Theorem pw2f1odclem 6895

Description: Lemma for pw2f1odc 6896. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2f1o.1	|- ( ph -> A e. V )
pw2f1o.2	|- ( ph -> B e. W )
pw2f1o.3	|- ( ph -> C e. W )
pw2f1o.4	|- ( ph -> B =/= C )
pw2f1odc.4	|- ( ph -> A. p e. A A. q e. ~P ADECID p e. q )

Assertion

Ref	Expression
pw2f1odclem	|- ( ph -> ( ( S e. ~P A /\ G = ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) ) <-> ( G e. ( { B , C } ^m A ) /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, p, q   z, A   z, B   z, C   S, q   z, S

Allowed substitution hints:   ph( z, q, p)   B( q, p)   C( q, p)   S( p)   G( z, q, p)   V( z, q, p)   W( z, q, p)

Proof of Theorem pw2f1odclem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2f1o.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. W )
2		prid2g 3727	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. W -> C e. { B , C } )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. { B , C } )
4	3	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> C e. { B , C } )
5		pw2f1o.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. W )
6		prid1g 3726	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. W -> B e. { B , C } )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. { B , C } )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> B e. { B , C } )
9		eleq2 2260	. . . . . . . . . 10 |- ( q = S -> ( y e. q <-> y e. S ) )
10	9	dcbid 839	. . . . . . . . 9 |- ( q = S -> (DECID y e. q <-> DECID y e. S ) )
11		elequ1 2171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = y -> ( p e. q <-> y e. q ) )
12	11	dcbid 839	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = y -> (DECID p e. q <-> DECID y e. q ) )
13	12	ralbidv 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( p = y -> ( A. q e. ~P ADECID p e. q <-> A. q e. ~P ADECID y e. q ) )
14		pw2f1odc.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. p e. A A. q e. ~P ADECID p e. q )
15	14	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> A. p e. A A. q e. ~P ADECID p e. q )
16		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
17	13, 15, 16	rspcdva 2873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> A. q e. ~P ADECID y e. q )
18		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> S C_ A )
19		pw2f1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. V )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> A e. V )
21	20, 18	ssexd 4173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> S e. _V )
22		elpwg 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. _V -> ( S e. ~P A <-> S C_ A ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> ( S e. ~P A <-> S C_ A ) )
24	18, 23	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> S e. ~P A )
25	10, 17, 24	rspcdva 2873	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> DECID y e. S )
26	4, 8, 25	ifcldcd 3597	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ S C_ A ) /\ y e. A ) -> if ( y e. S , C , B ) e. { B , C } )
27	26	fmpttd 5717	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S C_ A ) -> ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) : A --> { B , C } )
28	27	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) : A --> { B , C } )
29		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
30	29	feq1d 5394	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( G : A --> { B , C } <-> ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) : A --> { B , C } ) )
31	28, 30	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> G : A --> { B , C } )
32		iftrue 3566	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> if ( x e. S , C , B ) = C )
33		eleq2 2260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = S -> ( x e. q <-> x e. S ) )
34	33	dcbid 839	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = S -> (DECID x e. q <-> DECID x e. S ) )
35		elequ1 2171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = x -> ( p e. q <-> x e. q ) )
36	35	dcbid 839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = x -> (DECID p e. q <-> DECID x e. q ) )
37	36	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = x -> ( A. q e. ~P ADECID p e. q <-> A. q e. ~P ADECID x e. q ) )
38	14	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> A. p e. A A. q e. ~P ADECID p e. q )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
40	37, 38, 39	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> A. q e. ~P ADECID x e. q )
41		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> S C_ A )
42	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> A e. V )
43	42, 41	ssexd 4173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> S e. _V )
44	43, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( S e. ~P A <-> S C_ A ) )
45	41, 44	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> S e. ~P A )
46	34, 40, 45	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> DECID x e. S )
47		pw2f1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B =/= C )
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> B =/= C )
49		iffalse 3569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x e. S -> if ( x e. S , C , B ) = B )
50	49	neeq1d 2385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. S -> ( if ( x e. S , C , B ) =/= C <-> B =/= C ) )
51	48, 50	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( -. x e. S -> if ( x e. S , C , B ) =/= C ) )
52	51	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> (DECID x e. S -> ( -. x e. S -> if ( x e. S , C , B ) =/= C ) ) )
53	52	necon4bddc 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> (DECID x e. S -> ( if ( x e. S , C , B ) = C -> x e. S ) ) )
54	46, 53	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( if ( x e. S , C , B ) = C -> x e. S ) )
55	32, 54	impbid2 143	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. S <-> if ( x e. S , C , B ) = C ) )
56		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
57	56	fveq1d 5560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ` x ) )
58		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) )
59		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( y e. S <-> x e. S ) )
60	59	ifbid 3582	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> if ( y e. S , C , B ) = if ( x e. S , C , B ) )
61	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> C e. { B , C } )
62	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> B e. { B , C } )
63	61, 62, 46	ifcldcd 3597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. S , C , B ) e. { B , C } )
64	58, 60, 39, 63	fvmptd3 5655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ` x ) = if ( x e. S , C , B ) )
65	57, 64	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = if ( x e. S , C , B ) )
66	65	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = C <-> if ( x e. S , C , B ) = C ) )
67	55, 66	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. S <-> ( G ` x ) = C ) )
68	67	pm5.32da 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( ( x e. A /\ x e. S ) <-> ( x e. A /\ ( G ` x ) = C ) ) )
69		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> S C_ A )
70	69	sseld 3182	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( x e. S -> x e. A ) )
71	70	pm4.71rd 394	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( x e. S <-> ( x e. A /\ x e. S ) ) )
72		ffn 5407	. . . . . . 7 |- ( G : A --> { B , C } -> G Fn A )
73		fniniseg 5682	. . . . . . 7 |- ( G Fn A -> ( x e. ( `' G " { C } ) <-> ( x e. A /\ ( G ` x ) = C ) ) )
74	31, 72, 73	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( x e. ( `' G " { C } ) <-> ( x e. A /\ ( G ` x ) = C ) ) )
75	68, 71, 74	3bitr4d 220	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( x e. S <-> x e. ( `' G " { C } ) ) )
76	75	eqrdv 2194	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> S = ( `' G " { C } ) )
77	31, 76	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) -> ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) )
78		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> S = ( `' G " { C } ) )
79		cnvimass 5032	. . . . . 6 |- ( `' G " { C } ) C_ dom G
80		fdm 5413	. . . . . . 7 |- ( G : A --> { B , C } -> dom G = A )
81	80	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> dom G = A )
82	79, 81	sseqtrid 3233	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> ( `' G " { C } ) C_ A )
83	78, 82	eqsstrd 3219	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> S C_ A )
84	72	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> G Fn A )
85		dffn5im 5606	. . . . . 6 |- ( G Fn A -> G = ( y e. A |-> ( G ` y ) ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> G = ( y e. A |-> ( G ` y ) ) )
87		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> S = ( `' G " { C } ) )
88	87	eleq2d 2266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( y e. S <-> y e. ( `' G " { C } ) ) )
89		fniniseg 5682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn A -> ( y e. ( `' G " { C } ) <-> ( y e. A /\ ( G ` y ) = C ) ) )
90	84, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> ( y e. ( `' G " { C } ) <-> ( y e. A /\ ( G ` y ) = C ) ) )
91	90	baibd 924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( y e. ( `' G " { C } ) <-> ( G ` y ) = C ) )
92	88, 91	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( y e. S <-> ( G ` y ) = C ) )
93	92	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ y e. S ) -> ( G ` y ) = C )
94		iftrue 3566	. . . . . . . . 9 |- ( y e. S -> if ( y e. S , C , B ) = C )
95	94	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ y e. S ) -> if ( y e. S , C , B ) = C )
96	93, 95	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ y e. S ) -> ( G ` y ) = if ( y e. S , C , B ) )
97	92	notbid 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( -. y e. S <-> -. ( G ` y ) = C ) )
98	97	biimpa 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ -. y e. S ) -> -. ( G ` y ) = C )
99		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> G : A --> { B , C } )
100	99	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( G ` y ) e. { B , C } )
101		elpri 3645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` y ) e. { B , C } -> ( ( G ` y ) = B \/ ( G ` y ) = C ) )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( ( G ` y ) = B \/ ( G ` y ) = C ) )
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ -. y e. S ) -> ( ( G ` y ) = B \/ ( G ` y ) = C ) )
104	98, 103	ecased 1360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ -. y e. S ) -> ( G ` y ) = B )
105		iffalse 3569	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. S -> if ( y e. S , C , B ) = B )
106	105	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ -. y e. S ) -> if ( y e. S , C , B ) = B )
107	104, 106	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) /\ -. y e. S ) -> ( G ` y ) = if ( y e. S , C , B ) )
108	83, 25	syldanl 449	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> DECID y e. S )
109		exmiddc 837	. . . . . . . 8 |- (DECID y e. S -> ( y e. S \/ -. y e. S ) )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( y e. S \/ -. y e. S ) )
111	96, 107, 110	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) /\ y e. A ) -> ( G ` y ) = if ( y e. S , C , B ) )
112	111	mpteq2dva 4123	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> ( y e. A |-> ( G ` y ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
113	86, 112	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
114	83, 113	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) -> ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) )
115	77, 114	impbida 596	. 2 |- ( ph -> ( ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) <-> ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) )
116		elpw2g 4189	. . . 4 |- ( A e. V -> ( S e. ~P A <-> S C_ A ) )
117	19, 116	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( S e. ~P A <-> S C_ A ) )
118		eleq1w 2257	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z e. S <-> y e. S ) )
119	118	ifbid 3582	. . . . . 6 |- ( z = y -> if ( z e. S , C , B ) = if ( y e. S , C , B ) )
120	119	cbvmptv 4129	. . . . 5 |- ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) )
121	120	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) )
122	121	eqeq2d 2208	. . 3 |- ( ph -> ( G = ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) <-> G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) )
123	117, 122	anbi12d 473	. 2 |- ( ph -> ( ( S e. ~P A /\ G = ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) ) <-> ( S C_ A /\ G = ( y e. A |-> if ( y e. S , C , B ) ) ) ) )
124		prexg 4244	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ C e. W ) -> { B , C } e. _V )
125	5, 1, 124	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> { B , C } e. _V )
126	125, 19	elmapd 6721	. . 3 |- ( ph -> ( G e. ( { B , C } ^m A ) <-> G : A --> { B , C } ) )
127	126	anbi1d 465	. 2 |- ( ph -> ( ( G e. ( { B , C } ^m A ) /\ S = ( `' G " { C } ) ) <-> ( G : A --> { B , C } /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) )
128	115, 123, 127	3bitr4d 220	1 |- ( ph -> ( ( S e. ~P A /\ G = ( z e. A |-> if ( z e. S , C , B ) ) ) <-> ( G e. ( { B , C } ^m A ) /\ S = ( `' G " { C } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ifcif 3561   ~Pcpw 3605   {csn 3622   {cpr 3623   |-> cmpt 4094   `'ccnv 4662   dom cdm 4663   "cima 4666   Fn wfn 5253   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ^m cmap 6707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-map 6709

This theorem is referenced by:  pw2f1odc  6896