Theorem cauappcvgprlemopu 7708

Description: Lemma for cauappcvgpr 7722. The upper cut of the putative limit is open. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemopu	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemopu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4033	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
2	1	rexbidv 2495	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
3		cauappcvgpr.lim	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
4	3	fveq2i 5557	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
5		nqex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ Q ∈ V
6	5	rabex 4173	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
7	5	rabex 4173	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
8	6, 7	op2nd 6200	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
9	4, 8	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ (2nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
10	2, 9	elrab2 2919	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
11	10	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
12	11	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
13		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
14		ltbtwnnqq 7475	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟))
15	13, 14	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟))
16		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 <Q 𝑟)
17		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ Q)
18		simplrl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑞 ∈ Q)
20		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
21		rspe 2543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
23		breq2 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
24	23	rexbidv 2495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
25	24, 9	elrab2 2919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
26	17, 22, 25	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))
27	16, 26	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
28	27	ex 115	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))))
29	28	reximdva 2596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → (∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))))
30	15, 29	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
31	12, 30	rexlimddv 2616	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  {crab 2476  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  2^nd c2nd 6192  Qcnq 7340   +_Q cplq 7342   <_Q cltq 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  7710