 | 99, 70, 108 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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110 | | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . 12
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111 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . 12
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112 | 110, 111 | jca 304 |
. . . . . . . . . . 11
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113 | 109, 112 | mtand 655 |
. . . . . . . . . 10
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114 | 113 | iffalsed 3489 |
. . . . . . . . 9
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115 | 107, 114 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . 8
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116 | | peano2 4517 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif) ![) )](rp.gif) |
117 | 116 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . 9
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118 | | nntri3or 6397 |
. . . . . . . . 9
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119 | 117, 69, 118 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
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120 | 65, 76, 115, 119 | mpjao3dan 1286 |
. . . . . . 7
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121 | 120 | exp31 362 |
. . . . . 6
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122 | 121 | a2d 26 |
. . . . 5
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123 | 23, 28, 33, 38, 58, 122 | finds 4522 |
. . . 4
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124 | 123 | impcom 124 |
. . 3
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125 | | simpr 109 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
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126 | 5 | a1i 9 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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![2o 2o](_2o.gif) ![) )](rp.gif) |
127 | 7 | a1i 9 |
. . . . 5
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![om om](omega.gif)
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128 | 10 | adantr 274 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
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129 | | nndcel 6404 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif) DECID ![N N](_cn.gif) ![) )](rp.gif) |
130 | 125, 128,
129 | syl2anc 409 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![om om](omega.gif)
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131 | 126, 127,
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. . . 4
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132 | | eleq1w 2201 |
. . . . . 6
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133 | 132 | ifbid 3498 |
. . . . 5
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134 | 133, 16 | fvmptg 5505 |
. . . 4
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135 | 125, 131,
134 | syl2anc 409 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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. 2
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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137 | 4, 18, 136 | eqfnfvd 5529 |
1
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![if if](_if.gif) ![( (](lp.gif) ![N N](_cn.gif) ![1o 1o](_1o.gif)
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