ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemrnd GIF version

Theorem cauappcvgprlemrnd 7478
Description: Lemma for cauappcvgpr 7490. The putative limit is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemrnd (𝜑 → (∀𝑠Q (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemrnd
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:QQ)
2 cauappcvgpr.app . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
3 cauappcvgpr.bnd . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
4 cauappcvgpr.lim . . . . . 6 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
51, 2, 3, 4cauappcvgprlemopl 7474 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)))
65ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) → ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))))
71, 2, 3, 4cauappcvgprlemlol 7475 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
873expib 1185 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿)))
98rexlimdvw 2554 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿)))
106, 9impbid 128 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))))
1110ralrimivw 2507 . 2 (𝜑 → ∀𝑠Q (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))))
121, 2, 3, 4cauappcvgprlemopu 7476 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
1312ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝑟 ∈ (2nd𝐿) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿))))
141, 2, 3, 4cauappcvgprlemupu 7477 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
15143expib 1185 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
1615rexlimdvw 2554 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
1713, 16impbid 128 . . 3 (𝜑 → (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿))))
1817ralrimivw 2507 . 2 (𝜑 → ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿))))
1911, 18jca 304 1 (𝜑 → (∀𝑠Q (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  {crab 2421  cop 3531   class class class wbr 3933  wf 5123  cfv 5127  (class class class)co 5778  1st c1st 6040  2nd c2nd 6041  Qcnq 7108   +Q cplq 7110   <Q cltq 7113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-eprel 4215  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-1o 6317  df-oadd 6321  df-omul 6322  df-er 6433  df-ec 6435  df-qs 6439  df-ni 7132  df-pli 7133  df-mi 7134  df-lti 7135  df-plpq 7172  df-mpq 7173  df-enq 7175  df-nqqs 7176  df-plqqs 7177  df-mqqs 7178  df-1nqqs 7179  df-rq 7180  df-ltnqqs 7181
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7481
  Copyright terms: Public domain W3C validator