Theorem cauappcvgprlemopu 8009

Description: Lemma for cauappcvgpr 8023. The upper cut of the putative limit is open. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemopu	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemopu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4132	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
2	1	rexbidv 2551	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
3		cauappcvgpr.lim	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
4	3	fveq2i 5696	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
5		nqex 7724	. . . . . . . 8 ⊢ Q ∈ V
6	5	rabex 4278	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
7	5	rabex 4278	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
8	6, 7	op2nd 6375	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
9	4, 8	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ (2nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
10	2, 9	elrab2 2985	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
11	10	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
12	11	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
13		simprr 537	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
14		ltbtwnnqq 7776	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟))
15	13, 14	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟))
16		simprr 537	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 <Q 𝑟)
17		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ Q)
18		simplrl 541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑞 ∈ Q)
20		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
21		rspe 2599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
22	19, 20, 21	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
23		breq2 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
24	23	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
25	24, 9	elrab2 2985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
26	17, 22, 25	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))
27	16, 26	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
28	27	ex 115	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))))
29	28	reximdva 2652	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → (∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))))
30	15, 29	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
31	12, 30	rexlimddv 2673	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  2^nd c2nd 6367  Qcnq 7641   +_Q cplq 7643   <_Q cltq 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-lti 7668  df-plpq 7705  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-plqqs 7710  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  8011