Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpcxpef GIF version

Theorem rpcxpef 13059
 Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
rpcxpef ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem rpcxpef
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
32relogcld 13047 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 7847 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
51, 4mulcld 7839 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 efcl 11443 . . 3 ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) ∈ ℂ)
75, 6syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) ∈ ℂ)
8 fveq2 5433 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
98oveq2d 5802 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 · (log‘𝑥)) = (𝑦 · (log‘𝐴)))
109fveq2d 5437 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥))) = (exp‘(𝑦 · (log‘𝐴))))
11 fvoveq1 5809 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (exp‘(𝑦 · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
12 df-rpcxp 13024 . . 3 𝑐 = (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥))))
1310, 11, 12ovmpog 5917 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
147, 13mpd3an3 1317 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2112  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  ℂcc 7671   · cmul 7678  ℝ+crp 9499  expce 11421  logclog 13021  ↑𝑐ccxp 13022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793  ax-pre-suploc 7794  ax-addf 7795  ax-mulf 7796 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-disj 3917  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-isom 5144  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-of 5994  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-irdg 6279  df-frec 6300  df-1o 6325  df-oadd 6329  df-er 6441  df-map 6556  df-pm 6557  df-en 6647  df-dom 6648  df-fin 6649  df-sup 6888  df-inf 6889  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-q 9468  df-rp 9500  df-xneg 9618  df-xadd 9619  df-ioo 9734  df-ico 9736  df-icc 9737  df-fz 9851  df-fzo 9980  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-fac 10533  df-bc 10555  df-ihash 10583  df-shft 10648  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109  df-sumdc 11184  df-ef 11427  df-e 11428  df-rest 12197  df-topgen 12216  df-psmet 12231  df-xmet 12232  df-met 12233  df-bl 12234  df-mopn 12235  df-top 12240  df-topon 12253  df-bases 12285  df-ntr 12340  df-cn 12432  df-cnp 12433  df-tx 12497  df-cncf 12802  df-limced 12869  df-dvap 12870  df-relog 13023  df-rpcxp 13024 This theorem is referenced by:  cxpexprp  13060  logcxp  13062  1cxp  13065  ecxp  13066  rpcncxpcl  13067  rpcxpcl  13068  cxpap0  13069  rpcxpadd  13070  rpmulcxp  13074  cxpmul  13077  abscxp  13079  cxplt  13080  rpcxple2  13082  rpcxplt2  13083  apcxp2  13102  rpabscxpbnd  13103  rpcxplogb  13125
 Copyright terms: Public domain W3C validator