Theorem rpcxpef 15130

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpef	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )

Proof of Theorem rpcxpef

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> A e. RR+ )
3	2	relogcld 15118	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( log ` A ) e. RR )
4	3	recnd 8055	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( log ` A ) e. CC )
5	1, 4	mulcld 8047	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( B x. ( log ` A ) ) e. CC )
6		efcl 11829	. . 3 |- ( ( B x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) e. CC )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) e. CC )
8		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( x = A -> ( log ` x ) = ( log ` A ) )
9	8	oveq2d 5938	. . . 4 |- ( x = A -> ( y x. ( log ` x ) ) = ( y x. ( log ` A ) ) )
10	9	fveq2d 5562	. . 3 |- ( x = A -> ( exp ` ( y x. ( log ` x ) ) ) = ( exp ` ( y x. ( log ` A ) ) ) )
11		fvoveq1 5945	. . 3 |- ( y = B -> ( exp ` ( y x. ( log ` A ) ) ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
12		df-rpcxp 15095	. . 3 |- ^c = ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( exp ` ( y x. ( log ` x ) ) ) )
13	10, 11, 12	ovmpog 6057	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
14	7, 13	mpd3an3 1349	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   x. cmul 7884   RR+crp 9728   expce 11807   logclog 15092   ^c ccxp 15093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-pre-suploc 8000  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-ioo 9967  df-ico 9969  df-icc 9970  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-shft 10980  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-e 11814  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893  df-relog 15094  df-rpcxp 15095

This theorem is referenced by:  cxpexprp  15131  logcxp  15133  1cxp  15136  ecxp  15137  rpcncxpcl  15138  rpcxpcl  15139  cxpap0  15140  rpcxpadd  15141  rpmulcxp  15145  cxpmul  15148  abscxp  15151  cxplt  15152  rpcxple2  15154  rpcxplt2  15155  apcxp2  15175  rpabscxpbnd  15176  rpcxplogb  15200