Theorem cauappcvgprlemupu 7733

Description: Lemma for cauappcvgpr 7746. The upper cut of the putative limit is upper. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemupu	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemupu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7449	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4716	. . . 4 ⊢ (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ Q ∧ 𝑟 ∈ Q))
3	2	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝑠 <Q 𝑟 → 𝑟 ∈ Q)
4	3	3ad2ant2 1021	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → 𝑟 ∈ Q)
5		breq2 4038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
6	5	rexbidv 2498	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
7		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
8	7	fveq2i 5564	. . . . . . 7 ⊢ (2nd ‘𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
9		nqex 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ Q ∈ V
10	9	rabex 4178	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
11	9	rabex 4178	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
12	10, 11	op2nd 6214	. . . . . . 7 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
13	8, 12	eqtri 2217	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
14	6, 13	elrab2 2923	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
15	14	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
16	15	3ad2ant3 1022	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
17		ltsonq 7482	. . . . . . 7 ⊢ <Q Or Q
18	17, 1	sotri 5066	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
19	18	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑠 <Q 𝑟 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
20	19	3ad2ant2 1021	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
21	20	reximdv 2598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
22	16, 21	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
23		breq2 4038	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
24	23	rexbidv 2498	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
25	24, 13	elrab2 2923	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
26	4, 22, 25	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)) → 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  2^nd c2nd 6206  Qcnq 7364   +_Q cplq 7366   <_Q cltq 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-mi 7390  df-lti 7391  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-ltnqqs 7437

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  7734