Theorem rpcxpef 15919

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpef	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )

Proof of Theorem rpcxpef

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> A e. RR+ )
3	2	relogcld 15906	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( log ` A ) e. RR )
4	3	recnd 8344	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( log ` A ) e. CC )
5	1, 4	mulcld 8336	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( B x. ( log ` A ) ) e. CC )
6		efcl 12409	. . 3 |- ( ( B x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) e. CC )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) e. CC )
8		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( x = A -> ( log ` x ) = ( log ` A ) )
9	8	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( x = A -> ( y x. ( log ` x ) ) = ( y x. ( log ` A ) ) )
10	9	fveq2d 5694	. . 3 |- ( x = A -> ( exp ` ( y x. ( log ` x ) ) ) = ( exp ` ( y x. ( log ` A ) ) ) )
11		fvoveq1 6098	. . 3 |- ( y = B -> ( exp ` ( y x. ( log ` A ) ) ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
12		df-rpcxp 15883	. . 3 |- ^c = ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( exp ` ( y x. ( log ` x ) ) ) )
13	10, 11, 12	ovmpog 6213	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
14	7, 13	mpd3an3 1379	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   x. cmul 8174   RR+crp 10033   expce 12387   logclog 15880   ^c ccxp 15881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-e 12394  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681  df-relog 15882  df-rpcxp 15883

This theorem is referenced by:  cxpexprp  15920  logcxp  15922  1cxp  15925  ecxp  15926  rpcncxpcl  15927  rpcxpcl  15928  cxpap0  15929  rpcxpadd  15930  rpmulcxp  15934  cxpmul  15937  abscxp  15940  cxplt  15941  rpcxple2  15943  rpcxplt2  15944  apcxp2  15964  rpabscxpbnd  15965  rpcxplogb  15989