Theorem cauappcvgprlemopu 7610

Description: Lemma for cauappcvgpr 7624. The upper cut of the putative limit is open. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemopu	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemopu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3993	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
2	1	rexbidv 2471	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
3		cauappcvgpr.lim	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
4	3	fveq2i 5499	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
5		nqex 7325	. . . . . . . 8 ⊢ Q ∈ V
6	5	rabex 4133	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)} ∈ V
7	5	rabex 4133	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
8	6, 7	op2nd 6126	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
9	4, 8	eqtri 2191	. . . . 5 ⊢ (2nd ‘𝐿) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
10	2, 9	elrab2 2889	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟))
11	10	simprbi 273	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
12	11	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
13		simprr 527	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)
14		ltbtwnnqq 7377	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟 ↔ ∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟))
15	13, 14	sylib 121	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟))
16		simprr 527	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 <Q 𝑟)
17		simplr 525	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ Q)
18		simplrl 530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
19	18	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑞 ∈ Q)
20		simprl 526	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
21		rspe 2519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
22	19, 20, 21	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
23		breq2 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
24	23	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
25	24, 9	elrab2 2889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿) ↔ (𝑠 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
26	17, 22, 25	sylanbrc 415	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))
27	16, 26	jca 304	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟)) → (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
28	27	ex 114	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) ∧ 𝑠 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))))
29	28	reximdva 2572	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → (∃𝑠 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠 ∧ 𝑠 <Q 𝑟) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿))))
30	15, 29	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))
31	12, 30	rexlimddv 2592	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (2nd ‘𝐿)) → ∃𝑠 ∈ Q (𝑠 <Q 𝑟 ∧ 𝑠 ∈ (2nd ‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  {crab 2452  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  2^nd c2nd 6118  Qcnq 7242   +_Q cplq 7244   <_Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  7612