ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemopu GIF version

Theorem cauappcvgprlemopu 7638
Description: Lemma for cauappcvgpr 7652. The upper cut of the putative limit is open. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemopu ((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemopu
StepHypRef Expression
1 breq2 4004 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
21rexbidv 2478 . . . . 5 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
3 cauappcvgpr.lim . . . . . . 7 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
43fveq2i 5514 . . . . . 6 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
5 nqex 7353 . . . . . . . 8 Q ∈ V
65rabex 4144 . . . . . . 7 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
75rabex 4144 . . . . . . 7 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
86, 7op2nd 6142 . . . . . 6 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
94, 8eqtri 2198 . . . . 5 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
102, 9elrab2 2896 . . . 4 (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
1110simprbi 275 . . 3 (𝑟 ∈ (2nd𝐿) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
1211adantl 277 . 2 ((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
13 simprr 531 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
14 ltbtwnnqq 7405 . . . 4 (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ∃𝑠Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟))
1513, 14sylib 122 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟))
16 simprr 531 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 <Q 𝑟)
17 simplr 528 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠Q)
18 simplrl 535 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) → 𝑞Q)
1918adantr 276 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑞Q)
20 simprl 529 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
21 rspe 2526 . . . . . . . 8 ((𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
2219, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
23 breq2 4004 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2423rexbidv 2478 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2524, 9elrab2 2896 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (2nd𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2617, 22, 25sylanbrc 417 . . . . . 6 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ (2nd𝐿))
2716, 26jca 306 . . . . 5 (((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟)) → (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
2827ex 115 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿))))
2928reximdva 2579 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → (∃𝑠Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠𝑠 <Q 𝑟) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿))))
3015, 29mpd 13 . 2 (((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) ∧ (𝑞Q ∧ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
3112, 30rexlimddv 2599 1 ((𝜑𝑟 ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  cop 3594   class class class wbr 4000  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  2nd c2nd 6134  Qcnq 7270   +Q cplq 7272   <Q cltq 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  7640
  Copyright terms: Public domain W3C validator