Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfalllemn GIF version

Theorem nninfalllemn 13375
Description: Lemma for nninfall 13377. Mapping of a natural number to an element of . (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfalllemn.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
nninfalllemn.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
nninfalllemn.1 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 (𝑃𝑥) = 1o)
nninfalllemn.0 (𝜑 → (𝑃𝑁) = ∅)
Assertion
Ref Expression
nninfalllemn (𝜑𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem nninfalllemn
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfalllemn.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2 nninff 13371 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ𝑃:ω⟶2o)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝑃:ω⟶2o)
43ffnd 5280 . 2 (𝜑𝑃 Fn ω)
5 1lt2o 6346 . . . . . 6 1o ∈ 2o
65a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
7 0lt2o 6345 . . . . . 6 ∅ ∈ 2o
87a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
9 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
10 nninfalllemn.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ω)
1110adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
12 nndcel 6403 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑖𝑁)
139, 11, 12syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖𝑁)
146, 8, 13ifcldcd 3511 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
1514ralrimiva 2508 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
16 eqid 2140 . . . 4 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
1716fnmpt 5256 . . 3 (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) Fn ω)
1815, 17syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)) Fn ω)
19 fveq2 5428 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (𝑃𝑤) = (𝑃‘∅))
20 eleq1 2203 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑁 ↔ ∅ ∈ 𝑁))
2120ifbid 3497 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → if(𝑤𝑁, 1o, ∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
2219, 21eqeq12d 2155 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((𝑃𝑤) = if(𝑤𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
2322imbi2d 229 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑃𝑤) = if(𝑤𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
24 fveq2 5428 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑃𝑤) = (𝑃𝑘))
25 eleq1w 2201 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤𝑁𝑘𝑁))
2625ifbid 3497 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → if(𝑤𝑁, 1o, ∅) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅))
2724, 26eqeq12d 2155 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑃𝑤) = if(𝑤𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)))
2827imbi2d 229 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃𝑤) = if(𝑤𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅))))
29 fveq2 5428 . . . . . . 7 (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑃𝑤) = (𝑃‘suc 𝑘))
30 eleq1 2203 . . . . . . . 8 (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤𝑁 ↔ suc 𝑘𝑁))
3130ifbid 3497 . . . . . . 7 (𝑤 = suc 𝑘 → if(𝑤𝑁, 1o, ∅) = if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅))
3229, 31eqeq12d 2155 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝑃𝑤) = if(𝑤𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅)))
3332imbi2d 229 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃𝑤) = if(𝑤𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅))))
34 fveq2 5428 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑗 → (𝑃𝑤) = (𝑃𝑗))
35 eleq1w 2201 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑗 → (𝑤𝑁𝑗𝑁))
3635ifbid 3497 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑗 → if(𝑤𝑁, 1o, ∅) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
3734, 36eqeq12d 2155 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑗 → ((𝑃𝑤) = if(𝑤𝑁, 1o, ∅) ↔ (𝑃𝑗) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅)))
3837imbi2d 229 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → ((𝜑 → (𝑃𝑤) = if(𝑤𝑁, 1o, ∅)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑗) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅))))
39 noel 3371 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ ∅
40 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 = ∅) → 𝑁 = ∅)
4140eleq2d 2210 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = ∅) → (∅ ∈ 𝑁 ↔ ∅ ∈ ∅))
4239, 41mtbiri 665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = ∅) → ¬ ∅ ∈ 𝑁)
4342iffalsed 3488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = ∅) → if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅) = ∅)
44 nninfalllemn.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) = ∅)
4544adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝑃𝑁) = ∅)
4640fveq2d 5432 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘∅))
4743, 45, 463eqtr2rd 2180 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
48 fveq2 5428 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑃𝑥) = (𝑃‘∅))
4948eqeq1d 2149 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝑃𝑥) = 1o ↔ (𝑃‘∅) = 1o))
50 nninfalllemn.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 (𝑃𝑥) = 1o)
5150adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → ∀𝑥𝑁 (𝑃𝑥) = 1o)
52 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → ∅ ∈ 𝑁)
5349, 51, 52rspcdva 2797 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → (𝑃‘∅) = 1o)
5452iftrued 3485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅) = 1o)
5553, 54eqtr4d 2176 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ 𝑁) → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
56 0elnn 4539 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑁))
5710, 56syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑁))
5847, 55, 57mpjaodan 788 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘∅) = if(∅ ∈ 𝑁, 1o, ∅))
59 fveq2 5428 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑘 → (𝑃𝑥) = (𝑃‘suc 𝑘))
6059eqeq1d 2149 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑘 → ((𝑃𝑥) = 1o ↔ (𝑃‘suc 𝑘) = 1o))
6150ad3antlr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘𝑁) → ∀𝑥𝑁 (𝑃𝑥) = 1o)
62 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘𝑁) → suc 𝑘𝑁)
6360, 61, 62rspcdva 2797 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = 1o)
6462iftrued 3485 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘𝑁) → if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅) = 1o)
6563, 64eqtr4d 2176 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅))
6644ad3antlr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → (𝑃𝑁) = ∅)
67 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → suc 𝑘 = 𝑁)
6867fveq2d 5432 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = (𝑃𝑁))
6910ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) → 𝑁 ∈ ω)
70 nnord 4532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
71 ordirr 4464 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord 𝑁 → ¬ 𝑁𝑁)
7269, 70, 713syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) → ¬ 𝑁𝑁)
7372adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → ¬ 𝑁𝑁)
7467, 73eqneltrd 2236 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → ¬ suc 𝑘𝑁)
7574iffalsed 3488 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅) = ∅)
7666, 68, 753eqtr4d 2183 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ suc 𝑘 = 𝑁) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅))
77 suceq 4331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → suc 𝑗 = suc 𝑘)
7877fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc 𝑘))
79 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑘))
8078, 79sseq12d 3132 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘suc 𝑘) ⊆ (𝑃𝑘)))
811ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑃 ∈ ℕ)
82 fveq1 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc 𝑗))
83 fveq1 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 𝑃 → (𝑓𝑗) = (𝑃𝑗))
8482, 83sseq12d 3132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 𝑃 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃𝑗)))
8584ralbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑃 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃𝑗)))
86 df-nninf 7014 . . . . . . . . . . . . . . 15 = {𝑓 ∈ (2o𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗)}
8785, 86elrab2 2846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ (2o𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃𝑗)))
8887simprbi 273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃𝑗))
8981, 88syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃𝑗))
90 simplll 523 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑘 ∈ ω)
9180, 89, 90rspcdva 2797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) ⊆ (𝑃𝑘))
92 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅))
93 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑁 ∈ suc 𝑘)
94 nnord 4532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
95 ordtr 4307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑘 → Tr 𝑘)
96 trsucss 4352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Tr 𝑘 → (𝑁 ∈ suc 𝑘𝑁𝑘))
9794, 95, 963syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ω → (𝑁 ∈ suc 𝑘𝑁𝑘))
9890, 93, 97sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑁𝑘)
9969adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → 𝑁 ∈ ω)
100 nntri1 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑁𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑁))
10199, 90, 100syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑁𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑁))
10298, 101mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ¬ 𝑘𝑁)
103102iffalsed 3488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → if(𝑘𝑁, 1o, ∅) = ∅)
10492, 103eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃𝑘) = ∅)
10591, 104sseqtrd 3139 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) ⊆ ∅)
106 ss0 3407 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘suc 𝑘) ⊆ ∅ → (𝑃‘suc 𝑘) = ∅)
107105, 106syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) = ∅)
108 ordn2lp 4467 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝑁 → ¬ (𝑁 ∈ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘𝑁))
10999, 70, 1083syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ¬ (𝑁 ∈ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘𝑁))
110 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) ∧ suc 𝑘𝑁) → 𝑁 ∈ suc 𝑘)
111 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) ∧ suc 𝑘𝑁) → suc 𝑘𝑁)
112110, 111jca 304 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) ∧ suc 𝑘𝑁) → (𝑁 ∈ suc 𝑘 ∧ suc 𝑘𝑁))
113109, 112mtand 655 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → ¬ suc 𝑘𝑁)
114113iffalsed 3488 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅) = ∅)
115107, 114eqtr4d 2176 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) ∧ 𝑁 ∈ suc 𝑘) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅))
116 peano2 4516 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
117116ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) → suc 𝑘 ∈ ω)
118 nntri3or 6396 . . . . . . . . 9 ((suc 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (suc 𝑘𝑁 ∨ suc 𝑘 = 𝑁𝑁 ∈ suc 𝑘))
119117, 69, 118syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) → (suc 𝑘𝑁 ∨ suc 𝑘 = 𝑁𝑁 ∈ suc 𝑘))
12065, 76, 115, 119mpjao3dan 1286 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅))
121120exp31 362 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → ((𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅) → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅))))
122121a2d 26 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → (𝑃𝑘) = if(𝑘𝑁, 1o, ∅)) → (𝜑 → (𝑃‘suc 𝑘) = if(suc 𝑘𝑁, 1o, ∅))))
12323, 28, 33, 38, 58, 122finds 4521 . . . 4 (𝑗 ∈ ω → (𝜑 → (𝑃𝑗) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅)))
124123impcom 124 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝑃𝑗) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
125 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
1265a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
1277a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
12810adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → 𝑁 ∈ ω)
129 nndcel 6403 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID 𝑗𝑁)
130125, 128, 129syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → DECID 𝑗𝑁)
131126, 127, 130ifcldcd 3511 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → if(𝑗𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
132 eleq1w 2201 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
133132ifbid 3497 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖𝑁, 1o, ∅) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
134133, 16fvmptg 5504 . . . 4 ((𝑗 ∈ ω ∧ if(𝑗𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
135125, 131, 134syl2anc 409 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗) = if(𝑗𝑁, 1o, ∅))
136124, 135eqtr4d 2176 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝑃𝑗) = ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))‘𝑗))
1374, 18, 136eqfnfvd 5528 1 (𝜑𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  DECID wdc 820  w3o 962   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wss 3075  c0 3367  ifcif 3478  cmpt 3996  Tr wtr 4033  Ord word 4291  suc csuc 4294  ωcom 4511   Fn wfn 5125  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781  1oc1o 6313  2oc2o 6314  𝑚 cmap 6549  xnninf 7012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1o 6320  df-2o 6321  df-map 6551  df-nninf 7014
This theorem is referenced by:  nninfalllem1  13376  nninfsellemeq  13383
  Copyright terms: Public domain W3C validator