ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemupu GIF version

Theorem cauappcvgprlemupu 7405
Description: Lemma for cauappcvgpr 7418. The upper cut of the putative limit is upper. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemupu ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemupu
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7121 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4551 . . . 4 (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠Q𝑟Q))
32simprd 113 . . 3 (𝑠 <Q 𝑟𝑟Q)
433ad2ant2 986 . 2 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → 𝑟Q)
5 breq2 3899 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
65rexbidv 2412 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
7 cauappcvgpr.lim . . . . . . . 8 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
87fveq2i 5378 . . . . . . 7 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
9 nqex 7119 . . . . . . . . 9 Q ∈ V
109rabex 4032 . . . . . . . 8 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
119rabex 4032 . . . . . . . 8 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
1210, 11op2nd 5999 . . . . . . 7 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
138, 12eqtri 2135 . . . . . 6 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
146, 13elrab2 2812 . . . . 5 (𝑠 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
1514simprbi 271 . . . 4 (𝑠 ∈ (2nd𝐿) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
16153ad2ant3 987 . . 3 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
17 ltsonq 7154 . . . . . . 7 <Q Or Q
1817, 1sotri 4892 . . . . . 6 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
1918expcom 115 . . . . 5 (𝑠 <Q 𝑟 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
20193ad2ant2 986 . . . 4 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
2120reximdv 2507 . . 3 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
2216, 21mpd 13 . 2 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
23 breq2 3899 . . . 4 (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
2423rexbidv 2412 . . 3 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
2524, 13elrab2 2812 . 2 (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
264, 22, 25sylanbrc 411 1 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2390  wrex 2391  {crab 2394  cop 3496   class class class wbr 3895  wf 5077  cfv 5081  (class class class)co 5728  2nd c2nd 5991  Qcnq 7036   +Q cplq 7038   <Q cltq 7041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-eprel 4171  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-er 6383  df-ec 6385  df-qs 6389  df-ni 7060  df-mi 7062  df-lti 7063  df-enq 7103  df-nqqs 7104  df-ltnqqs 7109
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  7406
  Copyright terms: Public domain W3C validator