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Theorem nninfalllemn 13004
Description: Lemma for nninfall 13006. Mapping of a natural number to an element of ℕ. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfalllemn.p  |-  ( ph  ->  P  e. )
nninfalllemn.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
nninfalllemn.1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
nninfalllemn.0  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
nninfalllemn  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N    x, N    x, P    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( x)    P( i)

Proof of Theorem nninfalllemn
Dummy variables  j  k  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfalllemn.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e. )
2 nninff 13000 . . . 4  |-  ( P  e.  ->  P : om --> 2o )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  P : om --> 2o )
43ffnd 5241 . 2  |-  ( ph  ->  P  Fn  om )
5 1lt2o 6305 . . . . . 6  |-  1o  e.  2o
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
7 0lt2o 6304 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
87a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
9 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  i  e.  om )
10 nninfalllemn.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
1110adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  N  e.  om )
12 nndcel 6362 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  i  e.  N )
139, 11, 12syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  -> DECID  i  e.  N
)
146, 8, 13ifcldcd 3475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  if (
i  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
1514ralrimiva 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  om  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
16 eqid 2115 . . . 4  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
1716fnmpt 5217 . . 3  |-  ( A. i  e.  om  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  Fn 
om )
1815, 17syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  Fn  om )
19 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( P `
 w )  =  ( P `  (/) ) )
20 eleq1 2178 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  N  <->  (/)  e.  N
) )
2120ifbid 3461 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
2219, 21eqeq12d 2130 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( P `  w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  <->  ( P `  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
2322imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( P `  w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
24 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( P `  w )  =  ( P `  k ) )
25 eleq1w 2176 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  (
w  e.  N  <->  k  e.  N ) )
2625ifbid 3461 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
2724, 26eqeq12d 2130 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( P `  w
)  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  <->  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
2827imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  <->  ( ph  ->  ( P `  k
)  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
29 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( P `  w
)  =  ( P `
 suc  k )
)
30 eleq1 2178 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( w  e.  N  <->  suc  k  e.  N ) )
3130ifbid 3461 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  k  ->  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
3229, 31eqeq12d 2130 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( P `  w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  <->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
3332imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( ( ph  ->  ( P `  w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  <->  ( ph  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
34 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( w  =  j  ->  ( P `  w )  =  ( P `  j ) )
35 eleq1w 2176 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  j  ->  (
w  e.  N  <->  j  e.  N ) )
3635ifbid 3461 . . . . . . 7  |-  ( w  =  j  ->  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
3734, 36eqeq12d 2130 . . . . . 6  |-  ( w  =  j  ->  (
( P `  w
)  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) )  <->  ( P `  j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
3837imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  (
( ph  ->  ( P `
 w )  =  if ( w  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  <->  ( ph  ->  ( P `  j
)  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
39 noel 3335 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  (/)
40 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  N  =  (/) )
4140eleq2d 2185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( (/)  e.  N  <->  (/)  e.  (/) ) )
4239, 41mtbiri 647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  -.  (/)  e.  N
)
4342iffalsed 3452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  if ( (/) 
e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
44 nninfalllemn.0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (/) )
4544adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( P `  N )  =  (/) )
4640fveq2d 5391 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( P `  N )  =  ( P `  (/) ) )
4743, 45, 463eqtr2rd 2155 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  (/) )  ->  ( P `  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
48 fveq2 5387 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  (/) ) )
4948eqeq1d 2124 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( P `  x )  =  1o  <->  ( P `  (/) )  =  1o ) )
50 nninfalllemn.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
5150adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
52 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  (/)  e.  N
)
5349, 51, 52rspcdva 2766 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  ( P `  (/) )  =  1o )
5452iftrued 3449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  if ( (/) 
e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
5553, 54eqtr4d 2151 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  N
)  ->  ( P `  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
56 0elnn 4500 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  om  ->  ( N  =  (/)  \/  (/)  e.  N
) )
5710, 56syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  =  (/)  \/  (/)  e.  N ) )
5847, 55, 57mpjaodan 770 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  (/) )  =  if ( (/)  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
59 fveq2 5387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( P `  x
)  =  ( P `
 suc  k )
)
6059eqeq1d 2124 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( ( P `  x )  =  1o  <->  ( P `  suc  k
)  =  1o ) )
6150ad3antlr 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  A. x  e.  N  ( P `  x )  =  1o )
62 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  suc  k  e.  N )
6360, 61, 62rspcdva 2766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  ( P `  suc  k )  =  1o )
6462iftrued 3449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
6563, 64eqtr4d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  e.  N
)  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6644ad3antlr 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  ( P `  N )  =  (/) )
67 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  suc  k  =  N )
6867fveq2d 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  ( P `  suc  k )  =  ( P `  N
) )
6910ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  N  e.  om )
70 nnord 4493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  om  ->  Ord  N )
71 ordirr 4425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
N  ->  -.  N  e.  N )
7269, 70, 713syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  -.  N  e.  N )
7372adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  -.  N  e.  N )
7467, 73eqneltrd 2211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  -.  suc  k  e.  N )
7574iffalsed 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
7666, 68, 753eqtr4d 2158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  suc  k  =  N
)  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
77 suceq 4292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  suc  j  =  suc  k )
7877fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  ( P `  suc  j )  =  ( P `  suc  k ) )
79 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  k  ->  ( P `  j )  =  ( P `  k ) )
8078, 79sseq12d 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  (
( P `  suc  j )  C_  ( P `  j )  <->  ( P `  suc  k
)  C_  ( P `  k ) ) )
811ad3antlr 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  P  e. )
82 fveq1 5386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  suc  j )  =  ( P `  suc  j ) )
83 fveq1 5386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  P  ->  (
f `  j )  =  ( P `  j ) )
8482, 83sseq12d 3096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  P  ->  (
( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) ) )
8584ralbidv 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  P  ->  ( A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j )  <->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
86 df-nninf 6973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  =  { f  e.  ( 2o  ^m  om )  |  A. j  e.  om  ( f `  suc  j )  C_  (
f `  j ) }
8785, 86elrab2 2814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  <->  ( P  e.  ( 2o 
^m  om )  /\  A. j  e.  om  ( P `  suc  j ) 
C_  ( P `  j ) ) )
8887simprbi 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
8981, 88syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  A. j  e.  om  ( P `  suc  j
)  C_  ( P `  j ) )
90 simplll 505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  k  e.  om )
9180, 89, 90rspcdva 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  suc  k )  C_  ( P `  k )
)
92 simplr 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
93 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  N  e.  suc  k )
94 nnord 4493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
95 ordtr 4268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  k  ->  Tr  k
)
96 trsucss 4313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Tr  k  ->  ( N  e.  suc  k  ->  N  C_  k ) )
9794, 95, 963syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  om  ->  ( N  e.  suc  k  ->  N  C_  k ) )
9890, 93, 97sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  N  C_  k
)
9969adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  N  e.  om )
100 nntri1 6358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( N  C_  k  <->  -.  k  e.  N ) )
10199, 90, 100syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( N  C_  k 
<->  -.  k  e.  N
) )
10298, 101mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  -.  k  e.  N )
103102iffalsed 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
10492, 103eqtrd 2148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  k )  =  (/) )
10591, 104sseqtrd 3103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  suc  k )  C_  (/) )
106 ss0 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  suc  k
)  C_  (/)  ->  ( P `  suc  k )  =  (/) )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  suc  k )  =  (/) )
108 ordn2lp 4428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
N  ->  -.  ( N  e.  suc  k  /\  suc  k  e.  N
) )
10999, 70, 1083syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  -.  ( N  e.  suc  k  /\  suc  k  e.  N )
)
110 simplr 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( k  e.  om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  /\  suc  k  e.  N )  ->  N  e.  suc  k
)
111 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( k  e.  om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  /\  suc  k  e.  N )  ->  suc  k  e.  N
)
112110, 111jca 302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( k  e.  om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  /\  suc  k  e.  N )  ->  ( N  e.  suc  k  /\  suc  k  e.  N ) )
113109, 112mtand 637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  -.  suc  k  e.  N )
114113iffalsed 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
115107, 114eqtr4d 2151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( k  e. 
om  /\  ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  /\  N  e.  suc  k )  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
116 peano2 4477 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
117116ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  suc  k  e.  om )
118 nntri3or 6355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  k  e.  om  /\  N  e.  om )  ->  ( suc  k  e.  N  \/  suc  k  =  N  \/  N  e.  suc  k ) )
119117, 69, 118syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( suc  k  e.  N  \/  suc  k  =  N  \/  N  e.  suc  k ) )
12065, 76, 115, 119mpjao3dan 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  om  /\ 
ph )  /\  ( P `  k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
121120exp31 359 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( P `
 k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) )  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
122121a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( P `
 k )  =  if ( k  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  ->  ( ph  ->  ( P `  suc  k )  =  if ( suc  k  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) ) )
12323, 28, 33, 38, 58, 122finds 4482 . . . 4  |-  ( j  e.  om  ->  ( ph  ->  ( P `  j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
124123impcom 124 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( P `  j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
125 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  j  e.  om )
1265a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
1277a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
12810adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  N  e.  om )
129 nndcel 6362 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  om  /\  N  e.  om )  -> DECID  j  e.  N )
130125, 128, 129syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  -> DECID  j  e.  N
)
131126, 127, 130ifcldcd 3475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  if (
j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
132 eleq1w 2176 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  N  <->  j  e.  N ) )
133132ifbid 3461 . . . . 5  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
134133, 16fvmptg 5463 . . . 4  |-  ( ( j  e.  om  /\  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
135125, 131, 134syl2anc 406 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j )  =  if ( j  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
136124, 135eqtr4d 2151 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  om )  ->  ( P `  j )  =  ( ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 j ) )
1374, 18, 136eqfnfvd 5487 1  |-  ( ph  ->  P  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    \/ w3o 944    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391    C_ wss 3039   (/)c0 3331   ifcif 3442    |-> cmpt 3957   Tr wtr 3994   Ord word 4252   suc csuc 4255   omcom 4472    Fn wfn 5086   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1oc1o 6272   2oc2o 6273    ^m cmap 6508  ℕxnninf 6971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-nninf 6973
This theorem is referenced by:  nninfalllem1  13005  nninfsellemeq  13012
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