Theorem rpcxpef 15451

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpef	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )

Proof of Theorem rpcxpef

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> A e. RR+ )
3	2	relogcld 15439	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( log ` A ) e. RR )
4	3	recnd 8131	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( log ` A ) e. CC )
5	1, 4	mulcld 8123	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( B x. ( log ` A ) ) e. CC )
6		efcl 12060	. . 3 |- ( ( B x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) e. CC )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) e. CC )
8		fveq2 5594	. . . . 5 |- ( x = A -> ( log ` x ) = ( log ` A ) )
9	8	oveq2d 5978	. . . 4 |- ( x = A -> ( y x. ( log ` x ) ) = ( y x. ( log ` A ) ) )
10	9	fveq2d 5598	. . 3 |- ( x = A -> ( exp ` ( y x. ( log ` x ) ) ) = ( exp ` ( y x. ( log ` A ) ) ) )
11		fvoveq1 5985	. . 3 |- ( y = B -> ( exp ` ( y x. ( log ` A ) ) ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
12		df-rpcxp 15416	. . 3 |- ^c = ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( exp ` ( y x. ( log ` x ) ) ) )
13	10, 11, 12	ovmpog 6098	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
14	7, 13	mpd3an3 1351	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   CCcc 7953   x. cmul 7960   RR+crp 9805   expce 12038   logclog 15413   ^c ccxp 15414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075  ax-pre-suploc 8076  ax-addf 8077  ax-mulf 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-disj 4031  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-isom 5294  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-of 6176  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-irdg 6474  df-frec 6495  df-1o 6520  df-oadd 6524  df-er 6638  df-map 6755  df-pm 6756  df-en 6846  df-dom 6847  df-fin 6848  df-sup 7107  df-inf 7108  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-xneg 9924  df-xadd 9925  df-ioo 10044  df-ico 10046  df-icc 10047  df-fz 10161  df-fzo 10295  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-fac 10903  df-bc 10925  df-ihash 10953  df-shft 11211  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-clim 11675  df-sumdc 11750  df-ef 12044  df-e 12045  df-rest 13158  df-topgen 13177  df-psmet 14390  df-xmet 14391  df-met 14392  df-bl 14393  df-mopn 14394  df-top 14555  df-topon 14568  df-bases 14600  df-ntr 14653  df-cn 14745  df-cnp 14746  df-tx 14810  df-cncf 15128  df-limced 15213  df-dvap 15214  df-relog 15415  df-rpcxp 15416

This theorem is referenced by:  cxpexprp  15452  logcxp  15454  1cxp  15457  ecxp  15458  rpcncxpcl  15459  rpcxpcl  15460  cxpap0  15461  rpcxpadd  15462  rpmulcxp  15466  cxpmul  15469  abscxp  15472  cxplt  15473  rpcxple2  15475  rpcxplt2  15476  apcxp2  15496  rpabscxpbnd  15497  rpcxplogb  15521